2023年湖南省衡陽市成考專升本數(shù)學(xué)(理)自考真題(含答案帶解析)

2023年湖南省衡陽市成考專升本數(shù)學(xué)(理)

自考真題(含答案帶解析)

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

1.函數(shù)y=3x的反函數(shù)是()

A.A.y=(l/3)x(x>0)

B.-y=(l/3)x(x>0)

C.y=log3x(x>0)

D.-y=-log3x(x>0)

已知/(工+1)-4,則/=()

(A)x2-4x(B)x2-4

2.(C)*1+4x(D)x2

3.已知靠=(5.-3),以一1.3).1=2前,則。點(diǎn)的坐標(biāo)為

A.(ll,9)B.(4,0)C,(9,3)D,(9,-3)

4.設(shè)a>b>l,則()

A.A.loga2>logb2

B.log2a>log2b

C.log05a>log05b

D.logb0.5>loga0.5

5.i為虛數(shù)單位，則(2—3i)(3+2i)=()

A.A.12-13iB.-5iC.12+5iD.12-5i

已如正三校償?shù)捏w枳為3.底面邊長為2G.則該三校他的高為

r,、75,775

(A)3(B'75(C)—(D)—

6.

卜列函數(shù)中.既是儡函數(shù).又在區(qū)間(0.3)為減內(nèi)數(shù)的從

(A)y?cosx

(C)y*x

7.

8.在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)等于零的函數(shù)是()

A.A.y=sinx

B.y=x-1

C.y=ex-x

D.y=x2-x

9.

(4)已電:<0<%,則/An*-win'd

(A)sin0coe0(B)-din9eg。

(C)ein20(D)-sin2s

10.若x>2,那么下列四個式子中①x2>2x②xy>2y;③2x>x;④,〈今正確

的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

11.在一張紙上有5個白色的點(diǎn)，7個紅色的點(diǎn)，其中沒有3個點(diǎn)在同

一條直線上，由不同顏色的兩個點(diǎn)所連直線的條數(shù)為()

A.A.E-耳-再

B.

C..,

D&P+P；)

12.巳用正三接柱的底面枳等理?僧面積等于30,則此正三檢柱的體積為

A2〃

B.50

c.ioA

D.154

X3.'()

A?A.沒有極大值B.沒有極小值C.的極大值為?1D.的極小值為?1

14.在AABC中，若a=2,b=2、2,c=?6+、2,則角A等于（）。

A.30°B.45°C.60°D.75°

―?H=2cos。

直線3/一4y—9=0與圓（夕為參數(shù)）的位置關(guān)系是

15.6=2smGA.相交

但直線不過圓心B.相交但直線通過圓心C.相切D.相離

16.從紅、黃、藍(lán)、黑4個球中任取3個，則這3個球中有黑球的不同取

法共有0

A.3種B.4種C.2種D.6種

17.若是三角形的一個內(nèi)角，則必有（）

A.sina/2<0B.cosa>0C.cota/2>0D.tana<0

18.在^ABC中，ZC=30°,則cosAcosB-sinAsinB值等于（）

A.A.1/2B.Y3/2C.-1/2D.-Y3/2

19.函數(shù)y=*+x+4在點(diǎn)（-1,4）處的切線的斜率為（）

A.-lB.-2C.4D.9

3人坐在一排8個座位上，若每人的左右兩邊都有空座位，則坐法共有（）

（A）6種（B）12種

20.（C）18種（D）24種

21.若A（4,a）到直線4x-3y=l的距離不大于3,則a的取值范圍是

（）

A.(0,10)B.[l/3,31/3]C.[0,10]D.(-oo,0)U[l/3,10]

22.

在一張紙上有5個白色的點(diǎn)，7個紅色的點(diǎn)，其中沒有3個點(diǎn)在同一條

直線上，由不同顏色的兩個點(diǎn)所連直線的條數(shù)為()

A.P?,-Pi-P?

B.

