山東省鄒平雙語(yǔ)學(xué)校三區(qū)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

山東省鄒平雙語(yǔ)學(xué)校三區(qū)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在ΔABC中,若,則=（）A．6 B．4 C．-6 D．-42．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作之一，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積（弦矢矢），弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑等于6米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約為（）A．12平方米 B．16平方米 C．20平方米 D．24平方米3．如右圖所示的直觀圖，其表示的平面圖形是（A）正三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）直角三角形4．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9，則（）A．6 B．5 C．4 D．35．從總數(shù)為的一批零件中抽取一個(gè)容量為的樣本，若每個(gè)零件被抽取的可能性為，則為（）A． B． C． D．6．將兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5，4，3的長(zhǎng)方體壘在一起，使其中兩個(gè)面完全重合，組成一個(gè)大長(zhǎng)方體，則大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．7．素?cái)?shù)指整數(shù)在一個(gè)大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)。我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如。在不超過(guò)15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和小于18的概率是（）A． B． C． D．8．已知a=logA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．b<c<a9．如圖，扇形的圓心角為，半徑為1，則該扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．10．如圖，直角的斜邊長(zhǎng)為2，，且點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段的右上方．設(shè)，（），記，，分別考察的所有運(yùn)算結(jié)果，則（）A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，記，則數(shù)列的最大項(xiàng)是第___________項(xiàng).12．從原點(diǎn)向直線作垂線，垂足為點(diǎn)，則的方程為_(kāi)______.13．向量．若向量，則實(shí)數(shù)的值是________．14．已知{}是等差數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，且，則____.15．已知，，若，則實(shí)數(shù)_______.16．若不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的能為_(kāi)__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.18．已知、、是銳角中、、的對(duì)邊，是的面積，若，，．（1）求；（2）求邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度．19．在平面直角坐標(biāo)系中，直線截以原點(diǎn)為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為．（1）求圓的方程；（2）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，當(dāng)長(zhǎng)最小時(shí)，求直線的方程；（3）設(shè)是圓上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，若直線分別交軸于點(diǎn)和，問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.21．已知，，其中.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

向量的點(diǎn)乘，【詳解】,選C.【點(diǎn)睛】向量的點(diǎn)乘，需要注意后面乘的是兩向量的夾角的余弦值，本題如果直接計(jì)算的話，的夾角為∠BAC的補(bǔ)角2、C【解析】

在中，由題意OA＝4，∠DAO＝，即可求得OD，AD的值，根據(jù)題意可求矢和弦的值，即可利用公式計(jì)算求值得解．【詳解】如圖，由題意可得：∠AOB＝，OA＝6，在中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得：矢＝6﹣3＝3，由AD＝AO＝6×＝3，可得：弦＝2AD＝2×3＝6，所以：弧田面積＝（弦×矢+矢2）＝（6×3+32）＝9+4.5≈20平方米．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式，考查數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．3、D【解析】略4、D【解析】

由眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可確定，題中中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，這樣可計(jì)算出．【詳解】由甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為11，得，乙組數(shù)據(jù)中間兩個(gè)數(shù)分別為6和，所以中位數(shù)是，得到，因此.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查眾數(shù)和中位數(shù)的概念，掌握眾數(shù)與中位數(shù)的定義是解題基礎(chǔ)．5、A【解析】

由樣本容量、總?cè)萘恳约皞€(gè)體入樣可能性三者之間的關(guān)系，列等式求出的值.【詳解】由題意可得，解得，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查抽樣概念的理解，了解樣本容量、總體容量以及個(gè)體入樣可能性三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

要計(jì)算長(zhǎng)方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線是外接球的直徑這一性質(zhì)，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合；（2）長(zhǎng)高的兩個(gè)面重合；（3）高寬兩個(gè)面重合，分別計(jì)算出新長(zhǎng)方體的對(duì)角線，然后分別計(jì)算出外接球的表面積，最后通過(guò)比較即可求出最大值.【詳解】（1）當(dāng)長(zhǎng)寬的兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為5，寬為4，高為6，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（2）當(dāng)長(zhǎng)高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)5，寬為8，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為；（3）當(dāng)寬高兩個(gè)面重合，新的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為10，寬為4，高為3，對(duì)角線長(zhǎng)為：，所以大長(zhǎng)方體的外接球表面積為，顯然大長(zhǎng)方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、B【解析】

