【卷積的定義及應用探究15000字】

卷積的定義及應用研究摘要隨著科技的不斷發(fā)展與進步。軟件發(fā)展程度與智能化水平已逐步成為一個國家科技軟實力的象征。在軟件開發(fā)過程中，圖像與信號處理永遠是不可避開的兩個重要部分，而卷積定理在這兩個領(lǐng)域中起著舉足輕重的作用，同時其在統(tǒng)計學深度學習等領(lǐng)域中亦有著廣泛應用。卷積不僅出現(xiàn)在概率論及多種積分變換的研究中，近年來也多見于圖像處理領(lǐng)域?？梢娋矸e在理論和應用中都發(fā)揮著巨大作用。本文通過實例與理論相結(jié)合，并通過多個用例佐證卷積在不同領(lǐng)域的定義及其作用，深入探討并挖掘其本質(zhì)，同時舉一反三，研究其應用于其他領(lǐng)域的可能性。通過大量客觀事實及文獻，以及豐富的公式，分別整理了卷積在概率論、拉普拉斯變換和傅里葉變換中的定義，同時理解并比較了卷積定理在各個學科中的作用以及在不同領(lǐng)域定義的異同，最后以圖像處理為例，深入闡述了卷積在此領(lǐng)域中的作用。關(guān)鍵詞：卷積傅里葉變換拉普拉斯變換圖像處理目錄TOC\o"1-3"\h\u10360第一章緒論 1102251.1研究背景及意義 12321.2國內(nèi)外起源及發(fā)展概況 1253551.3研究內(nèi)容與方法 2235481.3.1研究內(nèi)容 281351.3.2研究方法 325215第二章卷積在不同領(lǐng)域的定義 4251532.1卷積在概率論中的定義 4298642.2卷積在拉普拉斯變換中的定義 531012.3卷積在傅里葉變換中的定義 63762第三章卷積在各個學科中的作用 7197763.1卷積在變換域分析中的作用 769473.2卷積在可靠性分析中的作用 7162643.3卷積在人工智能算法中的作用 926651第四章卷積在線性系統(tǒng)理論中的重要意義 11115954.1連續(xù)時間信號的卷積 11246884.2卷積的圖形化 14165314.3線性連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積 2128259第五章卷積理論在圖像處理中的應用 2524215.1卷積在二維圖像處理中的應用 25238515.2卷積在深度卷積網(wǎng)絡中的應用 2631738總結(jié) 2819055參考文獻 30緒論1.1研究背景及意義隨著大數(shù)據(jù)和智能計算時代的來臨，數(shù)據(jù)量和計算能力及應用工程的各個領(lǐng)域也發(fā)生了質(zhì)的變化。無論是圖像工程的哪個層次都更注重模型的建立和數(shù)據(jù)的訓練計算。傳統(tǒng)的數(shù)學教學也應結(jié)合當前的技術(shù)趨勢在內(nèi)容上進行拓展，實現(xiàn)人工智能時代的新理工科教育。以卷積運算為例，作為一種基元的特征提取工具和一種特殊的數(shù)據(jù)壓縮工具，在機器學習和深度學習模型的建立上同樣發(fā)揮著重要的作用，如卷積神經(jīng)網(wǎng)絡（CNN）便是一個典型的代表，無論是在像素級的圖像處理還是更高層次的圖像分析和圖像理解都能夠應用并取得很好的效果。因此，在教學中，不應拘泥于傳統(tǒng)方法的講述，更應該結(jié)合當下技術(shù)的發(fā)展，賦予傳統(tǒng)方法新的內(nèi)涵，更加洞悉方法的木質(zhì)。學生不僅是學習方法，更是拓寬思維。培養(yǎng)學生建立起智能計算時代應該具備的分析解決問題的思維模式。1.2國內(nèi)外起源及發(fā)展概況卷積起源于泛函分析理論中，除了被稱為卷積之外，也被稱為旋積或摺積(英語：Convolution)。卷積是通過兩個函數(shù)f

和g

生成第三個函數(shù)的一種數(shù)學算子，表徵函數(shù)f

與經(jīng)過翻轉(zhuǎn)和平移與g

的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個函數(shù)看作區(qū)間的指示函數(shù)，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。卷積是分析數(shù)學中一種重要的運算。設(shè):

f(x),g(x)是R1上的兩個可積函數(shù)，作積分：可以證明，關(guān)于幾乎所有的，上述積分是存在的。這樣，隨著

x

的不同取值，這個積分就定義了一個新函數(shù)h(x)，稱為函數(shù)f

與g

的卷積，記為h(x)＝(f*g)(x)。容易驗證，(f*g)(x)＝(g*f)(x)，并且(f*g)(x)

仍為可積函數(shù)。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數(shù)，甚至是巴拿赫代數(shù)。卷積與傅里葉變換有著密切的關(guān)系。利用一點性質(zhì)，即兩函數(shù)的傅里葉變換的乘積等于它們卷積后的傅里葉變換，能使傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。由卷積得到的函數(shù)f*g

