1.3兩條直線平行和垂直的判定-高二數(shù)學(xué)精講高分突破系列（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)1.3兩條直線平行和垂直的判定【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示考點(diǎn)二：兩條直線垂直的判定圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2【題型歸納】題型一：由斜率判斷兩條直線平行1．（2022秋·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)校）直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．平行 C．相交 D．重合【答案】B【分析】根據(jù)兩直線斜率和截距判斷位置關(guān)系.【詳解】直線化成斜截式方程為，直線化成斜截式方程為，兩直線斜率相等，在y軸上截距不相等，所以兩直線的位置關(guān)系是平行.故選：B2．（2023秋·高二）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題①若，則斜率；

②若斜率，則；③若，則傾斜角；④若傾斜角，則，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線平行的判定方法與結(jié)論即可判斷．【詳解】由于與為兩條不重合的直線且斜率分別為，，所以，故①②正確；由于與為兩條不重合的直線且傾斜角分別為，，所以，故③④正確，所以正確的命題個(gè)數(shù)是4．故選：D．3．（2022·高二）已知兩條直線：，：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與一定相交 B．與一定平行C．與一定相交或平行 D．以上均不對(duì)【答案】D【分析】利用兩直線的位置關(guān)系判斷.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，與重合；當(dāng)時(shí)，與平行，當(dāng)時(shí)，與相交，故選：D題型二：由斜率判斷兩條直線垂直4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】由題意利用根與系數(shù)的關(guān)系可得兩直線的斜率乘積為，從而可判斷出兩直線的位置關(guān)系.【詳解】設(shè)兩直線的斜率分別為，，因?yàn)?，是方程的兩根，所以利用根與系數(shù)的關(guān)系得，所以兩直線的位置關(guān)系是垂直．故選：A．5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列各組直線中，互相垂直的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】分別求出兩直線的斜率，根據(jù)斜率之積為兩直線垂直，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：直線的斜率為，直線的斜率為，故兩直線平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：直線的斜率為，直線的斜率為，斜率之積不為，即兩直線不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：直線的斜率為，直線的斜率為，斜率之積不為，即兩直線不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線的斜率為，直線的斜率為，斜率之積為，即兩直線垂直，故D正確；故選：D6．（2022秋·安徽六安·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，則線段的垂直平分線所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用兩直線垂直的斜率關(guān)系和點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】線段的中點(diǎn)為，的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，所以由點(diǎn)斜式即，故選：B.題型三：已知直線平行求參數(shù)7．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】求出已知二直線不相交時(shí)的a值，再驗(yàn)證作答.【詳解】依題意，直線與直線平行或重合時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，所以的值為.故選：C8．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8【答案】A【分析】由平行、垂直直線的斜率關(guān)系得出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，又，所以，解?所以.故選：A.9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知常數(shù)，直線：，：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先利用兩直線平行的公式求出，再確定充分性和必要性即可.【詳解】因?yàn)橹本€：，：，當(dāng)時(shí)，解得，所以是的充分不必要條件.故選：A題型四：已知直線垂直求參數(shù)10．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．或1【答案】C【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】，即，解得或.故選：C.11．（2023秋·浙江溫州·高二樂(lè)清市知臨中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)直線，，則是的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)，則，所以，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，，解得或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：C.12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線：，則“”是“直線與軸垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由直線與軸垂直，可得直線的斜率不存在，進(jìn)而得到，解出的值，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由直線與軸垂直，得直線的斜率不存在，可得，解得，所以“”是“直線與軸垂直”的充要條件.故選：C.題型五：直線平行、垂直在幾何中的應(yīng)用13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點(diǎn)D使AD⊥BC，AB∥CD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)D(x，y)，根據(jù)兩直線平行和垂直時(shí)，其斜率間的關(guān)系得出方程組，解之可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)得選項(xiàng).【詳解】解：設(shè)D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，故選：D.14．（2022秋·山東德州·高二德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，則△ABC的歐拉線方程為（）A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0【答案】B【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出線段AB的垂直平分線，再由AC＝BC判斷出其即為△ABC的歐拉線.【詳解】因?yàn)锳（4，0），B（0，2），所以線段AB的中點(diǎn)為（2，1），所以線段AB的垂直平分線為：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分線上，因此△ABC的歐拉線方程為2x﹣y﹣3＝0.故選：B.15．（2023秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，.(1)求邊的垂直平分線所在直線方程；(2)求內(nèi)邊上中線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先得到線段的中點(diǎn)，再利用垂直平分線得到，接著用點(diǎn)斜式即可求解；（2）利用截距式即可得到中線的方程，注意加上對(duì)應(yīng)范圍【詳解】（1）由，可得線段的中點(diǎn)為，，因?yàn)槭沁叺拇怪逼椒志€，所以，則所在直線方程：即（2）由（1）可得線段的中點(diǎn)為，故邊上中線方程為即，所以內(nèi)邊上中線方程：題型六：直線平行與垂直的綜合問(wèn)題16．