C.一

心…)

23.已知一個等差數(shù)列的第5項(xiàng)等于10,前3項(xiàng)的和等于3,那么這個

等差數(shù)列的公差為()

A.A.3B.lC.-lD.-3

24.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，每次取出三個數(shù)相乘，可以得

到不同乘積的個數(shù)是()

A.10B.llC.20D.120

25.若函數(shù)f(x)=x2+2(a—l)x+2在(-00,4)上是減函數(shù)，則()

A.A.a=-3B.a>3C.a<-3D.a>-3

26.拋物線J=3,的準(zhǔn)線方程為。。

A.11Rk——3

不等式竽三m°的解集是

(A){*|A…}

(B)H/wxW4}

(C)HxW'或x>4)

2-w■|■或XM4}

28.函數(shù)y=10x-l的反函數(shù)的定義域是()

A.A.(-1,+oo)B.(0,+co)C.(l,+oo)D.(-oo,+oo)

29.函數(shù)y=sin2x的最小正周期是()

A.A.TT/2B.兀C.2nD.4n

30.已知直線1_L平面a直線，直線m屬于平面0,下面四個命題中正

確的是。

(l)a//p->l±m(xù)(2)a±p->l//m(3)l〃m—a_L0(4)l_Lm-a〃口

A.⑴與⑵B.(3)與(4)C.⑵與(4)D.⑴與(3)

二、填空題(20題)

31.平移坐標(biāo)軸，把原點(diǎn)移到CF(-3,2)貝!|曲線廠'6H3，-II=°,

在新坐標(biāo)系中的方程為

33.函數(shù)yslnx+cosx的導(dǎo)數(shù)y，=

在5個數(shù)字1,2,3.4,5中,隨機(jī)取出Y個數(shù)字,則?下兩個數(shù)字是奇數(shù)的做率是

34._______?

1

35.函數(shù)-的定義域是____________1

36化簡而+QP+MN-MP=

/+月5------------------一'

37.、

38.過點(diǎn)（2/）且與直線y=工+1垂直的直線的方程為-------

39.同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人

送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有種.

曲線r=叱2?!在點(diǎn)（-1,0）處的切線方程為________

40.*+2

41.等重敷刷儲-）中.若&,IO.9S“?______,

42.

函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)共有個.

43.以點(diǎn)(2,-3)為圓心，且與直線X+y-l=O相切的圓的方程為

44.正方體ABCD—A'B'C'D'中，A'C'與B'C所成的角為

以點(diǎn)(2,-3)為圓心，且與直線x+y-1=0相切的圓的方程為

45.

46.已知隨機(jī)應(yīng)量，的分布列是:

25

P0.40.20?20.10.11

則槎

47.過點(diǎn)(1,-2)且與直線3x+y-l=0垂直的直線方程為

48.化簡而+)*亦-加=

49.

Km.

/+?

yiog1（,z4-2）

50.函數(shù)27+3-的定義域?yàn)?/p>

三、簡答題（10題）

51.（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛an｝中，al=9,?3+a8=0.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑵當(dāng)n為何值時，數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn取得最大值,并求該最大值.

52.（本小題滿分12分）

設(shè)兩個二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線X=1對稱，其中一個函數(shù)的表達(dá)式為

Y=x2+2x-l,求另一個函數(shù)的表達(dá)式

53.

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（X）=1-3/+m在［-2,2］上有最大值5,試確定常效m,并求這個函數(shù)

在該閉區(qū)間上的最小值.

54.（本小題滿分12分）

已知等比數(shù)列;aj中=16.公比q=-L.

（I）求數(shù)列l(wèi)a1的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列片.的前n項(xiàng)的和S.=124.求“的優(yōu)

55.(本小題滿分12分)

設(shè)一次函數(shù)f(x)滿足條件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(O)=-1,求f(x)的

解析式.

56.

(24)(本小題滿分12分)

在中,4=45。,8=60。,必=2,求△ABC的面積.(精確到0.01)

(23)(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(z)=/-2x2+3.