一般要比f

和g

都光滑。特別當g

為具有緊支集的光滑函數(shù)f

為局部可積時，它們的卷積f*g

也是光滑函數(shù)。利用這一性質(zhì)，對于任意的可積函數(shù)f，都可以簡單地構(gòu)造出一列逼近于f

的光滑函數(shù)列fs，這種方法稱為函數(shù)的光滑化或正則化。卷積的概念還可以推廣到數(shù)列、測度以及廣義函數(shù)上去。當前學術(shù)界針對卷積理論的研究中的典型方向較多，其中較常見的為：（1）用于大型網(wǎng)絡的可靠性評價。關(guān)于利用卷積理論對系統(tǒng)進行可靠性評估，運用大電網(wǎng)可靠性評估卷積算法對電力系統(tǒng)進行評估。經(jīng)驗證[1]，卷積法在應對負荷水平或其變動規(guī)律變化方面，計算效率很高，具有快速性優(yōu)勢，結(jié)果更為精確，符合實際工程應用對可靠性評估計算速度的需求。并且，運用卷積法在負荷需求水平增長或其隨機變動規(guī)律改變后，只需對原有最大負載能力概率分布和新的負荷概率分布進行卷積，即可避免傳統(tǒng)方法需重新對可靠性進行評估的缺陷，方便快捷的計算出新電網(wǎng)可靠性指標，大大降低了計算成本的投入。（2）用于圖像處理[2]。數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的理論，主要是建立在數(shù)學及概率統(tǒng)計表示法的基礎(chǔ)之上的其基本出發(fā)點是:任何一幅由傳感器所獲取的圖像都可以數(shù)字化為一個函數(shù)表達式f（x,y），而由于圖像傳感器的自身構(gòu)造，傳感器或目標物體的運動及大氣折射等多種原因的影響，所得的圖像一般都會含有噪聲及幾何變形為了使人們或計算機能較準確地對圖像進行高層視覺識別，就要在保持圖像信息不丟失的情況下，想法去除這些噪聲這就是所謂的圖像復原另一方面，人們可能只對圖像的一部分細節(jié)感興趣(如:遙感圖像中的某一小目標，醫(yī)學圖像中的腫瘤等)，為了能清楚地認識這些細節(jié)，就要將這些細節(jié)的特征凸現(xiàn)出來，這就是圖像增強眾所周知，在對圖像復原的過程中都會不同程度的損失圖像固有的細節(jié)，同樣，對圖像增強又難免會增加噪聲影響。人們在用常用的方法進行具體的圖像處理時，卷積理論可以幫助技術(shù)人員實現(xiàn)圖像增強和噪聲控制的平衡。（3）用于神經(jīng)網(wǎng)絡[3]。卷積層通過濾波器進行卷積，來學習輸入圖像的特征。新一層的特征圖通過上一層的輸入與濾波器進行卷積，然后作用于非線性激活函數(shù)得到。通過堆疊多個卷積層，網(wǎng)絡模型可以提取更高層的特征表示。卷積層參數(shù)由輸入與特征映射所決定。具體的，體現(xiàn)在卷積核尺寸、移動步長、填充值與特征圖個數(shù)。其中卷積核尺寸可以指定為小于輸入圖像尺寸的任意值；移動步長定義了卷積核滑動的距離；填充通過人為在圖像邊緣增加零值，用以抵消卷積后特征圖尺寸收縮；特征圖個數(shù)是指一次卷積操作后輸出的的特征圖的個數(shù)。卷積運算通常在CNN神經(jīng)網(wǎng)絡內(nèi)以N維張量和濾波器的組合來實現(xiàn)，能夠起到特征值的篩選計算作用。1.3研究內(nèi)容與方法1.3.1研究內(nèi)容第一章緒論，主要闡述論文研究背景、目的及意義，國內(nèi)外相關(guān)問題研究現(xiàn)狀及制定論文內(nèi)容框架。第二章整理卷積的定義，對卷積在概率論、拉普拉斯和傅里葉變換中的定義進行整理分析。第三章理解卷積在各個學科中的作用，從應用特點的角度，對卷積在各個領(lǐng)域中的作用進行分析，涵蓋數(shù)學中的變換域分析、管理科學中的可靠性分析和信息科學中的人工智能算法應用等方面。第四章，對卷積在線性理論中的意義進行分析。第五章，以圖像處理為例，對卷積在圖像處理中的作用進行分析研究。1.3.2研究方法文獻研究法：通過現(xiàn)有文獻的整理分析得到卷積理論在各個領(lǐng)域的定義和運用現(xiàn)狀，并且從分析數(shù)學定義的角度出發(fā)提出相應的結(jié)論。對比研究法，對卷積在概率論、拉普拉斯和傅里葉變換中的定義進行整理分析的基礎(chǔ)上，對卷積在數(shù)學中的變換域分析、管理科學中的可靠性分析和信息科學中的人工智能算法應用等方面的異同進行對比分析。卷積在不同領(lǐng)域的定義2.1卷積在概率論中的定義卷積在概率論之中常用于離散型隨機變量的二項分布、泊松分布和連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)研究之中。比如在數(shù)理統(tǒng)計中存在重要地位的t分布、F分布等方面都用到了正態(tài)分布概率密度函數(shù)的卷積積分公式。所以，掌握卷積積分在概率論之中的定義和運用是保證概率統(tǒng)計學科學習質(zhì)量的重要步驟。在計算兩個相互獨立的隨機變量（連續(xù)型或者離散型隨機變量）的和的分布的過程中，我們提出了概率論之中的卷積積分的計算公式。在計算連續(xù)型隨機變量ξ、η的和的分布過程之中，我們假設(shè)都屬于相互獨立的連續(xù)型的隨機變量，并且將他們的概率密度函數(shù)設(shè)為f1（x）、f2f在計算離散型隨機變量ξ、η的和的分布過程之中，我們假設(shè)都屬于相互獨立的離散型的隨機變量，并且將他們的概率分布列設(shè)為P（ξ=k）、PP一般的，根據(jù)積分計算和累加計算的線性可加性可以進一步得到，如果有n個連續(xù)型隨機變量滿足相互獨立且為正態(tài)分布的要求，則這n個連續(xù)型隨機變量相加之后的和生成的新的隨機變量依舊滿足正態(tài)分布的要求。這個性質(zhì)在概率論之中被稱為“可加性”或者“再生性”。上述性質(zhì)也可以簡化為：N個具有相互獨立且滿足正態(tài)分布的隨機變量之和的分布類型不變。進一步，類似的可加性在Γ分布之中也成立，即ξi~b（n1,p）且i=1，2，3，····，n，且各個ξ之間滿足相互獨立的要求，則ξi~b（n所以可以發(fā)現(xiàn)，卷積積分公式和卷積計算公式引入到概率論領(lǐng)域可以輕松的用于“可加性”方面的結(jié)論的證明，卷積積分的引入使得概率論之中研究多隨機變量的概率問題變得非常方便，卷積積分接下來在變換域分析之中也有相關(guān)的應用。2.2卷積在拉普拉斯變換中的定義拉普拉斯變換方法是電子科學、信息科學等學科中針對時不變系統(tǒng)進行分析的重要方法之一，常見于對于連續(xù)函數(shù)或者連續(xù)信號的分析，同時也是數(shù)學領(lǐng)域諸如Z變換在內(nèi)的一些新的變換域分析方法的前導性基礎(chǔ)內(nèi)容。拉普拉斯方法最早開創(chuàng)于19世紀末期，英國工程師海維賽德發(fā)明的微分算子方法能夠很好的解決電力工程之中的一些基本問題。后來法國數(shù)學家通過相對嚴密的數(shù)學論證，對微分算子方法找到了精確的定義，賦予微分算子法以嚴密的拉普萊斯變換定義?？梢?，卷積積分在信息科學的拉普拉斯變換之中的使用相對較多，同時在處理諸如電路問題等物理問題也相對方便。從數(shù)學的角度，當一個函數(shù)或者信號滿足狄利克雷條件時則滿足絕對可積的要。但是有一些函數(shù)或者信號會出現(xiàn)隨著時間的上升而上升的情況，這使得這些函數(shù)或者信號不存在狹義傅里葉變換。在這樣的情況下，可以通過引入象函數(shù)F（s）的方法形成與原函數(shù)f（t）的對照變換，這樣的變換通常被記為f（t）?F（s），它們之間滿足關(guān)系式：LL在上式之中，s為自變量為復數(shù)，在信號分析之中將該復數(shù)稱之為復頻率，它的所有取值的集合即為復頻域。L====可見，卷積積分在拉普拉斯變換中的應用可以將復雜的卷積積分計算變換為拉普拉斯的復頻域之中的函數(shù)乘積計算。2.3卷積在傅里葉變換中的定義卷積在傅里葉變換之中通常從時域角度的卷積計算變?yōu)轭l域的乘積計算，在這樣的大背景下可以實現(xiàn)對頻域和時域之間的變換。F====上述式子是頻域中調(diào)制解調(diào)理論的基礎(chǔ)，通過一個余弦函數(shù)與函數(shù)或者信號的乘積在頻域之中會發(fā)生“頻譜搬移”的效應，即將一個信號的信息通過頻域變換的方式搬移到某個具體的頻率附近，從而達成“調(diào)制”的效果，進一步，也可以通過頻域卷積計算得到“解調(diào)”的效果。

