1.3兩條直線平行和垂直的判定-高二數(shù)學精講高分突破系列（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第第頁1.3兩條直線平行和垂直的判定【考點梳理】考點一：兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示考點二：兩條直線垂直的判定圖示對應關系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2【題型歸納】題型一：由斜率判斷兩條直線平行1．（2022秋·浙江金華·高二浙江金華第一中學校）直線與直線的位置關系是（

）A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合【答案】B【分析】根據(jù)兩直線斜率和截距判斷位置關系.【詳解】直線化成斜截式方程為，直線化成斜截式方程為，兩直線斜率相等，在y軸上截距不相等，所以兩直線的位置關系是平行.故選：B2．（2023秋·高二）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題①若，則斜率；

②若斜率，則；③若，則傾斜角；④若傾斜角，則，其中正確命題的個數(shù)是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線平行的判定方法與結論即可判斷．【詳解】由于與為兩條不重合的直線且斜率分別為，，所以，故①②正確；由于與為兩條不重合的直線且傾斜角分別為，，所以，故③④正確，所以正確的命題個數(shù)是4．故選：D．3．（2022·高二）已知兩條直線：，：，則下列說法正確的是（

）A．與一定相交 B．與一定平行C．與一定相交或平行 D．以上均不對【答案】D【分析】利用兩直線的位置關系判斷.【詳解】解：當時，與重合；當時，與平行，當時，與相交，故選：D題型二：由斜率判斷兩條直線垂直4．（2023·全國·高二專題練習）兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】由題意利用根與系數(shù)的關系可得兩直線的斜率乘積為，從而可判斷出兩直線的位置關系.【詳解】設兩直線的斜率分別為，，因為，是方程的兩根，所以利用根與系數(shù)的關系得，所以兩直線的位置關系是垂直．故選：A．5．（2023·全國·高二專題練習）下列各組直線中，互相垂直的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】分別求出兩直線的斜率，根據(jù)斜率之積為兩直線垂直，即可判斷.【詳解】對于A：直線的斜率為，直線的斜率為，故兩直線平行，故A錯誤；對于B：直線的斜率為，直線的斜率為，斜率之積不為，即兩直線不垂直，故B錯誤；對于C：直線的斜率為，直線的斜率為，斜率之積不為，即兩直線不垂直，故C錯誤；對于D：直線的斜率為，直線的斜率為，斜率之積為，即兩直線垂直，故D正確；故選：D6．（2022秋·安徽六安·高二校考階段練習）已知點，，則線段的垂直平分線所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用兩直線垂直的斜率關系和點斜式方程即可求解.【詳解】線段的中點為，的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以由點斜式即，故選：B.題型三：已知直線平行求參數(shù)7．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習）直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】求出已知二直線不相交時的a值，再驗證作答.【詳解】依題意，直線與直線平行或重合時，，解得或，當時，直線與直線重合，當時，直線與直線平行，所以的值為.故選：C8．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？茧A段練習）已知過點和點的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8【答案】A【分析】由平行、垂直直線的斜率關系得出的值.【詳解】因為，所以，解得，又，所以，解得.所以.故選：A.9．（2023·全國·高二專題練習）已知常數(shù)，直線：，：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先利用兩直線平行的公式求出，再確定充分性和必要性即可.【詳解】因為直線：，：，當時，解得，所以是的充分不必要條件.故選：A題型四：已知直線垂直求參數(shù)10．（2023秋·湖南長沙·高二?？奸_學考試）直線，若，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．或1【答案】C【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】，即，解得或.故選：C.11．（2023秋·浙江溫州·高二樂清市知臨中學?？奸_學考試）設直線，，則是的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結合直線垂直的性質判斷即可.【詳解】當時，直線，，此時，則，所以，故充分性成立；當時，，解得或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：C.12．（2023·全國·高二專題練習）直線：，則“”是“直線與軸垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由直線與軸垂直，可得直線的斜率不存在，進而得到，解出的值，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由直線與軸垂直，得直線的斜率不存在，可得，解得，所以“”是“直線與軸垂直”的充要條件.故選：C.題型五：直線平行、垂直在幾何中的應用13．（2023秋·高二課時練習）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點D使AD⊥BC，AB∥CD，則點D的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設D(x，y)，根據(jù)兩直線平行和垂直時，其斜率間的關系得出方程組，解之可求得點D的坐標得選項.【詳解】解：設D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，故選：D.14．（2022秋·山東德州·高二德州市第一中學校考階段練習）數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，則△ABC的歐拉線方程為（）A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0【答案】B【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出線段AB的垂直平分線，再由AC＝BC判斷出其即為△ABC的歐拉線.【詳解】因為A（4，0），B（0，2），所以線段AB的中點為（2，1），所以線段AB的垂直平分線為：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分線上，因此△ABC的歐拉線方程為2x﹣y﹣3＝0.故選：B.15．（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學校聯(lián)考期末）的三個頂點分別是，，.