(I)求曲線y=/-2d+3在點(diǎn)(2,H)處的切線方程；

b(n)求函數(shù)/(工)的單調(diào)區(qū)間.

58.(本小題滿分12分)

某服裝店將進(jìn)價為40元一件的襯衫，按50元一件售出時，能賣出500

件，如果這種襯衫每件漲價1元，其銷售量就減少10件，商店為了獲

得大利潤，問售價應(yīng)為多少？

59.

(本小題滿分12分)

在(a%+l)7的展開式中,%3的系數(shù)是％2的系數(shù)與％4的系數(shù)的等差中項(xiàng)，

若實(shí)數(shù)a>l,求a的值.

60.

（本小題滿分13分）

已知B8的方程為/+Gr+2y+/=0.—?定點(diǎn)為4（】.2）.要使其過定點(diǎn)4（1.2）

作圓的切線有兩條.求a的取值范圍.

四、解答題（10題）

61.已知數(shù)列聞｝的前n項(xiàng)和Sn=n（2n+1）

⑴求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）判斷39是該數(shù)列的第幾項(xiàng)

62.（21）（本小分12分）

已知點(diǎn)4《與,衣）在曲蹺，=三"［上.

（1）求與的值；

（n）求該曲線在點(diǎn)人處的切線方程.

63.已知正圓錐的底面半徑是1cm母線為3cm,P為底面圓周上一點(diǎn)，

由P繞過圓錐回到P點(diǎn)的最短路徑如圖所示，由頂點(diǎn)V到這條路線的

最小距離是多少？

V

已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)0=2.前3項(xiàng)和為14.

(I)求(。，的通項(xiàng)公式；

64.

65.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和S”=2"?一77,

I.求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式

II.求數(shù)列第六項(xiàng)到第十項(xiàng)的和。

66.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為,＜一點(diǎn)，°)出(⑸。)洪軸長為4

(I)求橢圓的方程；

(II)設(shè)直線+m與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，其中一個交點(diǎn)的坐

標(biāo)是(0,1)，求另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)。

67.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-x-l.

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)求f(x)的極值.

68.

已知等差數(shù)列(a.)中必=9.由+〃=0,

(1)求數(shù)列儲?)的通項(xiàng)公式；

(II)當(dāng)”為何值時，數(shù)列｛a.)的前n項(xiàng)和S.取得最大值,并求出該最大值.

69.

已知函數(shù)〃工)=M-2丘

(1)求函數(shù)y=￡x)的單調(diào)區(qū)間,并指出它在各單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù);

(2)求函數(shù)y=｛口在區(qū)間［0,4］上的最大值和最小值.

70.已知關(guān)于x,y的方程/+/+"sinG_4yc。3=0?

證明：

⑴無論。為何值，方程均表示半徑為定長的圓；

(2)當(dāng)0=7r/4時，判斷該圓與直線：y=x的位置關(guān)系.

五、單選題(2題)

71.()

A.A.1B.-lC.252D.-252

J2':-111■'1；乙」()

A.A.甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件

B.甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件

C.甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

D.甲是乙的充分必要條件

六、單選題(1題)

73.過點(diǎn)⑵-2)且與雙曲線x?-2y2=2有公共漸近線的雙曲線方程是()

A.-x2/4+y2/2=l

B.x2/2-y2/4=l

C.-x2/2+y2=l

D.-x2/4+y2/2或x2/2-y2/4=l

參考答案

l.C

2.A

3.D

設(shè)點(diǎn)。(工,y).則60?*《工+1,>—3).由于?！?=2八8,

即(升］?、-3)=2(5,-3)=(IO.-6).

得了+1?10,0-3=—6,得了=9,‘=-3.所以答案為D)

4B

?

5D

?

6B

?

7A

?

8C

?