卷積在各個學科中的作用3.1卷積在變換域分析中的作用在數(shù)字圖像處理理論構(gòu)建的過程中，首先碰上的是濾波算法，在濾波算法中首先建立了影響后續(xù)處理思路的卷積運算，關(guān)于卷積的概念是離散數(shù)學的重要組成部分，對于在數(shù)字化的離散域的概念非常清晰。數(shù)字圖像處理過程中或者在數(shù)字信號處理的過程中，在復變函數(shù)和積分變換等理論支持下，卷積能夠作為關(guān)鍵性算法對快速傅里葉變換和離散傅里葉變換的應用起到支持作用。雖然卷積理論很難予以直觀性的理解，但是在了解圖像卷積與濾波的一些知識點后，才能夠發(fā)現(xiàn)卷積理論在變換域分析之中的獨特魅力。以數(shù)字信號處理為例，濾波的時候卷積運算可以視為一種滑動平均運算來理解的。在《數(shù)字信號處理》等資料的支持下，發(fā)現(xiàn)卷積和DFT之間關(guān)系密切。卷積就是一種類似加減乘除卻更復雜的數(shù)學運算，本身不具有什么意義，但是當它放到具體的應用中的時候，它就會產(chǎn)生特定的一些意義了。因為傅里葉變化是將時域上的信號變?yōu)榱祟l域上的信號，所以會常?？吹綍r域上的序列卷積等于它們對應頻域上的點積的說法。最后，在了解離散傅里葉的計算過程的基礎(chǔ)上，會發(fā)現(xiàn)離散傅里葉的計算復雜度也是相當?shù)拇螅斕幚淼男盘朜過大時耗費的時間非常多，這就有了計算傅里葉的快速方法——快速傅里葉變換(FFT)?？焖俑道锶~的算法思想并不太難，如果學過算法這門課程的應該可以看出，F(xiàn)FT應用的是分治算法，分而治之。具體到算法還是有些復雜，不過思路就是講N點的DFT不斷等分，直到分到很小，計算2點，4點或者混合基的DFT，可以大大的降低計算DFT的計算復雜度。從這也能看出，F(xiàn)FT不是新的理論，只是DFT的一種計算方法，而且計算的是DFT的精確結(jié)果，不是DFT的近似結(jié)果?？梢?，卷積算法在DFT理論的引入后可以極大的降低計算的難度并且提升計算的精準度。3.2卷積在可靠性分析中的作用卷積(Convolution)是分析數(shù)學中一種重要的運算，是兩個變量在某范圍內(nèi)相乘后求和的結(jié)果，可作為兩個函數(shù)fg成第三個函數(shù)的數(shù)學算子，用來表征函數(shù)f經(jīng)過翻轉(zhuǎn)和平移的重疊部分的累積。一般情況下，常直接采用卷積的數(shù)學定義來求解問題。卷積的基本理論如下：f卷積理論在工程領(lǐng)域及數(shù)學領(lǐng)域都有很廣泛的應用。在統(tǒng)計學中用于計算加權(quán)的滑動平均值，在概率論中用于計算兩個統(tǒng)計變量之和的概率密度函數(shù)，在聲學中用于確定源聲與一個反映各種反射效應的函數(shù)，在物理學與電子工程學中用于確定任意一個線性系統(tǒng)的輸出。但目前卷積理論在復雜系統(tǒng)中多系統(tǒng)銜接可靠性方面的應用較多，工程應用領(lǐng)域?qū)丫矸e理論應用于海鐵聯(lián)運銜接可靠性并分析其應用效果。目前，國內(nèi)外關(guān)于復雜系統(tǒng)可靠性的研究大致可以歸為以下幾類：(1)連通可靠性，是指通過衡量交通網(wǎng)絡中各節(jié)點間保持連通的概率，來反映節(jié)點間的連通狀況，是運用網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)來描述可靠性的一種方式。(2)行程時間可靠性，是指在規(guī)定時間內(nèi)，出行者從起點到達訖點在一定時間范圍內(nèi)的概率，它作為一種可以用來評價出行時間穩(wěn)定性及考察路網(wǎng)可靠度的指標，既可服務于管理者，也可服務于用戶。(3)容量可靠性，是從通行能力的角度出發(fā)去研究網(wǎng)絡的可靠性，表示在一定的交通服務水平下，反映路網(wǎng)容量是否能夠滿足給定OD需求水平。(4)暢通可靠性，是指在保證路網(wǎng)正常使用的前提下，各個時段內(nèi)道路交通運營能滿足暢通狀態(tài)的概率。(5)遭遇可靠性，是指出行者在傳統(tǒng)的平衡條件下，對于選擇路徑上進行行走而不會遇到路段通行能力下降的概率。(6)服務水平可靠性，是指路網(wǎng)中所有路段在某一時刻就某一等級服務水平的保證程度，在一定時刻內(nèi)任意一條路段與其可靠性和服務水平的對應具有唯一性。關(guān)于利用卷積理論對系統(tǒng)進行可靠性評估，張進曾運用大電網(wǎng)可靠性評估卷積算法對電力系統(tǒng)進行評估。經(jīng)驗證，卷積法在應對負荷水平或其變動規(guī)律變方面，計算效率很高，具有快速性優(yōu)勢，結(jié)果更為精確，符合實際工程應用對可靠性評估計算速度的需求。并且，運用卷積法在負荷需求水平增長或其隨機變動規(guī)律改變后，只需對原有最大負載能力概率分布和新的負荷概率分布進行卷積，即可避免傳統(tǒng)方法需重新對可靠性進行評估的缺陷，方便快捷的計算出新電網(wǎng)可靠性指標，大大降低了計算成本的投入。通過文獻檢索發(fā)現(xiàn)，利用卷積對復雜系統(tǒng)的可靠性評估較多，利用卷積理論對影響復雜系統(tǒng)可靠性的多個因素進行概率與期望計算。以鐵路運輸鏈接可靠性分析為例，在保證運量的前提下，海鐵聯(lián)運銜接過程的可靠性體現(xiàn)發(fā)車成本與集裝箱等待時間的適應性及班列開行方案與隨機變化的集裝箱運量的適應性兩方面?；谏鲜隹傮w目標，確定其可靠性指標主要包括實際開行班列數(shù)、丟線數(shù)、增發(fā)班列數(shù)、時間成本、發(fā)車成本、綜合成本。本章將結(jié)合卷積理論對以上指標進行計算分析。海鐵聯(lián)運銜接可靠性指標計算的難點在于如何確定本次集結(jié)周期末在站剩余集裝箱數(shù)，這不僅取決于本周期內(nèi)隨到港船舶到達、并轉(zhuǎn)場到港前鐵路車站堆場的集裝箱數(shù)，還取決于上一個周期末的在站剩余集裝箱數(shù)，而本周期末的在站剩余集裝箱數(shù)也會對下一個周期產(chǎn)生影響，如此循環(huán)。卷積理論在計算上述循環(huán)過程中具備優(yōu)勢。3.3卷積在人工智能算法中的作用卷積運算在分析數(shù)學占有重要地位，其中包括連續(xù)型卷積運算和離散型卷積運算。