湖南省湘西土家族苗族自治州2025屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題含解析

湖南省湘西土家族苗族自治州2025屆數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的平面幾何圖形．此圖由兩個圓構(gòu)成，O為大圓圓心，線段AB為小圓直徑．△AOB的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色月牙部分記為Ⅱ，兩小月牙之和（斜線部分）部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（）A． B． C． D．2．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．中，，，，則（）A．1 B． C． D．44．已知，是兩個變量，下列四個散點(diǎn)圖中，，雖負(fù)相關(guān)趨勢的是（）A． B．C． D．5．如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中①②③與為異面直線④以上四個命題中，正確的序號是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④6．設(shè)函數(shù)，則是()A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)7．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．8．已知點(diǎn)是直線上一動點(diǎn)、是圓的兩條切線，、是切點(diǎn)，若四邊形的最小面積是，則的值為（）A． B． C． D．9．已知，，則()A． B． C． D．10．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿足：，，則_____.12．設(shè)函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.13．已知，則的值是______.14．如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB為直徑在外作半圓O，P是半圓弧AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在斜邊BC上，若，則的取值范圍是________.15．函數(shù)的值域是______．16．某產(chǎn)品分為優(yōu)質(zhì)品、合格品、次品三個等級，生產(chǎn)中出現(xiàn)合格品的概率為0.25，出現(xiàn)次品的概率為0.03，在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意滿足，且，數(shù)列滿足，，其前9項(xiàng)和為63.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在正整數(shù)，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）將數(shù)列,的項(xiàng)按照“當(dāng)為奇數(shù)時，放在前面；當(dāng)為偶數(shù)時，放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個新的數(shù)列：…，求這個新數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知的外接圓的半徑為，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，又向量，，且.（1）求角；（2）求三角形的面積的最大值并求此時的周長.19．如圖是函數(shù)的部分圖像，是它與軸的兩個不同交點(diǎn)，是之間的最高點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若時，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.20．（Ⅰ）已知向量，求與的夾角的余弦值；（Ⅱ）已知角終邊上一點(diǎn)，求的值．21．若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)有“和一點(diǎn)”.（1）函數(shù)是否有“和一點(diǎn)”？請說明理由；（2）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：有“和一點(diǎn)”.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

設(shè)OA＝1，則AB，分別求出三個區(qū)域的面積，由測度比是面積比得答案．【詳解】設(shè)OA＝1，則AB，，以AB中點(diǎn)為圓心的半圓的面積為，以O(shè)為圓心的大圓面積的四分之一為，以AB為弦的大圓的劣弧所對弓形的面積為π﹣1，黑色月牙部分的面積為π﹣（π﹣1）＝1，圖Ⅲ部分的面積為π﹣1．設(shè)整個圖形的面積為S，則p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，正確求出各部分面積是關(guān)鍵，是中檔題．2、D【解析】

結(jié)合題意，結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，得到兩個直角三角形，取斜邊的一半，即為外接球的半徑，結(jié)合球表面積計算公式，計算，即可．【詳解】過P點(diǎn)作，結(jié)合平面ABC平面PAC可知，，故，結(jié)合可知，，所以，結(jié)合所以,所以，故該外接球的半徑等于，所以球的表面積為，故選D．【點(diǎn)睛】考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，難度偏難．3、C【解析】

利用三角形內(nèi)角和為可求得；利用正弦定理可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】由圖可知C選項(xiàng)中的散點(diǎn)圖描述了隨著的增加而減小的變化趨勢，故選C5、D【解析】

作出直觀圖,根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.【詳解】作出正方體得到直觀圖如圖所示:由直觀圖可知,與為互相垂直的異面直線,故①不正確;,故②正確;與為異面直線,故③正確;由正方體性質(zhì)可知平面,故,故④正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征,直線,平面的平行于垂直,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】函數(shù)，化簡可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函數(shù)．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期為π的偶函數(shù)．故選D．7、A【解析】若函數(shù)f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）與g（x）=2x+1的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則方程a﹣x2=﹣（2x+1）?a=x2﹣2x﹣1在區(qū)間[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣2x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣2x﹣1的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對稱軸的拋物線，故當(dāng)x=1時，g（x）取最小值﹣2，當(dāng)x=2時，函數(shù)取最大值﹣1，故a∈[﹣2，﹣1]，故選：A．點(diǎn)睛：圖像上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，即方程a﹣x2=﹣（2x+1）?a=x2﹣2x﹣1在區(qū)間[1，2]上有解，轉(zhuǎn)化為方程有解求參的問題，變量分離，畫出函數(shù)圖像，使得函數(shù)圖像和常函數(shù)圖像有交點(diǎn)即可；這是解決方程有解，圖像有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)的常見方法。8、D【解析】