(1)求邊的垂直平分線所在直線方程；(2)求內邊上中線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先得到線段的中點，再利用垂直平分線得到，接著用點斜式即可求解；（2）利用截距式即可得到中線的方程，注意加上對應范圍【詳解】（1）由，可得線段的中點為，，因為是邊的垂直平分線，所以，則所在直線方程：即（2）由（1）可得線段的中點為，故邊上中線方程為即，所以內邊上中線方程：題型六：直線平行與垂直的綜合問題16．（2023秋·全國·高二期中）已知兩直線.當為何值時，和.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)與平行的條件且列式可得答案；（2）根據(jù)與垂直的條件列式可得答案.【詳解】（1）因為，所以，解得或，當時，直線兩條直線重合，故時，；（2）因為，所以，解得或.17．（2023·全國·高二專題練習）根據(jù)下列條件寫出直線方程，并化為一般式：(1)斜率是且經過點；(2)經過兩點；(3)在軸上的截距分別為.(4)過點，且平行于的直線；(5)與垂直，且過點的直線．(6)直線過點和點，求該直線的方程；(7)直線過點，且傾斜角的正弦值是，求該直線的方程.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)或【詳解】（1）由直線點斜式方程知：所求直線方程為，即.（2）由直線兩點式方程知：所求直線方程為，即.（3）由直線截距式方程知：所求直線方程為，即.（4）設所求直線方程為：，直線過點，，解得：，直線方程為，即.（5）設所求直線方程為：，直線過點，，解得：，直線方程為：.（6）由直線兩點式方程知：直線方程為，即.（7）設直線的傾斜角為，由得：，；當時，直線斜率，直線方程為：，即；當時，直線斜率，直線方程為：，即；綜上所述：直線方程為或.18．（2023秋·高二單元測試）已知直線，.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若直線在兩個坐標軸上的截距相等，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合直線平行的性質，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結合截距的定義，并分類討論，即可求解．【詳解】（1）直線，．則，解得或，當時，，，則直線，重合，不符合題意；當時，，，則直線，不重合，符合題意，故.（2）當，即時，，直線在兩坐標軸上的截距為，滿足直線在兩個坐標軸上的截距相等；當且時，則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，由題意可知，，解得，當時直線，顯然不符合題意，綜上所述，或．【雙基達標】一、單選題19．（2023·全國·高二）直線：與直線：平行，則（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由兩直線平行得到方程和不等式，求出答案.【詳解】由題意得，解得.故選：A20．（2023秋·高二課時練習）兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系及直線的斜率關系判定直線位置關系即可.【詳解】不妨設兩直線的斜率分別為，則由題意有，所以兩直線互相垂直.故選：A21．（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）直線，若，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．3 C．0或 D．0或3【答案】C【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為，，所以，即，解得或.故選：C.22．（2023秋·高二課時練習）已知直線過點與平行，則的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設出的方程，利用點求得正確答案.【詳解】設直線，代入得，所以直線的方程是.故選：B23．（2023秋·高二課時練習）已知點，點B在直線上，直線AB垂直于直線，則點B的坐標是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設點B坐標，由兩直線的垂直關系及點在線上列出方程組計算即可.【詳解】設，則由題意可得①，且②，由①②解得.即B正確.故選：B24．（2023秋·高二課時練習）已知三條直線，，．(1)若，且過點，求、的值；(2)若，求、的值．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）由直線垂直的特征及直線過的點可得關于a、b的方程組，即可得解；（2）由直線平行的特征求解a，b，再代入驗證即可.【詳解】（1）因為，，且，所以，又直線過點，所以，所以，所以，所以或；（2）若，則，解得，當時，，也即，，也即，滿足，所以若，.25．（2023秋·廣西貴港·高二校聯(lián)考開學考試）已知的三個頂點為，，，D為BC的中點，AD所在的直線為．(1)求的一般式方程；(2)若直線經過點B，且，求在軸上的截距．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出點的坐標，再利用兩點式可求出直線的方程，再化為一般式即可，（2）由題意設直線的方程為，再將點的坐標代入可求出的值，從而可求出在軸上的截距．【詳解】（1）由題意得，則l的方程為，即．（2）設的方程為，將代入，得，即，所以在y軸上的截距為3．【高分突破】一、單選題26．（2023秋·福建三明·高二三明一中?？茧A段練習）若直線與直線互相平行，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用兩直線平行可得出關于的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為直線與直線互相平行，則，解得.故選：A.27．（2023春·四川成都·高二校考期中）已知命題p：“”，命題q：“直線與直線垂直”，則命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合兩直線垂直的條件分析判斷即可【詳解】若直線與直線垂直，則，得，或，所以命題p是命題q的充分不必要條件，故選：A28．（2023·全國·高二專題練習）已知直線：，：，其中，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用兩直線垂直求出a的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】直線：，：，由，得，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：C29．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學?？奸_學考試）已知命題：直線與平行，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關系可得命題等價于或，結合充分不必要條件的判斷即可求解.【詳解】直線與平行，則，解得或，所以命題等價于或，命題．則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．故選：A．30．（2023·全國·高二專題練習）若為實數(shù)，則“”是“直線與平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)直線平行求得，結合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若“直線與平行”，則，解得或，當時，直線，，此時//，符合題意；當時，直線，即，，此時，重合，不符合題意；綜上所述：“直線與平行”等價于.所以“”是“直線與平行”的充要條件.故選：C.31．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）已知直線和，則（）A．m和n可能重合