下面是分析數(shù)學中卷積運算的公式：連續(xù)卷積運算公式：f離散卷積運算公式：a卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的卷積操作屬于離散卷積，但是與分析數(shù)學中的離散卷積的定義是有一些區(qū)別的。其卷積操作實際上是一個線性運算，而不是真正意義上的卷積操作，相應的卷積核也可以稱為濾波器。卷積核大小確定了圖像中參與運算子區(qū)域的大小，卷積核上的參數(shù)大小決定了卷積核覆蓋的圖像區(qū)域?qū)南袼攸c對最終卷積結(jié)果的投票能力，權(quán)值越大，投票貢獻越大。圖3.1顯示了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的卷積實現(xiàn)過程，卷積操作實際上是包括二個步驟，第一個步驟是線性操作，第二個步驟是激活函數(shù)輸出值。圖3.1卷積神經(jīng)網(wǎng)絡卷積過程將一幅輸入圖像與一個可訓練的卷積核fx進行卷積，然后加一個偏置bx，輸入到神經(jīng)元的激活函數(shù)，得到卷積輸出層Cx。1981年，DavidHubel和TorstenWiesel在貓的大腦視覺皮層上所做的實驗證明了人類大腦視覺系統(tǒng)其實是不斷地將低級特征通過神經(jīng)元之間的連線傳遞為高級特征的過程，通過組合低層特征一步一步得到高層特征，越是高層特征就變得越抽象。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡卷積層的二維卷積方式使其能夠直接從圖像像素中提取數(shù)據(jù)特征，這種處理方式更加接近人類大腦視覺系統(tǒng)的工作方式。權(quán)值共享是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的另外一個重要特性，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡中相同的卷積核共享相同的卷積核權(quán)值和偏置值。同一種卷積核使用同樣的權(quán)值按照某種順序去卷積圖像，比如從左到右，從上到下的順序進行圖像卷積。那么卷積后得到所有神經(jīng)節(jié)點都是共享連接參數(shù)，也就是說每個神經(jīng)元都是用同一個卷積核去卷積圖像。所以一種卷積核只提取了圖像一種特征，如果需要提取多種輸入圖像的不同的特征，則需要使用多種卷積核。權(quán)值共享減少了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡需要學習的參數(shù)。卷積在線性系統(tǒng)理論中的重要意義卷積是線性系統(tǒng)理論其中重要的概念。它解決了很主要的問題，就是由于任何輸入而產(chǎn)生的系統(tǒng)零狀態(tài)相應。主要的卷積定理指出，系統(tǒng)在零起始條件時的響應是該輸入與脈沖響應的卷積。因此，主要的卷積定理適用于Jw,s和z域，換句話講，它應用于連續(xù)時間和離散時間的線性系統(tǒng)。4.1連續(xù)時間信號的卷積一個信號和另一個信號的連續(xù)的時間卷積定義為：f這個積分里有一個虛擬變量，它可以叫參數(shù)。在我們描述卷積的性質(zhì)之前，可以先了解一下信號持續(xù)時間的概念。信號的持續(xù)時間定義為時間瞬間，對于時間間隔以外的每一個瞬間，信號都是等于零的。持續(xù)時間有限的信號一般被稱作為時間有限信號。舉個例子，三角脈沖和矩形都是時間比較有限的限號，但是他們都是無限的持續(xù)時間。卷積積分的性質(zhì)有：1）交換律f2）分配率f3）結(jié)合率f4）持續(xù)性f讓兩個信號分別有各自的持續(xù)時間，分別定義時間間隔。5）時延fff6）連續(xù)性本性質(zhì)通俗地講明了卷積是一個參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。該性質(zhì)對于繪制卷積圖和檢驗所得到的卷積是非常有用的?，F(xiàn)在我們給出一些關(guān)于卷機的性質(zhì)證明。性質(zhì)1）可以通過在卷積積分中引入變量的變換來證明f=那么，我們應當選擇兩種積分形式的哪一種來進行計算呢？當然，選擇計算量較小的一個來計算。舉個例子，當卷積u（t）和sin(t)時，我們可以使用任何一個積分。?但是前一個會比后一個計算量更少。所以，最好的選擇是用第一個積分來計算。性質(zhì)2）證明來自眾所周知的積分可加性f==例4.1:考慮脈沖信號和其他任何正則信號的卷積f(t)?通過脈沖信號的特性，我們可以得出結(jié)論f(t)?例4.2我們可以看到傅里葉變換的積分性質(zhì)單位階躍信號與一個正則信號的卷積在規(guī)定的極限下產(chǎn)生的函數(shù)積分。f(t)?u例4.3:考慮兩個卷積e=我們來計算這兩個卷積，以顯示所需要的計算差異。第一個卷積積分：e=第二個卷積積分的計算首先展開來，如0這給了sin=?=因此，這兩個結(jié)果相同，然而第一個顯然更加方便，計算量更少。4.2卷積的圖形化卷積積分的圖形化表示對卷積的理解過程非常有幫助。根據(jù)積分的定義，過程包含以下幾個步驟：步驟1:用卷積持續(xù)時間來識別卷積是零的區(qū)間。步驟2:將其中一個信號的縱軸翻轉(zhuǎn)，也就是說，在時間尺度上代表一個信號。步驟3:將參數(shù)從負無窮變換到正無窮，要翻轉(zhuǎn)的信號從左向右滑動，找尋著與另一個信號重疊的區(qū)間，并計算每一個信號在相應區(qū)間內(nèi)的乘積積分。以上步驟中，我們加入卷積時移特性，讓每一個信號都通過原點開始。在得到最后的卷積結(jié)果時，應用到卷積時移公式。也可用卷積的連續(xù)性來檢驗所得到的結(jié)果，這就要求在相鄰區(qū)間的邊界上。他還是參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。我們通過比較簡單的問題開始，提出幾個圖形卷積問題。例4.1:考慮4.3中給出的兩個矩形脈沖。圖4.1兩個矩形信號在步驟一中：由于兩個信號的持續(xù)時間不同，我們得出結(jié)論，他們卷積在時間間隔的兩個信號為零。ff所以，我們只需要計算區(qū)間0到4的卷積積分在步驟二中：我們翻轉(zhuǎn)縱軸信號有一個簡單的形狀。兩個信號都是矩形脈沖，所以，無論哪一個信號被翻轉(zhuǎn)都是無關(guān)緊要的。