（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知兩直線.當(dāng)為何值時(shí)，和.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)與平行的條件且列式可得答案；（2）根據(jù)與垂直的條件列式可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得或，?dāng)時(shí)，直線兩條直線重合，故時(shí)，；（2）因?yàn)椋?，解得?17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）根據(jù)下列條件寫(xiě)出直線方程，并化為一般式：(1)斜率是且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)；(3)在軸上的截距分別為.(4)過(guò)點(diǎn)，且平行于的直線；(5)與垂直，且過(guò)點(diǎn)的直線．(6)直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，求該直線的方程；(7)直線過(guò)點(diǎn)，且傾斜角的正弦值是，求該直線的方程.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)或【詳解】（1）由直線點(diǎn)斜式方程知：所求直線方程為，即.（2）由直線兩點(diǎn)式方程知：所求直線方程為，即.（3）由直線截距式方程知：所求直線方程為，即.（4）設(shè)所求直線方程為：，直線過(guò)點(diǎn)，，解得：，直線方程為，即.（5）設(shè)所求直線方程為：，直線過(guò)點(diǎn)，，解得：，直線方程為：.（6）由直線兩點(diǎn)式方程知：直線方程為，即.（7）設(shè)直線的傾斜角為，由得：，；當(dāng)時(shí)，直線斜率，直線方程為：，即；當(dāng)時(shí)，直線斜率，直線方程為：，即；綜上所述：直線方程為或.18．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知直線，.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合截距的定義，并分類討論，即可求解．【詳解】（1）直線，．則，解得或，當(dāng)時(shí)，，，則直線，重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，則直線，不重合，符合題意，故.（2）當(dāng)，即時(shí)，，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為，滿足直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等；當(dāng)且時(shí)，則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，由題意可知，，解得，當(dāng)時(shí)直線，顯然不符合題意，綜上所述，或．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023·全國(guó)·高二）直線：與直線：平行，則（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由兩直線平行得到方程和不等式，求出答案.【詳解】由題意得，解得.故選：A20．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）兩直線的斜率分別是方程的兩根，那么這兩直線的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及直線的斜率關(guān)系判定直線位置關(guān)系即可.【詳解】不妨設(shè)兩直線的斜率分別為，則由題意有，所以兩直線互相垂直.故選：A21．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．3 C．0或 D．0或3【答案】C【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，解得?故選：C.22．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過(guò)點(diǎn)與平行，則的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)出的方程，利用點(diǎn)求得正確答案.【詳解】設(shè)直線，代入得，所以直線的方程是.故選：B23．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上，直線AB垂直于直線，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)，由兩直線的垂直關(guān)系及點(diǎn)在線上列出方程組計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則由題意可得①，且②，由①②解得.即B正確.故選：B24．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知三條直線，，．(1)若，且過(guò)點(diǎn)，求、的值；(2)若，求、的值．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）由直線垂直的特征及直線過(guò)的點(diǎn)可得關(guān)于a、b的方程組，即可得解；（2）由直線平行的特征求解a，b，再代入驗(yàn)證即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，且，所以，又直線過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，所以或；（2）若，則，解得，當(dāng)時(shí)，，也即，，也即，滿足，所以若，.25．（2023秋·廣西貴港·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，D為BC的中點(diǎn)，AD所在的直線為．(1)求的一般式方程；(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且，求在軸上的截距．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式可求出直線的方程，再化為一般式即可，（2）由題意設(shè)直線的方程為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出的值，從而可求出在軸上的截距．【詳解】（1）由題意得，則l的方程為，即．（2）設(shè)的方程為，將代入，得，即，所以在y軸上的截距為3．【高分突破】一、單選題26．（2023秋·福建三明·高二三明一中?？茧A段練習(xí)）若直線與直線互相平行，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用兩直線平行可得出關(guān)于的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相平行，則，解得.故選：A.27．（2023春·四川成都·高二校考期中）已知命題p：“”，命題q：“直線與直線垂直”，則命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合兩直線垂直的條件分析判斷即可【詳解】若直線與直線垂直，則，得，或，所以命題p是命題q的充分不必要條件，故選：A28．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：，：，其中，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用兩直線垂直求出a的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】直線：，：，由，得，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：C29．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知命題：直線與平行，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系可得命題等價(jià)于或，結(jié)合充分不必要條件的判斷即可求解.【詳解】直線與平行，則，解得或，所以命題等價(jià)于或，命題．則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．故選：A．30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若為實(shí)數(shù)，則“”是“直線與平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)直線平行求得，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若“直線與平行”，則，解得或，當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)//，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線，即，，此時(shí)，重合，不符合題意；綜上所述：“直線與平行”等價(jià)于.所以“”是“直線與平行”的充要條件.故選：C.31．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知直線和，則（）A．m和n可能重合