A中.yncosx,yI,-9-cosO-11

選項(xiàng)B中.y'=lH|—=h

選項(xiàng)C中.、'=，一1~'|「。=/-1=0；

逸項(xiàng)D中,.力E=0-1=?-1.(卷案為C)

9.B

10.B

①中由x>2即x>0,所以x2>2x成立;②中由x>2,y的范圍不確定,

因此xy>2y不一定成立，③中由2>1,x>0所以2x>x成立;④中式子成

立是顯然的.正確的式子是①③④.【考點(diǎn)指要】本題考查不等式的基本

性質(zhì).不等式的性質(zhì)：a>b,c>0那么ac)>bc.

ll.C

12.B

設(shè)正三梭柱的底面的邊長為a,底面積為?臬=6.得a=2.

設(shè)正三樓柱的高為A，側(cè)面積為3XaX/i=3X2X/i=3O.得人=5.

則比正三樓柱的體積為底面積X高=571（答案為B）

13.D

14.A

15.A

口―2coM%,(D，+②】得H+/.4,

1y?2sin0

|0-。一9|

U心（X0.0）,r?2,財W心O列支技的距寓為d

16.A3個球中有黑球的取法有C？-CaM種.

17.CV0<a<n,0<a/2<兀/2A錯誤,Vsina/2>0.B錯誤,①0<a<itH,

即a為銳角cosa>0,②兀/2<a<n,即a為鈍角cosa<O,兩種情況都

有可能出現(xiàn)，；?cosa不能確定.D錯誤，tana=sina/cosa,sina>0能確

定，cosa不確定.選項(xiàng)C,V（D0<a<ro/2,cota/2>0,又二?②兀/2<a<

兀,cota/2>0此兩種情況均成立

18.D

19.A

A>'-2r】.所葭*1r=2"t-】；+?=--J.

【分析】導(dǎo)數(shù)的幾M意義是本題考查的支點(diǎn)內(nèi)容.

20.D

21.C

將4x-3y=l寫成4x-3y-l=0則

14X4-3?g~11116-3a—11

<3=><3

/42+(-3)25

|15-3a|<15=>0<a<10.

22.C

23.A

24.B

25.C

26.D

該小題主要考查的知識點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線?！究荚囍笇?dǎo)】

因?yàn)?3x,/>=-|->0,所以樹物

線，=3z的準(zhǔn)線方程為彳=_/_=__!

24'

27.A

28.A

29.B

30.D

(1)正確〃_La.a〃氏則又mU

(2)錯J；/與m可能有兩種情況：平行或異面.

(3)正項(xiàng)J；/?￡<??/〃m?則mj_a，又mUR.

**?

(4)鈾JIQ與g有兩種情況：平行、相交.

31.答案：x"=y，解析:

x'=x-h(x，=x+3

-R",

j'=y-*ly—2

將歸娛工2+6工-y+ll=O配方，使之只含有

(1+3)、(,一2)、常數(shù)三有.

即xJ+6x+9-(jr-2)-9-2+11=0,

(^+3):=(>-2).

即x'2=y.

32.

33.

34.

總解析：5個數(shù)字中共有三個ML柿下苒個是奇畋.西?法為?料.息的?(法有C種，喝所京.

嘮/

35.{x|-2<x<-l,且xr?3/2}

riog|（x+2）>01Vi+2&1

彳工+2>0=>?工；=>-2Vz4-1,且nN3

F

[2H+3XOX^~~2

Jlog）（工+2）

T,且nX一,}.

所以函數(shù)y=--J+3----的定義域是{H|-2VZ&-

36.

37.

2V2i

-j-yi8i+-p8i-y>/50i=-1-X3#i+"1x2j0i—T-X5^22^2i.

38.—。

39.

y=-4"（x+,）

40.

41.

11?！鰣?iftlt公?為.?：（??⑥）“；（a-4W

?v>xllsllO

42.