圖4.2對用t=0的時刻。在步驟三中，我們將信號像左和向右移動，信號之間不會重疊。如圖4.3圖4.2兩個函數(shù)的圖像圖4.3兩個函數(shù)的圖像讓我們開始講信號像右移動?？紤]0到1.如圖4.4圖4.4兩個函數(shù)的圖像可以看出，從0到t信號重疊區(qū)間內(nèi)，所以乘積在這個區(qū)間內(nèi)不等于0，這意味著卷積積分給出為f通過將信號進一步向右移動，我們可以得到和1到3相同的重疊區(qū)域，如圖4.5.圖4.5兩個函數(shù)的圖像此圖可以看出，實際的卷積積分極限，即f通過向右移動3到4，我們得到圖4.6.圖4.6兩個函數(shù)的圖像這個區(qū)間里，卷積積分f對于t大于4，在步驟1中確定的卷積等于0.可以通過信號不重疊的事實來證明。他們的乘積等于0，這意味著對應的積分在同一區(qū)間內(nèi)等于零。如圖4.7.圖4.7兩個函數(shù)的圖像綜上，考慮的信號卷積f注意，從卷積連續(xù)性的性質(zhì)，可以得到卷積信號是一個連續(xù)的函數(shù)。檢查如下，對于t=0,表達式2t產(chǎn)生0.在t=1處，我們可以看到2t=2，對8-2t=2,，我們得到t=4,最后對于t=4,我們得到8-2??4=0.因此，得到的函數(shù)是參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。例4.2:讓我們對圖4.8中表示的信號進行卷積圖4.8兩個信號矩形脈沖和三角形脈沖由于兩個信號的持續(xù)時間區(qū)間都是從0到2，因此我們得出結(jié)論，對于t在0以內(nèi)和4以外，卷積積分是0.在下一步中，我們翻轉(zhuǎn)垂直軸的矩形信號，因為它有一個更加簡單的形狀。如圖4.9.圖4.9例4.2中信號的卷積過程根據(jù)4.9所顯示的信息計算的這兩個卷積積分分別是ff最后，我們得到f可以很容易的看出來，所得到的卷積結(jié)果是代表參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。例4.3:現(xiàn)在，我們可以考慮一個比較困難的問題，即兩個信號要與三角形進行卷積。如圖4.10.注意，信號需要用時間尺度來進行表示。這個問題會比較困難些。因為我們一定要將倆個三角形垂直軸信號進行一次翻轉(zhuǎn)，并找到它的解析表達式。剩下的部分是標準的卷積技術(shù)。圖4.10兩個三角形信號讓我們在樅軸上翻轉(zhuǎn)信號。翻轉(zhuǎn)的信號如圖4.11圖4.11例4.3中信號的卷積程序注意它產(chǎn)生了新的表達式，從卷積的積分性質(zhì)，我們得出結(jié)論，對于t在0以內(nèi)和t在2以外的卷積等于0.所以，我們必須在0到2之間進行工作?？紤]間隔0到1.這個時間內(nèi)，由于信號在區(qū)間內(nèi)重疊，因此卷積由f如圖4.11所示，信號在時間間隔-1到1之間重疊。這里卷積是由f例4.4:考慮圖4.12中所示的位移信號的卷積問題。圖4.12與移位信號的卷積根據(jù)卷積的時移性，我們可以信號移到原點，求出位移后的信號與原信號的卷積。為了得到所需的原始卷積結(jié)果，對與同多常規(guī)方式得到的卷積要向后移動一個單位。我們不用卷積的時移性，對這兩個信號進行卷積。如下，這些信號的時間分別在1到3和0到2，我們可以得出結(jié)果，對用的卷積是等于0的。我們將縱軸翻轉(zhuǎn)為矩形信號，如圖4.13.圖4.13例4.4中信號的卷積過程在時間間隔1到3，卷積是由f(t)=在時間間隔3到5，卷積是由f(t)=我們將卷積公式應用于線性連續(xù)時不變系統(tǒng)，并證明系統(tǒng)任何輸入的響應是由卷積積分給出的。4.3線性連續(xù)時間系統(tǒng)的卷積考慮查找系統(tǒng)在靜止也就是零初始條件的問題響應。由于每一個的輸入，譬如講，每一個線性系統(tǒng)都是由系統(tǒng)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)脈沖響應來表示。我們將要面臨的問題如圖4.14所示。圖4.14任意輸入導致的系統(tǒng)響應想一想，我們可以假設(shè)系統(tǒng)的初始條件也就是系統(tǒng)靜止，這是因果關(guān)系。所以，我們感興趣的是尋找系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，信號應用于t=0.因為系統(tǒng)的脈沖響應已經(jīng)知道，我們就知道了系統(tǒng)脈沖響應信號的答案，如圖4.15所示。我們要是引入表示系統(tǒng)對已經(jīng)知道的輸入作用，我們可以說是系統(tǒng)操作。將得到?(t)=L或者比較近似的，通過假設(shè)時不變?(t?t)=L清注意，線性系統(tǒng)動作是在時間尺度上的執(zhí)行。圖4.15由脈沖函數(shù)引起的系統(tǒng)響應我們可以用脈沖信號表示任意輸入信號f(t)=這里通過脈沖函數(shù)的塞選性質(zhì)和卷積積分性質(zhì)的定義得出的。我們得到y(tǒng)=這個公式在時域上建立了線性系統(tǒng)理論最基礎(chǔ)的結(jié)果，可以用下方定義來表示。定理4.1連續(xù)時間線性系統(tǒng)在靜止時的響應。任何的輸入時該輸入和系統(tǒng)脈沖響應的卷積。定理結(jié)論如圖4.16所示。圖4.16零狀態(tài)系統(tǒng)響應是系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)脈沖響應的卷積注意零狀態(tài)響應卷積公式y(tǒng)可以表示為三個積分的和y對于因果輸入信號，第一個積分等于零。在第三個積分中，因果線性系統(tǒng)的區(qū)域進行積分，因此第三個積分也等于零。得到y(tǒng)它在輸入信號時產(chǎn)生零狀態(tài)系統(tǒng)響應。通過引入變量，可以輕易的證明y例4.8:給定一個線性動態(tài)系統(tǒng)表示為df(t)=其傳遞函數(shù)和脈沖響應由H(s)=系統(tǒng)零狀態(tài)響應于是y1例4.9:假設(shè)4.8中相同的系統(tǒng)是由另一個外部強制函數(shù)驅(qū)動的。我們只需要計算響應的卷積積分，因為系統(tǒng)脈沖響應得知。y==利用積分，我們可以得到y(tǒng)