B．m和n不可能垂直C．存在直線m上一點P，以P為中心旋轉后與n重合D．以上都不對【答案】C【分析】A選項求出直線m與直線n的斜率判斷；B選項由斜率之積是否為判斷；C選項由兩直線不平行，得出兩直線相交判斷.【詳解】對A，直線，斜率為；直線，斜率為；，所以m和n不可能重合，A錯誤；對B，時，，m和n垂直，所以B錯誤；對C，由知m和n不平行，設m、n相交于點P，則直線m以P為中心旋轉后與n重合，所以C正確．故選：C．二、多選題32．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）下列說法中錯誤的是（

）A．不過原點的直線都可以用方程表示B．若直線，則兩直線的斜率相等C．過兩點，的直線都可用方程表示D．若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直【答案】ABD【分析】A和C選項根據(jù)直線的截距式方程和兩點式方程的定義解決，選項B需要考慮斜率不存在的情況，選項D根據(jù)斜率考慮直線的傾斜角，得到兩直線的位置關系.【詳解】A.直線的截距式方程不能表示過原點和垂直于坐標軸的直線，故A錯誤；B.和的斜率有可能不存在，故B錯誤；C.選項中的方程是直線的兩點式方程化為整式后的結果，直線的兩點式方程不能表示垂直于坐標軸的直線，但化為整式后就沒有缺陷了，可以表示任意直線，故C正確；D.直線斜率不存在，則直線垂直于軸，直線斜率存在，但不一定斜率為0，所以兩直線不一定垂直，故D錯誤.故選：ABD33．（2023·全國·高二專題練習）下列各組直線中與一定平行的是（