找出不超過(guò)15的素?cái)?shù)，從其中任取2個(gè)共有多少種取法，找到取出的兩個(gè)和小于18的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】不超過(guò)15的素?cái)?shù)為，共6個(gè)，任取2個(gè)分別為，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)基本事件，其中兩個(gè)和小于18的共有11個(gè)基本事件，根據(jù)古典概型概率公式知.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于中檔題.8、B【解析】

運(yùn)用中間量0比較a?,?c【詳解】a=log20.2<log21=0,【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．9、C【解析】

以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將整個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個(gè)半球，利用球面的表面積公式及圓的表面積公式即可求得．【詳解】由已知可得：以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將整個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個(gè)半球，其中半球的半徑為1，故半球的表面積為：故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的概念，以及球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟記旋轉(zhuǎn)體的定義，以及球的表面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

設(shè)，用表示出，根據(jù)的取值范圍，利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得最值的情況.【詳解】依題意，所以.設(shè)，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.，所以，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

求得，則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求使得最大且使得為偶數(shù)的正整數(shù)的值，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求使得最大且使得為偶數(shù)的正整數(shù)的值，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為偶數(shù).因此，的最大項(xiàng)是第項(xiàng).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前項(xiàng)積最值的計(jì)算，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.12、.【解析】

先求得直線的斜率,由直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系可求得直線的斜率.再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求得直線的方程.【詳解】從原點(diǎn)向直線作垂線,垂足為點(diǎn)則直線的斜率由兩條垂直直線的斜率關(guān)系可知根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線的方程為化簡(jiǎn)得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系,點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.13、-3【解析】

試題分析：∵，∴，又∵，∴，∴，∴考點(diǎn)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題14、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，由此得解.【詳解】解：由題意可知，；同理。故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得：，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得：，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)分式不等式,移項(xiàng)、通分并等價(jià)化簡(jiǎn),可得一元二次不等式.結(jié)合二次函數(shù)恒成立條件,即可求得的值.【詳解】將不等式化簡(jiǎn)可得即的解集為空集所以對(duì)于任意都恒成立將不等式等價(jià)化為即恒成立由二次函數(shù)性質(zhì)可知化簡(jiǎn)不等式可得解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,將不等式等價(jià)化為一元二次不等式,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)解決恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析；(2)，或，.【解析】

（1）設(shè)，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑.由于圓過(guò)點(diǎn)，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.【名師點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況.中點(diǎn)弦問(wèn)題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證或說(shuō)明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部.18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角形的面積公式結(jié)合為銳角可求出的值；（2）利用余弦定理可求出邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度．【詳解】（1）由三角形的面積公式可得，得.為銳角，因此，；（2）由余弦定理得，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形的面積公式求角，同時(shí)也考查了利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（1）；（3）定值為.【解析】試題分析：（1）求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而可求圓的半徑，即可得到圓的方程；（1）設(shè)直線的方程，利用直線與圓相切，及基本不等式，可求長(zhǎng)最小時(shí)，直線的方程；（3）設(shè)，則，求出直線，分別與軸交點(diǎn)，進(jìn)而可求的值．試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以圓的半徑為，故圓的方程為．（1）設(shè)直線的方程為，即，由直線與圓相切，得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為，所以當(dāng)長(zhǎng)最小進(jìn)，直線的方程為．（3）設(shè)點(diǎn)，則，直線與軸交點(diǎn)為，則，直線與軸交點(diǎn)為，則，所以，故為定值1．考點(diǎn)：1.直線和圓的方程的應(yīng)用；1.直線與圓相交的性質(zhì)．20、(1)(2)【解析】

分析：（1）由，利用正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得；從而可得結(jié)果；（2）由余弦定理可得可得，所以.詳解：(1)∵∴∴（2）∵∴∴點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