第五章卷積理論在圖像處理中的應用5.1卷積在二維圖像處理中的應用根據(jù)前文定義章節(jié)的論述可以發(fā)現(xiàn)卷積運算具備數(shù)學上的可交換性，所以在實際運用的過程中需要將核相對于輸入進行翻轉(zhuǎn)處理。從數(shù)學運算的角度，互相關(guān)函數(shù)和卷積積分的運算工程幾乎一樣。當前許多機器學習的庫函數(shù)之中只要實現(xiàn)的是相關(guān)函數(shù)的計算就稱之為卷積，卷積被理解為合特征的復制查找。卷積的二維運算方法如下圖所示：圖5.1二維卷積的計算示意圖可見，圖像與模板之間的卷及計算實際上是對圖像與某個函數(shù)的相似性進行對比計算。在圖像處理之中，圖像與高斯拉普拉斯函數(shù)的卷積計算實際上是評估圖像和高斯拉普拉斯函數(shù)之間的相似性。當圖像之中存在區(qū)域與高斯拉普拉斯函數(shù)的曲線形象相似時，卷積計算的結(jié)果數(shù)值將達到最大，因此，只要庫函數(shù)之中的卷積模板種類足夠多樣化，就可以對圖像之中的數(shù)據(jù)特征進行捕捉。在數(shù)字圖像處理之中，卷積通常以掩模計算的方式被提出，作為數(shù)字圖像處理之中空間域濾波的基礎(chǔ)。從頻域的角度進行分析，卷積計算在空間域之中等價于空間域濾波的基礎(chǔ)，與頻率域的濾波器相對應，可以進行平滑與銳化的操作。銳化作用在圖像分割部分可進一步延伸為邊緣提取，作為分割的重要方法。而隨著CNN的出現(xiàn)，卷積的內(nèi)涵進一步拓展，拓展至基礎(chǔ)特征提取、拓展至網(wǎng)絡模型的連接方式，通過對卷積的延伸講解，使學生從新的角度認識理解卷積的重要作用，如特征基元的提取和連接方法的優(yōu)化。首先可以從卷積運算的性質(zhì)作為切入點并展開拓展，通過應用操作使學生對卷積的木質(zhì)加深理解。而將卷積加入神經(jīng)網(wǎng)絡之中所形成的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡就可以將特征提取和識別集中到一個學習機當中。5.2卷積在深度卷積網(wǎng)絡中的應用傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡是通過使用全連接參數(shù)構(gòu)成的矩陣乘法建立輸入與輸出的連接關(guān)系，即每一層的每個神經(jīng)元都與相鄰層的所有神經(jīng)元建立連接。而加入卷積模塊的網(wǎng)絡的連接則相對稀疏，由于通常卷積核的大小遠遠小于輸入的大小，因此當卷積核在圖像上滑動遍歷時使用的相同的權(quán)值，這將大大減少權(quán)值的數(shù)量。這樣不僅減少了模型對參數(shù)空間的儲存要求，還提高了它們的運算效率。比如有11個輸入和n個輸出，那么需要調(diào)整m×p個參數(shù)，相應調(diào)參算法的時間復雜度為0(m×n)。而卷積模塊的稀疏連接使得輸入的數(shù)量大幅度減小，從而減少調(diào)參計算量，提高計算效率。等變表不有些類似于信號與系統(tǒng)中的線性時不變系統(tǒng)，線性時不變系統(tǒng)的不變指的是輸入在時間軸上的移動會帶來輸出在時間軸上發(fā)生相同的移動，而等邊表不的不變則是指在空間上輸入與輸出的等變移動。例如，在用卷積模板來提取圖像的局部特性時，如果輸入中的特征對象發(fā)生移動，卷積運算產(chǎn)生的特征表不也會在輸出中移動同樣的量。在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的首層通常是卷積層，卷積層包含了各種各樣的卷積模板，這些卷積模板得到的各種局部灰度、色彩發(fā)生變化的局部特征，而這些局部特征會在圖像的各個區(qū)域反復出現(xiàn)，不同的局部特征排列組合又構(gòu)成不同的高階特征。因此，卷積層的參數(shù)共享和等變表不極大地減少計算量，提高模型的調(diào)參效率。卷積運算除了通過稀疏交互、參數(shù)共享和等變表不這三個方面的性質(zhì)來改進機器學習模型的應用外，還提供了一種處理大小可變的輸入的方法。這樣輸入的圖像可以不必把分辨率調(diào)整到統(tǒng)一模式。因此，在機器學習領(lǐng)域產(chǎn)生了一種重要的網(wǎng)絡架構(gòu):卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(CNN)。這種架構(gòu)極大地改善了機器視覺中的檢測和識別工作，甚至是在圖像分割、去噪等圖像分析和處理領(lǐng)域也取得了很好的效果傳統(tǒng)的圖像特征提取方法，如邊緣檢測、SIFT,SURF,Haar特征等都是基于圖像局部的一階二階微分計算得來。伴隨著計算能力的大幅度提升，在深度學習技術(shù)快速發(fā)展的當下，把卷積模板應用到神經(jīng)網(wǎng)絡學習機當中，如卷積神經(jīng)網(wǎng)絡（CNN），可以統(tǒng)一有效地將特征提取的過程用卷積層和池化層來實現(xiàn)。CNN實質(zhì)上是將SIFT算子等方法全方位融合到一個模型之中，并擴大了規(guī)模和細節(jié)。而卷積網(wǎng)絡由于卷積的稀疏交互，參數(shù)共享和等變表不這三個方面的優(yōu)勢得到了巨大的發(fā)展和廣泛的應用。通過介紹CNN的基木結(jié)構(gòu)對之前講解的卷積性質(zhì)可以更加充分的理解。