湖南省十四校聯(lián)考2024年高一下數(shù)學期末統(tǒng)考試題含解析

湖南省十四校聯(lián)考2024年高一下數(shù)學期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．甲、乙兩名運動員分別進行了5次射擊訓練，成績?nèi)缦拢杭祝?，7，8，8，1；乙：8，9，9，9，1．若甲、乙兩名運動員的平均成績分別用表示，方差分別用表示，則A． B．C． D．2．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的3倍，則（）A． B． C． D．75．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點A．向左平行移動個單位長度B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度D．向右平行移動個單位長度6．以圓形摩天輪的軸心為原點，水平方向為軸，在摩天輪所在的平面建立直角坐標系.設摩天輪的半徑為米，把摩天輪上的一個吊籃看作一個點，起始時點在的終邊上，繞按逆時針方向作勻速旋轉運動，其角速度為（弧度/分），經(jīng)過分鐘后，到達，記點的橫坐標為，則關于時間的函數(shù)圖象為（）A． B．C． D．7．甲：（是常數(shù)）乙：丙：（、是常數(shù)）?。海?、是常數(shù)），以上能成為數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的有幾個（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知平行四邊形對角線與交于點，設，，則（）A． B． C． D．9．某班設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為A．； B．C． D．10．如圖，設，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標.假設在坐標系中的坐標為，則（)A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數(shù)列滿足：（且為常數(shù)），，當時，則數(shù)列的前項的和為________.12．已知函數(shù)，關于此函數(shù)的說法：①為周期函數(shù)；②有對稱軸；③為的對稱中心；④；正確的序號是_________.13．在平面直角坐標系xOy中，已知直角中，直角頂點A在直線上，頂點B，C在圓上，則點A橫坐標的取值范圍是__________.14．已知角α的終邊與單位圓交于點．則___________.15．已知圓錐的表面積等于，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為__________.16．四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD是菱形，，，，E是BC的中點，則點C到平面的距離等于________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，(1)求的值；(2)求的單調遞增區(qū)間.18．從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表，求：（１）甲被選中的概率；（２）丁沒被選中的概率.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長為的菱形，，，是的中點．（1）求證：//平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．20．設數(shù)列為等比數(shù)列，且，，（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設，數(shù)列的前項和，求證：.21．甲、乙兩臺機床同時加工直徑為10cm的零件，為了檢驗零件的質量，從零件中各隨機抽取6件測量，測得數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：甲：99，100，98，100，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.（1）分別計算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差（2）根據(jù)（1）的計算結果，說明哪一臺機床加工的零件更符合要求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

分別計算平均值和方差，比較得到答案.【詳解】由題意可得，，.故.故答案選D【點睛】本題考查了數(shù)據(jù)的平均值和方差的計算，意在考查學生的計算能力.2、C【解析】

由可得,代入求解可得,則,進而利用誘導公式求解即可【詳解】由可得,即,所以,因為,所以,則,故選:C【點睛】本題考查垂直向量的應用,考查里利用誘導公式求三角函數(shù)值3、D【解析】

由幾何體的三視圖得該幾何體是一個底面半徑，高的扣在平面上的半圓柱，由此能求出該幾何體的體積【詳解】由幾何體的三視圖得：

該幾何體是一個底面半徑，高的放在平面上的半圓柱，如圖，

故該幾何體的體積為：故選：D【點睛】本題考查幾何體的體積的求法，考查幾何體的三視圖等基礎知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題．4、A【解析】由題意，焦點坐標，所以，解得，故選A。5、D【解析】試題分析：由題意，為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，故選D.【考點】三角函數(shù)圖象的平移【名師點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單位得的圖象，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，再向左平移個單位得的圖象．6、B【解析】

根據(jù)題意，點的橫坐標，由此通過特殊點的坐標，判斷所給的圖象是否滿足條件，從而得出結論.【詳解】根據(jù)題意可得，振幅，角速度，初相，點的橫坐標，故當時，，當時，為的最大值，故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的實際應用以及余弦型函數(shù)圖象的特征，其中，求出函數(shù)模型的解析式是解題的關鍵，考查推理能力，屬于中等題.7、D【解析】

由等差數(shù)列的定義和求和公式、通項公式的關系，以及性質，即可得到結論.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為，由定義可得（是常數(shù)），且（是常數(shù)），，令，即（、是常數(shù)），等差數(shù)列通項，令，即（、是常數(shù)），綜上可得甲乙丙丁都對.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式、求和公式的關系，考查充分必要條件的定義，考查推理能力，屬于基礎題.8、B【解析】

根據(jù)向量減法的三角形法則和數(shù)乘運算直接可得結果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查向量的線性運算問題，涉及到向量的減法和數(shù)乘運算的應用，屬于基礎題.9、A【解析】