）A．經過點，經過點B．經過點，經過點C．的傾斜角為，經過點D．平行于軸，經過點【答案】AD【分析】由題意，先求出兩直線的斜率，當斜率相等再看兩直線是否重合，從而得出結論.【詳解】對于A．由題意知，所以直線與直線平行或重合，又，故，A選項正確；對于B．由題意知，所以直線與直線平行或重合，，故直線與直線重合，B選項錯誤；對于C．由題意知，，所以直線與直線可能平行可能重合，C選項錯誤；對于D．由題意知的斜率不存在，且不是軸，的斜率也不存在，恰好是軸，所以，D選項正確．故選：AD34．（2023秋·高二課時練習）以為頂點的三角形，下列結論正確的有（

）A．B．C．以點為直角頂點的直角三角形D．以點為直角頂點的直角三角形【答案】AC【分析】對于AB，利用斜率公式計算判斷，對于C，通過計算判斷，對于D，通過計算判斷.【詳解】對于A，因為，所以，所以A正確，對于B，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，所以，所以以點為直角頂點的直角三角形，所以C正確，對于D，因為，，所以，所以D錯誤，故選：AC35．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）光線自點射入，經傾斜角為的直線反射后經過點，則反射光線經過的點為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先求點關于直線的對稱點，得出反射后的直線，再對選項逐一檢驗【詳解】由題意知，，設點關于直線的對稱點為，則，解得，所以反射光線所在的直線方程為，所以當時，；當時，，故選：BC36．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知直線，直線，則下列命題正確的有（

）A．直線恒過點B．直線的方向向量為，則C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)已知直線方程，逐個驗證直線過的定點、方向向量和垂直平行所需的條件.【詳解】把代入直線的方程，等式不成立，A選項錯誤；直線的方向向量為，則直線斜率，得，B選項正確；直線方向向量為，直線的方向向量為，若，則有，解得，當時，與重合，C選項錯誤；若，則有，即，D選項正確.故選：BD三、填空題37．（2023秋·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）已知直線與平行，則實數(shù)．【答案】0或【分析】根據(jù)兩直線平行的性質求解.【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，經檢驗，此時兩直線平行.故答案為：0或38．（2023秋·廣西貴港·高二校聯(lián)考開學考試）若直線與直線垂直，則．【答案】【分析】根據(jù)直線垂直列方程，從而求得的值.【詳解】因為直線與直線垂直，所以，解得．故答案為：39．（2023·全國·高二課堂例題）若過點和點的直線與方向向量為的直線垂直，則實數(shù)m的值是．【答案】5【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關系運算求解.【詳解】由得直線的斜率為，若兩直線垂直，則直線PQ的斜率為，解得．故答案為：5.40．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谥校┮阎本€過點和點，直線，直線.若，，則.【答案】【分析】根據(jù)直線垂直和平行滿足的斜率關系即可求解.【詳解】由于直線的斜率為，且，直線的斜率為，解得.由于，的斜率為，直線的斜率為，，∴，解得，∴.故答案為：41．（2023·高二課時練習）θ是第三象限的角，已知直線和直線，則與的位置關系為．【答案】垂直【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件判斷即可.【詳解】因為θ是第三象限的角，所以，所以，故答案為：垂直四、解答題42．（2023·全國·高二）已知點求：(1)BC邊上的中線所在直線的方程；(2)BC邊上的高所在直線方程；(3)BC邊的垂直平分線的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)中點坐標公式求出中點，然后利用兩點坐標寫出直線方程即可；（2）BC邊上的高和BC垂直，利用兩直線垂直的斜率關系即可；（3）利用垂直平分線經過BC的中點，且和BC垂直求解即可.【詳解】（1）的中點坐標為，且所以BC邊上的中線所在直線的方程：（2）BC的斜率：，所以BC邊上的高所在直線方程的斜率：BC邊上的高所在直線方程：即：.（3）由前兩問知：的中點坐標為，.BC邊的垂直平分線的