卷積網(wǎng)絡在木質(zhì)上是一種輸入到輸出的非線性函數(shù)映射，是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的模型訓練，只要用已知的模式和大量的樣本數(shù)據(jù)對卷積網(wǎng)絡加以訓練，網(wǎng)絡就具有輸入輸出對之間的函數(shù)映射能力。通過對卷積神經(jīng)網(wǎng)絡的介紹，讓學生理解卷積不但可以作為空間域的二維掩模運算工具，還可以作為高效的權(quán)值連接模塊來實現(xiàn)數(shù)據(jù)的抽象和壓縮。通過對基木結(jié)構(gòu)不意圖的講解，啟發(fā)學生，卷積模板提取局部特征的木質(zhì)并沒有改變，每一個卷積層實質(zhì)上都是一次抽象特征的提取，隨著層數(shù)的增加，抽象的程度也逐步提升，輸入數(shù)據(jù)的壓縮為全連接層的訓練提供便利。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡CNN主要用來識別二維圖像。CNN的卷積層是通過數(shù)以百計的卷積模板構(gòu)成，這些卷積模板的權(quán)值并不是通過人工設(shè)計的，而是通過大量的樣木數(shù)據(jù)訓練產(chǎn)生，這樣就避免了人為的主觀局限性;同時，卷積網(wǎng)絡由于它的參數(shù)共享、稀疏連接等特殊性質(zhì)，可以在模型的訓練中進行并行學習，CPU等硬件的發(fā)展使得這種并行學習在硬件層面上得到了解決方案，訓練運算效率大幅提升。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡模型的連接結(jié)構(gòu)更接近于實際的生物神經(jīng)網(wǎng)絡，并且權(quán)值共享降低了網(wǎng)絡的復雜性，具有高維輸入向量的圖像可以直接輸入網(wǎng)絡，一次性解決特征提取，特征選擇和特征分類這些步驟，避免了人工設(shè)計特征提取方法和分類過程中人的主觀判斷和多個模型計算的復雜度。成為計算機視覺中的各種模型和解決方案的基石。目前，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡已經(jīng)廣泛應用于機器視覺，圖像目標檢測識別，語音識別等方面并取得了巨大的發(fā)展，日臻成熟完善。隨著CPU等并行計算的硬件廣泛應用，卷積網(wǎng)絡的深度也進一步提高，應用效果不斷提高。當然，卷積網(wǎng)絡也由于其模型參數(shù)巨大(數(shù)以萬計)而在訓練中存在諸多瓶頸，模型對噪聲的敏感度較高，對方向及位置關(guān)系的表述能力較差，這些缺點還有待研究改善。但是無論模型怎樣改進，卷積層作為基元特征提取的主要部分是要予以保留的?？偨Y(jié)本次畢業(yè)論文由四月始，至六月中旬完成，共歷時十周。雖因為特殊情況無法回校參與設(shè)計及答辯，仍在馬永峰老師及教研室其他老師、學長學姐及同學耐心的指導及帶領(lǐng)下取得了滿意的成果。現(xiàn)對畢業(yè)論文階段完成的主要工作總結(jié)如下：本研究搜集整理并且闡釋卷積在各個學科中的作用，從應用特點的角度，對卷積在各個領(lǐng)域中的作用進行分析，涵蓋數(shù)學中的變換域分析、管理科學中的可靠性分析和信息科學中的人工智能算法應用等方面。在對卷及理論于各個領(lǐng)域的應用現(xiàn)狀進行論述的過程中，有效的對卷積在不同領(lǐng)域中的定義域的異同點進行對比分析。最后，以圖像處理為例，對卷積在圖像處理中的作用進行分析研究。發(fā)現(xiàn)卷積運算除了通過稀疏交互、參數(shù)共享和等變表不這三個方面的性質(zhì)來改進機器學習模型的應用外，還提供了一種處理大小可變的輸入的方法。這樣輸入的圖像可以不必把分辨率調(diào)整到統(tǒng)一模式，CNN神經(jīng)網(wǎng)絡應運而生。通過本次研究實踐活動，極大地開拓了自己的知識視野，對卷積神經(jīng)網(wǎng)絡在圖像處理方面的理論知識有了進一步的理解，提升了自己的實踐能力。繼續(xù)對卷積網(wǎng)絡關(guān)于圖像分類這一方面的算法進行深入的研究。由于卷積網(wǎng)絡中對圖像分類的網(wǎng)絡模型是多種多樣的，每一種網(wǎng)絡模型都有其優(yōu)點、缺點以及實際的適用環(huán)境。尤其是在互聯(lián)網(wǎng)上進行圖像分類、圖像識別等任務是非常復雜的，互聯(lián)網(wǎng)的圖像角度形狀的多變性、分辨率的殘差不齊以及物體背景環(huán)境的多樣性等因素都要求要進一步研究如何增強深度網(wǎng)絡模型泛化能力，提高深度算法的實用性。畢業(yè)設(shè)計期間，我按照導師的大連交通大學畢業(yè)論文要求及時的完成了每個階段的任務。2021年4月，對畢業(yè)設(shè)計進行了選題，在導師的要求下，確定最后的論文選題為《卷積的定義及應用》，確定題目后，我通過中國知網(wǎng)、大連交通大學圖書館網(wǎng)站等渠道對文獻資料進行了搜集和查閱，并對資料進行分析整理、歸納總結(jié)，然后撰寫開題報告，并和導師及同學交流，聽取老師的意見后，對開題報告進行修改，最后提交給導師。2021年4月至5月，進行初稿的寫作。期間多次上網(wǎng)查閱資料，求助同學和導師，根據(jù)開題報告完成初稿的寫作。經(jīng)過導師的審閱、修改，我將論文中出現(xiàn)的所有問題及時進行了修正，進一步完善了論文，并在6月5日之前完成論文二稿，提交給導師進一步審批。根據(jù)導師的審批意見，我對論文進一步做了修改，最終如期完成三稿。最后，制作PPT，為論文答辯做準備。