作出圖形，可知，由四邊形的最小面積是，可知此時取最小值，由勾股定理可知的最小值為，即圓心到直線的距離為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出的值.【詳解】如下圖所示，由切線長定理可得，又，，且，，所以，四邊形的面積為面積的兩倍，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，四邊形的最小面積是，所以，面積的最小值為，又，，由勾股定理，當(dāng)直線與直線垂直時，取最小值，即，整理得，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由四邊形面積的最值求參數(shù)的值，涉及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是確定動點(diǎn)的位置，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9、C【解析】

利用二倍角公式變形為，然后利用弦化切的思想求出的值，可得出角的值．【詳解】，化簡得，，則，，因此，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查弦切互化思想的應(yīng)用，考查給值求角的問題，著重考查學(xué)生對三角恒等變換思想的應(yīng)用能力，屬于中等題．10、C【解析】

去掉絕對值將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式后可得其圖象的大體形狀．【詳解】由題意得，所以其圖象的大體形狀如選項(xiàng)C所示．故選C．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是去掉函數(shù)中的絕對值，將函數(shù)化為基本函數(shù)后再求解，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

從開始，直接代入公式計算，可得的值.【詳解】解：由題意得：，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的性質(zhì)，相對簡單.12、.【解析】

確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值．【詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．由單調(diào)性確定最小值，13、【解析】

根據(jù)兩角差的正切公式即可求解【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正切公式的用法，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出的取值范圍.【詳解】取中點(diǎn)為，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系則，設(shè)，，則，則設(shè)點(diǎn)，則，則當(dāng)，即時，取最大值當(dāng)，即時，取最小值則的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)量積求參數(shù)以及求正弦型函數(shù)的最值，屬于較難題.15、【解析】

將函數(shù)化為的形式，再計算值域。【詳解】因?yàn)樗浴军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題。16、0.72【解析】

根據(jù)對立事件的概率公式即可求解.【詳解】由題意，在該產(chǎn)品中任抽一件，“抽到優(yōu)質(zhì)品”與“抽到合格品或次品”是對立事件，所以在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查對立事件的概率公式，熟記對立事件的概念及概率計算公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）由已知得數(shù)列是等差數(shù)列，從而易得，也即得，利用求得，再求得可得數(shù)列通項(xiàng)，利用已知可得是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的基本量法可求得；（2）代入得，變形后得，從而易求得和，于是有，只要求得的最大值即可得的最小值，從而得的范圍，研究的單調(diào)性可得；（3）根據(jù)新數(shù)列的構(gòu)造方法，在求新數(shù)列的前項(xiàng)和時，對分類：，和三類，可求解．試題解析：（1）∵，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，∴，即，∴，又，∴．∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，∵且，∴，∴的公差為（2）由（1）知，∴，∴設(shè)，則，∴數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，∵對任意正整數(shù)，都有恒成立，∴．（3）數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和，①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，特別地，當(dāng)時，也符合上式；③當(dāng)時，．綜上：考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的求和．18、(1).(2)，周長為.【解析】

（1）由，利用坐標(biāo)表示化簡，結(jié)合余弦定理求角C（2）利用（1）中，應(yīng)用正弦定理和基本不等式，即可求出面積的最大值，此時三角形為正三角即可求周長.【詳解】（1）∵，∴，且，由正弦定理得：，化簡得：.由余弦定理：，∴，∵，∴.（2）∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”），所以，，此時，為正三角形，此時三角形的周長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）由點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得和的坐標(biāo)，從而得最值和周期，可得和，再代入頂點(diǎn)坐標(biāo)可得，再利用整體換元可求單調(diào)區(qū)間；（2）令得到，討論二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求最值即可.【詳解】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以，，則，，又因?yàn)?，則所以，由又因?yàn)椋瑒t所以令又因?yàn)閯t單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)樗粤?，則對稱軸為①當(dāng)時，即時，；②當(dāng)時，即時，（舍）③當(dāng)時，即時，（舍）綜上可得：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象求解三角函數(shù)的解析式及二次函數(shù)軸動區(qū)間定的最值問題，考查了學(xué)生的分類討論思想及計算能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知分別求得及與，再由數(shù)量積求夾角計算結(jié)果；（Ⅱ）利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，||＝5，||，∴．（Ⅱ）∵P（﹣4，3）為角α終邊上一點(diǎn)，∴，．則sin2α．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)量積求向量的夾角，考查任意角的三角函數(shù)的定義，訓(xùn)練了利用誘導(dǎo)公式化簡求值，是基礎(chǔ)題．21、（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）見解析【解析】

（1）解方程即可判斷；（2）由題轉(zhuǎn)化為2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數(shù)a＝2x﹣2求值域即可求解；（3）由題意判斷方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．【詳解】（1）若函數(shù)有“和一點(diǎn)”，則不合題意故不存在（2）若函數(shù)f（x）＝2x+a+2x有“和一點(diǎn)”.則方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，即a＝2x﹣2有解，故a＞﹣2；（3）證明：令f（x+1）＝f（x）+f（1）