B．m和n不可能垂直C．存在直線m上一點(diǎn)P，以P為中心旋轉(zhuǎn)后與n重合D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】A選項(xiàng)求出直線m與直線n的斜率判斷；B選項(xiàng)由斜率之積是否為判斷；C選項(xiàng)由兩直線不平行，得出兩直線相交判斷.【詳解】對(duì)A，直線，斜率為；直線，斜率為；，所以m和n不可能重合，A錯(cuò)誤；對(duì)B，時(shí)，，m和n垂直，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C，由知m和n不平行，設(shè)m、n相交于點(diǎn)P，則直線m以P為中心旋轉(zhuǎn)后與n重合，所以C正確．故選：C．二、多選題32．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．不過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程表示B．若直線，則兩直線的斜率相等C．過(guò)兩點(diǎn)，的直線都可用方程表示D．若兩條直線中，一條直線的斜率存在，另一條直線的斜率不存在，則兩條直線垂直【答案】ABD【分析】A和C選項(xiàng)根據(jù)直線的截距式方程和兩點(diǎn)式方程的定義解決，選項(xiàng)B需要考慮斜率不存在的情況，選項(xiàng)D根據(jù)斜率考慮直線的傾斜角，得到兩直線的位置關(guān)系.【詳解】A.直線的截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)和垂直于坐標(biāo)軸的直線，故A錯(cuò)誤；B.和的斜率有可能不存在，故B錯(cuò)誤；C.選項(xiàng)中的方程是直線的兩點(diǎn)式方程化為整式后的結(jié)果，直線的兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，但化為整式后就沒(méi)有缺陷了，可以表示任意直線，故C正確；D.直線斜率不存在，則直線垂直于軸，直線斜率存在，但不一定斜率為0，所以兩直線不一定垂直，故D錯(cuò)誤.故選：ABD33．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列各組直線中與一定平行的是（

）A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．的傾斜角為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．平行于軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)【答案】AD【分析】由題意，先求出兩直線的斜率，當(dāng)斜率相等再看兩直線是否重合，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A．由題意知，所以直線與直線平行或重合，又，故，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B．由題意知，所以直線與直線平行或重合，，故直線與直線重合，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C．由題意知，，所以直線與直線可能平行可能重合，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D．由題意知的斜率不存在，且不是軸，的斜率也不存在，恰好是軸，所以，D選項(xiàng)正確．故選：AD34．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）以為頂點(diǎn)的三角形，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形D．以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形【答案】AC【分析】對(duì)于AB，利用斜率公式計(jì)算判斷，對(duì)于C，通過(guò)計(jì)算判斷，對(duì)于D，通過(guò)計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，所以，所以以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：AC35．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）光線自點(diǎn)射入，經(jīng)傾斜角為的直線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，得出反射后的直線，再對(duì)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)【詳解】由題意知，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以反射光線所在的直線方程為，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選：BC36．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知直線，直線，則下列命題正確的有（

）A．直線恒過(guò)點(diǎn)B．直線的方向向量為，則C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)已知直線方程，逐個(gè)驗(yàn)證直線過(guò)的定點(diǎn)、方向向量和垂直平行所需的條件.【詳解】把代入直線的方程，等式不成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；直線的方向向量為，則直線斜率，得，B選項(xiàng)正確；直線方向向量為，直線的方向向量為，若，則有，解得，當(dāng)時(shí)，與重合，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則有，即，D選項(xiàng)正確.故選：BD三、填空題37．（2023秋·河南三門(mén)峽·高二統(tǒng)考期末）已知直線與平行，則實(shí)數(shù)．【答案】0或【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)兩直線平行.故答案為：0或38．（2023秋·廣西貴港·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若直線與直線垂直，則．【答案】【分析】根據(jù)直線垂直列方程，從而求得的值.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得．故答案為：39．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）若過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與方向向量為的直線垂直，則實(shí)數(shù)m的值是．【答案】5【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】由得直線的斜率為，若兩直線垂直，則直線PQ的斜率為，解得．故答案為：5.40．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谥校┮阎本€過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，直線，直線.若，，則.【答案】【分析】根據(jù)直線垂直和平行滿足的斜率關(guān)系即可求解.【詳解】由于直線的斜率為，且，直線的斜率為，解得.由于，的斜率為，直線的斜率為，，∴，解得，∴.故答案為：41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）θ是第三象限的角，已知直線和直線，則與的位置關(guān)系為．【答案】垂直【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件判斷即可.【詳解】因?yàn)棣仁堑谌笙薜慕?，所以，所以，故答案為：垂直四、解答題42．（2023·全國(guó)·高二）已知點(diǎn)求：(1)BC邊上的中線所在直線的方程；(2)BC邊上的高所在直線方程；(3)BC邊的垂直平分線的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出直線方程即可；（2）BC邊上的高和BC垂直，利用兩直線垂直的斜率關(guān)系即可；（3）利用垂直平分線經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)，且和BC垂直求解即可.【詳解】（1）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且所以BC邊上的中線所在直線的方程：（2）BC的斜率：，所以BC邊上的高所在直線方程的斜率：BC邊上的高所在直線方程：即：.（3）由前兩問(wèn)知：的中點(diǎn)坐標(biāo)為，.BC邊的垂直平分線的