謝辭由于疫情及個人原因的影響，為期三個月的畢業(yè)設(shè)計只能在家中進行，原定每周一次的交流研討也只能采用線上網(wǎng)絡會議的方式。一切的一切顯示此次畢業(yè)工作是前所未有的復雜且困難，但越是這樣艱難的條件，越能激發(fā)出斗志和信心。在馬永峰老師以及其他教研室老師、往屆的優(yōu)秀學長學姐和熱心同學的領(lǐng)導和幫助下，此次畢業(yè)設(shè)計攻堅克難圓滿完成，取得了滿意的成果。在此，我首先要感謝我的指導老師——馬永峰老師，在工作初期，耐心為我們講解畢業(yè)工作內(nèi)容，積極熱心地解答在畢業(yè)階段可能存在的問題與困難，中期多次參會指導我們完善論文，定題階段為我們主持多次會議來指導論文的要求以及應避免的錯誤和注意事項，同時提出了許多合理化建議，為畢業(yè)設(shè)計收尾工作畫上完美一筆。在畢業(yè)設(shè)計籌備階段為我們制定了工作計劃，并監(jiān)督我們按計劃實施，穩(wěn)中求進。同時在畢業(yè)設(shè)計進行期間，主持多次線上交流研討會，為大家的設(shè)計提出了很多中肯的建議與意