【答案】2

【解析】該小題主要考查的知識點(diǎn)為函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

【考試指導(dǎo)】

當(dāng)x—0時，y=2°—2=-1,故函

數(shù)與y軸交于—點(diǎn)；令y=0?則有片一2=

00工=1,故函數(shù)與工軸交于(1,0)點(diǎn)，因此函數(shù)

y=2,一2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)共有2個.

43.

(~2尸+6+3>=2

44.

答案：60?！窘馕觥空襟w中A‘C'與B'C為異面直線，因?yàn)锳C

〃A'C',所以AC與B'C所成的角，即為A7C'與B'C所成的

角.又4AB'C為等邊三角形.所以NACB7=60。。即A‘C'與B'C

成60o的角.求異面直線所成的角關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)移至同一平面內(nèi).并表示

出該角，再求解.

45(x-2)2+(y+3)2=2

46.

47.x-3y-7=0

解析：本題考查了直線方程的知識點(diǎn)。

因?yàn)樗笾本€與直線3x+y-l=0垂直，故可設(shè)所求直線方程為X-

3y+a=0；又直線經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),故l-3x(-2)+a=0,則a=-7,即所求直

線方程為x-3y-7=0o

48.

49.

蚓送萬.昌工=1?(卷案為1)

50.

【答案】！*一2〈工47.且上,一搟

log|(x4-2>>00V4+2&]

2

?工+2>0?

3,

,2x+3#O卜工一藜

n-2V*47?且/#一亳

yiog^(4-f2>

所以函數(shù)產(chǎn)二2；+3——的定義域是

Q

(x|-2<x<-1.A—

51.

(I)設(shè)等差數(shù)列Ia.I的公差為(由已知%+/=0,得

2a,+9d=0.又已知％=9.所以d=-2.

數(shù)列l(wèi)a.l的通項(xiàng)公式為a.=9-2(n-l).即a"="-2m

(2)數(shù)列l(wèi)a」的前n項(xiàng)和

S.=-—?(9+1—2n)=—n3+lOn=—(n—5)3+25.

當(dāng)。=5時.S.取得最大值25.

52.

由已知.可設(shè)所求函數(shù)的表達(dá)式為y=(x-m)」+n.

而…+2*-1可化為y=(x+l)'-2.

又如它們圖像的頂點(diǎn)關(guān)于直線x=1對稱.

所以n=-2,m=3,

故所求函數(shù)的表達(dá)式為》=(一3)'-2,即Z-6x+7.

53.

f(x)=3xJ-6x=3*(x-2)

令7(x)=0.得駐點(diǎn)x(=0,Xj=2

當(dāng)x<0時/(x)>0；

當(dāng)。。<2時/(x)<0

.?.x=0是的極大值點(diǎn),極大值A(chǔ)。)="?

A/TO)=m也是最大值

m=5,又/!(-2)=m-20

{2)=m-4

"(-2)=-I5JX2)=1

二函數(shù)人工)在［-2,2］上的最小位為{-2)=-15.

54.

(1)因?yàn)?即珀=5X，,得a,=64.

4

所以.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為a.=64x(4-)--

(2)由公式S.得124=-----J

1-?>1_±

2

化博得2"=32.解得n=5.

55.

設(shè)人口的解析式為/U)=ax+b.

依題慈得12(-a+6)-b=-1,解方程組,得。=法=一可

(24)解：由正弦定理可知

學(xué)T當(dāng),則

sinAsinC

^-=2(751-1).

sm75。R+a

~~4~

SA4SC=xBCxABxsinB

-yx2(^-l)x2x^

=3-7T

56.*1.27.

(23)解：(I)fM=4%5-4X,

57,八2)=24,

所求切線方程為y-U=24(Z-2),即24N-V-37=0.……6分

(口)令/(*)=0,解得

X|=-19X2=0,X3=1.

