2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第二章函數(shù)2.3冪函數(shù)與指對(duì)數(shù)運(yùn)算

第二章函數(shù)2.3冪函數(shù)與指、對(duì)數(shù)運(yùn)算考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1（1）已知冪函數(shù)fx的圖象過點(diǎn)2,4，則解：設(shè)fx=xaa≠0.由4=2a，（2）圖中C1，C2，C3為三個(gè)冪函數(shù)y=xαii=A.12，3，-1 B.-1，3，12 C.12，-1，3解：由題意，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知α3>1>α2>0>α（3）不等式x-12A.(-13,1)C.0,1 解：y=x23是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故x-1>【點(diǎn)撥】①α的正負(fù)與冪函數(shù)圖象的關(guān)系：當(dāng)α>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和1,1，在第一象限的圖象上升；當(dāng)α變式1（1）對(duì)于冪函數(shù)fx=x45，若0<xA.fx1+C.fx1解：冪函數(shù)fx=x45在0設(shè)Ax1,0，Cx2,0，其中0<x1<x2，則AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x1+x22（2）已知冪函數(shù)fx=xm-3m∈解：因?yàn)楹瘮?shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞減，所以m-3<0.解得m<因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以m-3為偶數(shù)，故（3）[2021年新課標(biāo)Ⅱ卷]寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)fx：fx=x①fx1x2=fx1解：取fx=x4，則fx1x2=x1x24=x14x24=fx1fx2，滿足①.f'x=4x考點(diǎn)二指數(shù)冪的運(yùn)算例2（1）計(jì)算：①3a解：原式=a②[0.064[答案]原式={[[4③a2[答案]原式=a（2）【多選題】已知a+a-A.a2+aC.a12+解：A中，a2+a-2=B中，a3+a-3=C中，顯然a12>0，a-12>0D中，因?yàn)閍3+a-3=18，且a>0，所以aa+【點(diǎn)撥】指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則：①首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算.②先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).③底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).④運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).變式2（1）14-12?解：原式=2×432（2）若2x=3,12解：22x+（3）若x12+x解：由題意，知x12+x-1考點(diǎn)三對(duì)數(shù)的運(yùn)算例3（1）log535+解：原式=log故填2.（2）eln4+解：原式=4+（3）設(shè)2a=5b=m，且A.10 B.10 C.20 D.100解：因?yàn)?a=5b=m所以1a+1b=1log2m故選A.【點(diǎn)撥】對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值問題，要注意對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的逆向運(yùn)用，但無論是正向還是逆向運(yùn)用都要注意對(duì)數(shù)的底數(shù)須相同.變式3（1）【多選題】下列運(yùn)算正確的是（AB）A.logB.lne+lgC.logD.若log2[解：log2125×lne+lg1+2log原式=log3332-因?yàn)閘og2[log3lgx]=1，所以log3lgx=2.（2）[2022年浙江卷]已知2a=5,log83A.25 B.5 C.259 D.解：因?yàn)?a=5，b=log83=1考點(diǎn)四實(shí)際運(yùn)用例4齊奧爾科夫斯基于1903年給出火箭在不考慮空氣動(dòng)力和地球引力的理想情況下的最大速度計(jì)算公式v=ωlnm0mk.其中，ω是燃料相對(duì)于火箭的噴射速度，m0是火箭加燃料的質(zhì)量，mk是消耗完燃料的火箭的質(zhì)量，vA.e5倍 B.e5-1倍 C.e6解：由題意,可知2lnm0mk=10，則m0mk=e5.設(shè)燃料質(zhì)量為m1，則有m【點(diǎn)撥】實(shí)際應(yīng)用問題，常利用指對(duì)互化，換底公式等求解，有時(shí)還涉及近似計(jì)算，側(cè)重對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的考查.變式4物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時(shí)間t（單位：min）