2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識(shí) 第九章概率與統(tǒng)計(jì)9.5隨機(jī)事件與概率

9.5隨機(jī)事件與概率課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.2.結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.3.通過(guò)實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.4.結(jié)合具體事例，會(huì)用頻率估計(jì)概率.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.有限樣本空間與隨機(jī)事件概念定義隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)試驗(yàn)，常用字母E表示樣本點(diǎn)把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn).一般用ω表示樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為試驗(yàn)E的樣本空間，一般用Ω表示有限樣本空間Ω為有限集時(shí)的樣本空間稱(chēng)為有限樣本空間隨機(jī)事件樣本空間Ω的子集稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱(chēng)為基本事件.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)事件A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱(chēng)為事件A發(fā)生.稱(chēng)Ω為必然事件，?為不可能事件2.事件的關(guān)系和運(yùn)算概念含義符號(hào)表示包含若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生B?A（或相等事件B包含事件A，事件A也包含事件BA=并事件（和事件）事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A∪B（或交事件（積事件）事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A∩B（或互斥（互不相容）事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生A∩互為對(duì)立事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生A∪B3.古典概型（1）概率的定義：對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱(chēng)為事件的概率，事件A的概率用PA（2）古典概型：我們將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.（3）古典概型的概率計(jì)算：一般地，試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率PA=kn

=nAnΩ

.其中n4.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A,都有PA≥0性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即PΩ=1性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么PA∪B推廣：如果事件A1,A2,?,Am性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么PB=1?PA性質(zhì)5：如果A?B,那么PA特別地，對(duì)任意事件A,因?yàn)??A?Ω,所以性質(zhì)6：設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有PA∪B顯然，性質(zhì)3是性質(zhì)6的特殊情況.5.頻率與概率（1）頻率的穩(wěn)定性：在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fnA會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件（2）用頻率估計(jì)概率：fnA=n（3）隨機(jī)模擬：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)，這類(lèi)隨機(jī)數(shù)是依照確定的算法產(chǎn)生，具有周期性（周期很長(zhǎng)），故稱(chēng)為偽隨機(jī)數(shù).自主評(píng)價(jià)牛刀小試1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）事件發(fā)生的頻率與概率是相同的. （×）（2）兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生. （√）（3）若A∪B是必然事件，則A與B是對(duì)立事件. （（4）PA∪B=P（5）若A，B為互斥事件，則PA+PB=2.（教材題改編）一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（B）A.至少有一次中靶 B.兩次都中靶 C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶解：射擊兩次中“至多有一次中靶”，即“有一次中靶”或“兩次都不中靶”，與該事件不能同時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”.故選B.3.【多選題】關(guān)于頻率和概率，下列說(shuō)法正確的是（BD）A.某同學(xué)在罰球線投籃三次，命中兩次，則該同學(xué)每次投籃的命中率為2B.數(shù)學(xué)家皮爾遜曾經(jīng)做過(guò)兩次試驗(yàn)，拋擲12000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5016；拋擲24000次硬幣，得到正面向上的頻率為0.5005.如果他拋擲36000次硬幣，正面向上的頻率可能大于0.5005C.某類(lèi)種子發(fā)芽的概率為0.903，當(dāng)我們抽取2000粒種子試種，一定會(huì)有1806粒種子發(fā)芽D.將一個(gè)均勻的骰子拋擲6000次，則出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000解：對(duì)于A，某同學(xué)投籃三次，命中兩次，只能說(shuō)明在這次投籃中命中的頻率為23，不能說(shuō)概率，故錯(cuò)誤對(duì)于B，進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)，硬幣正面向上的頻率在0.5附近擺動(dòng)，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正確.對(duì)于C，只能說(shuō)明可能有1806粒種子發(fā)芽，具有隨機(jī)性，故錯(cuò)誤.對(duì)于D，每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于2的概率為23，則拋擲6000次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000，正確故選BD.4.[2022年全國(guó)乙卷]從甲、乙等