當(dāng)X變化時/(X)M的變化情況如下表：

(-00-1)

Xt-1(-1,0)0(0,1)1(1,+?)

r(?)一00-0+

232Z

夫X)的單調(diào)增區(qū)間為(-1.0),(1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-8,-1),(0,

1).……12分

58.解設(shè)襯衫每件提高X元售出時，利潤為Y元，此時賣出的件數(shù)為

500—10x件，獲得收入是(50+X)(500一10x)元，則利潤

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以當(dāng)X=20時，利潤Y取得最大值9000元，此時售價

為50+20=70元

由于(ox4-1)7=(14-ax)7.

可見,爆開式中?的系數(shù)分別為C''.C；Q3,CQJ

由巳知.2C；a‘二C；a'?C；a'

-今7x6x57x67x6x5jjs,+

乂xf<i>1.則2x-?a=、?.二-a.5ca-10a+3=0n.

3x223x2

59

60.

方程x2+/+OX+2y+『=0表示ffil的充要條件是:a'+4-4a2>0.

即".所以-飛電<0<三耳

4(1,2)在腳外,應(yīng)滿足：1+22+a+4+aJ>0

的<?+a+9>0.所以。￡股

綜上,。的取值范圍是(-罕，￥).

61.(1)當(dāng)n>2時，an=Sz-Sni=2a2+n-2(n-l)2-(n-l)=4n-1

當(dāng)n=l時，ai=3,滿足公式an=4n-L所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為

an=4n-l

(II)設(shè)39是數(shù)列｛aj的第a項(xiàng),4n-l=39,解得n=10,即39是該數(shù)列

的第10項(xiàng)

62.

(21)本小題滿分12分.

解:⑴因?yàn)椴分?/p>

所以々■1?.....<分

/I..Iw......8分

曲緩在其上一點(diǎn)（】《）處的切埃方曹為

y-y--y（?-0?

即?*4y-3?0.......J2分

63.圓錐的曲面沿著母線剪開，展開成一個平面（如下圖）

V

其半徑VP=3,弧長=2幾*1=2兀的扇形因?yàn)閳A錐的底面半徑為1,于是

圍繞圓錐的最短路

線對應(yīng)于扇形內(nèi)是Pi到Pt的最短距離就是

弦PP?,

由V到這條路線的最短距離是圖中的線段

力=AV.

依據(jù)弧長公式2x=2"3.

=

得0=i,A/i=3cos(?=3XcoSvV-

64.

CI)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由眄設(shè)可稗2+2/2G浦?即/-"一6=0.

所以奶=2.%二一3《舍去)?談數(shù)列的通項(xiàng)公式為6一2二

(11)伏I為b.-logy。.密2?-n>

65.

(])當(dāng)時,a.=S,-S“1

=2/~n~2rf+4”-2+"-1=4，L3(〃22)

當(dāng)n=1時.ai=S[=4Xl-3=1,

??an=4”—3.

22

(U)S10-S5=(2X10-10)-(2X5-5)

=145.

66.

（I）由已知?橢圓的長軸長2a=4,焦距2r-

2痣?設(shè)其短半軸氏為6,則

b=x/a1-c2=，4—3=1.

所以橢圓的方程為+/=1.（6分）

<n）因?yàn)橹本€與橢圓的一個交點(diǎn)為（0,1）.將該交

點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得m=1,即

y=綜+】.

將直線與橢圓的方程聯(lián)立得

y=等1+1,

A八1.

解得另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（一有，一十）.

67.

(I)函數(shù)的定義域?yàn)?m，+℃)，f'(x)=(ex-x-l)"=ex-l,令f(x)=0,即ex-

1=0,解得x=0,當(dāng)x￡(w,0)時,fz(x)<0,當(dāng)xW(0,+oo)時,

f'(x)>0,；.f(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，在(0，+8)上單調(diào)遞增.

(II)Vf(0)=eo-0-l=l-l=0,又?；f(x)在x=0左側(cè)單調(diào)遞減，在x=0右側(cè)

單調(diào)遞增，??以=()為極小值點(diǎn)，且f(x)的極小值為0.

68.

(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

由已