試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識得出四個等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.考點：余弦定理和三角形面積的求解.【方法點晴】本題是一道關于三角函數(shù)在幾何中的應用的題目，掌握正余弦定理是解題的關鍵；首先根據(jù)三角形面積公式求出個三角形的面積；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長的平方，進而得到正方形的面積，最后得到答案.10、D【解析】

可得.【詳解】向量，則．故選：．【點睛】本題主要考查了向量模的運算和向量的數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接利用分組法和分類討論思想求出數(shù)列的和.【詳解】數(shù)列滿足：（且為常數(shù)），，當時，則，所以（常數(shù)），故，所以數(shù)列的前項為首項為，公差為的等差數(shù)列.從項開始，由于，所以奇數(shù)項為、偶數(shù)項為，所以，故答案為：【點睛】本題考查了由遞推關系式求數(shù)列的性質、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，同時也考查了分類討論的思想，屬于中檔題.12、①②④【解析】

由三角函數(shù)的性質及，分別對各選項進行驗證，即可得出結論.【詳解】解：由函數(shù)，可得①，可得為周期函數(shù)，故①正確；②由，，故，是偶函數(shù)，故有對稱軸正確，故②正確；③為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時,故不為的對稱中心，故③不正確；④由，可得正確，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域、周期性、對稱性等相關知識，綜合性大，屬于中檔題.13、【解析】

由題意畫出圖形，寫出以原點為圓心，以為半徑的圓的方程，與直線方程聯(lián)立求得值，則答案可求．【詳解】如圖所示，當點往直線兩邊運動時，不斷變小，當點為直線上的定點時，直線與圓相切時，最大，∴當為正方形，則，則以為圓心，以為半徑的圓的方程為．聯(lián)立，得．解得或．點橫坐標的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查直線與圓位置關系的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標法的應用.14、【解析】

直接利用三角函數(shù)的坐標定義求解.【詳解】由題得.故答案為【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標定義，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、【解析】

設出底面圓的半徑，用半徑表示出圓錐的母線，再利用表面積，解出半徑?！驹斀狻吭O圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則底面圓面積為，周長為，則解得故填2【點睛】本題考查根據(jù)圓錐的表面積求底面圓半徑，屬于基礎題。16、【解析】

利用等體法即可求解.【詳解】如圖，由ABCD是菱形，，，E是BC的中點，所以,又平面ABCD，所以平面ABCD，即，又，則平面，由平面，所以，所以，設點C到平面的距離為，由即，即，所以.故答案為：【點睛】本題考查了等體法求點到面的距離，同時考查了線面垂直的判定定理，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，(1)將代入，利用特殊角的三角函數(shù)可得的值；(2)利用正弦函數(shù)的單調性解不等式，可得到函數(shù)的遞增區(qū)間.詳解：（Ⅰ）===（Ⅱ）由題可得，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是點睛：本題主要考查三角函數(shù)的單調性、三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.函數(shù)的單調區(qū)間的求法：(1)代換法：①若,把看作是一個整體，由求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間；②若,則利用誘導公式先將的符號化為正，再利用①的方法，或根據(jù)復合函數(shù)的單調性規(guī)律進行求解；(2)圖象法：畫出三角函數(shù)圖象，利用圖象求函數(shù)的單調區(qū)間.18、（1）；（2）.【解析】

（1）先確定從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定甲被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率（2）先確定從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定丁沒被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.【詳解】（1）從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6種基本事件，其中甲被選中包括甲乙，甲丙，甲丁三種基本事件，所以甲被選中的概率為.（2）丁沒被選中包括甲乙，甲丙，乙丙三種基本事件，所以丁沒被選中的概率為.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）連接交于點，則為的中點，由中位線的性質得出，再利用直線與平面平行的判定定理得出平面；（2）取的中點，連接，由中位線的性質得到，且，可得出平面，于此得出直線與平面所成的角為，然后在中計算即可.【詳解】（1）連接，交于點，連接，由底面是菱形，知是的中點，又是的中點，∴.又∵平面，平面,∴平面；（2）取中點，連接，∵分別為的中點，∴，∵平面，∴平面，∴直線與平面所成角為，∵，，∴.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的計算，在計算直線與平面所成角時，要注意過點作平面的垂線，構造出直線與平面所成的角，再選擇合適的直角三角形求解，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．20、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將已知條件轉化為等比數(shù)列的基本量和，得到的值，從而得到數(shù)列的通項；（2）根據(jù)題意寫出，然后得到數(shù)列的通項，利用列項相消法進行求和，得到其前項和，然后進行證明.【詳解】設等比數(shù)列的首項為，公比為，因為，所以，所以所以；（2），