關(guān)注一類(lèi)球與球相切問(wèn)題的教學(xué)11

/關(guān)注一類(lèi)球與球相切問(wèn)題的教學(xué)球是一種常見(jiàn)而又重要的幾何體,以球和其它幾何體的切、接為背景來(lái)設(shè)計(jì)出的問(wèn)題,在近幾年的高考或各級(jí)各類(lèi)競(jìng)賽中倍受命題者的青睞，并且這類(lèi)題難度偏大,如果學(xué)生沒(méi)有掌握有效方法極易失分.究其原因是這類(lèi)問(wèn)題中所涉及的幾何元素關(guān)系復(fù)雜、數(shù)量關(guān)系隱藏很深，而且直觀(guān)圖又不好畫(huà)，是教與學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。本文著重來(lái)探討一下其中以球與球相切為背景的這一類(lèi)問(wèn)題。球與球相切問(wèn)題通常是由幾個(gè)球兩兩相切疊放起來(lái)構(gòu)成的，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是模型化處理:抓住球心所構(gòu)成的基本幾何體來(lái)分析、挖掘其中的幾何元素關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系，為解題打開(kāi)突破口.下面以最近幾年出現(xiàn)的相關(guān)高考題為例來(lái)談一談處理此類(lèi)問(wèn)題的策略與教學(xué)中需注意的問(wèn)題策略1:連球心，轉(zhuǎn)化為多面體問(wèn)題球心是球的靈魂，抓住球心就抓住了球的位置，特別是當(dāng)球與球相切或球與平面相切時(shí),我們更應(yīng)該通過(guò)球心和切點(diǎn)及球心的連線(xiàn)來(lái)構(gòu)造多面體,使球問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多面體問(wèn)題來(lái)加以解決.例1（２０06陜西）水平桌面上放有4個(gè)半徑為2R的球，且相鄰的球都相切，在這4個(gè)球的上面放有一個(gè)半徑為R的小球,它與下面的４個(gè)球恰好相切，則最上邊的小球的球心到水平桌面的距離是____＿_(dá)___。解析:設(shè)小球球心為O，其他4個(gè)球心分別是A、Ｂ、C、Ｄ則它們構(gòu)成一個(gè)正四棱錐O-ABCD（圖1)，連結(jié)ＡＣ、BD，交于點(diǎn)Ｏ1,連結(jié)OO1,因?yàn)锳B=4R,所以AＯ1＝2R,又OA=3R，則ＯO1＝R，因此O到水平桌面的距離是OＯ1+２R=3Ｒ.例2(２0０5全國(guó)）將半徑為１的４個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（）A、Ｂ、C、Ｄ、解析：由題意結(jié)合空間想象知這4個(gè)球兩兩相切,并且每個(gè)球與四面體的3個(gè)面相切對(duì)稱(chēng)的處于四面體內(nèi)部。設(shè)這4個(gè)球的球心分別為O1、O2、O3、.O4,正四面體為Ａ-ＢCＤ（圖2），過(guò)A作AA１⊥面BCD垂足為A１，連結(jié)BA1并延長(zhǎng)交ＣD于點(diǎn)E，連結(jié)AE,知Ｅ為ＣD的中點(diǎn)，則由對(duì)稱(chēng)性知O1必在高AA1上，且球O１與側(cè)面ACD的切點(diǎn)Ｆ在AＥ上。由幾何知識(shí)知AＯ１=3Ｏ1F=３r=3，另外球心O1、Ｏ２、Ｏ3、O4可構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)均為２的正四面體高為.故容器AA1高的最小值為，選C。變式練習(xí)：現(xiàn)有４個(gè)半徑均為1的鋼球完全裝入一個(gè)底面半徑為2的圓柱容器,這個(gè)圓柱容器內(nèi)的高的最小值為（）A、４B、１+C、2+D、3+（提示：圓柱形容器內(nèi)所裝四個(gè)小球的球心連線(xiàn)可構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)均為2的正四面體,且下邊兩球的球心連線(xiàn)與上邊兩球的球心連線(xiàn)垂直互為異面直線(xiàn),則該圓柱體容器的高即為兩異面直線(xiàn)的距離再加上兩個(gè)半徑,如圖3）選C

O2O4O2O4圖3?例3四個(gè)半徑都是１的小球兩兩相外切于一個(gè)大球內(nèi)，且都與大球相切,則大球的半徑是多少？解析：首先，要做到四個(gè)小球兩兩相切，則這四個(gè)小球的球心連線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)正四面體(如圖中A－BＣD），且該四面體的棱長(zhǎng)=2

設(shè)四面體底面中心為O'，大球的球心為O，連結(jié)ＡO＇，ＯＤ,DO’?則：DO’⊥BC，ＡO’⊥DO'根據(jù)其對(duì)稱(chēng)關(guān)系，設(shè)AO=BO＝CO=ＤＯ=x

則，大球半徑R=1＋x而在正四面體Ａ－ＢＣD中,棱長(zhǎng)=２。所以:?DO’==在Rt△ADＯ＇中根據(jù)勾股定理有：AＯ'===所以,在Rt△ＤOＯ’中,根據(jù)勾股定理又有：?OＤ２=OO’２+ＤO'2?===〉x2=?===>ｘ=?所以,大球半徑Ｒ=1+x=１+變式練習(xí):四個(gè)半徑為1的球,每個(gè)球都與其它三球相外切,求和這四個(gè)球都相切的球的半徑？分析:本題包含兩種情況:1，所求球與題中四球相外切即上例；２，所求球與題中四球相內(nèi)切,此時(shí)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在棱長(zhǎng)為2的正四面體內(nèi)確定一點(diǎn)到四頂點(diǎn)的距離相等并求出此距離,然后所求半徑即為此距離減去１.綜上所述半徑為—1或策略2：找截面，化歸為平面幾何問(wèn)題空間圖形的主要元素往往集中在一個(gè)特征平面內(nèi)，將此特征平面解剖出來(lái)，而多球相切的特征面通常過(guò)球心和切點(diǎn)，這正體現(xiàn)了一個(gè)處理立體幾何問(wèn)題的常用方法－--立體問(wèn)題平面化。例4在單位正方體ＡＢＣD－A1B１Ｃ1D內(nèi)，作一個(gè)內(nèi)切球，再在正方體的八個(gè)角上各作一個(gè)小球，使它們都有與球O外切，并且分別與正方體的三個(gè)面相切.求小球的半徑．分析（1）由對(duì)稱(chēng)性可知,八個(gè)小球大小均相等.正方體的對(duì)角面ACＣ１A1通過(guò)5個(gè)球心和10個(gè)切點(diǎn)及正方體的棱和對(duì)角線(xiàn)，包含其主要元素.把這個(gè)對(duì)角面解剖出來(lái)（如圖)，重點(diǎn)分析研究，即可化歸為平面幾何問(wèn)題去解。(２）利用位似可知Ａ,O1，O，O2，C1五點(diǎn)共線(xiàn),。數(shù)量關(guān)系集中在直角梯形OＭＮO1中,設(shè)小球半徑為，則（注：本題的處理策略即是通過(guò)研究截面圖而獲得幾何元素之間的關(guān)系的.）例5正三棱錐P—ＡＢC的底面邊長(zhǎng)為1，高ＰH=2，在這個(gè)棱錐的內(nèi)切球上面堆一個(gè)與它外切且與棱錐其余各側(cè)面相切的球，按照這樣的方法繼續(xù)把球堆上去,求這些球的體積之和.（分析)（１）過(guò)側(cè)棱PA及高PＨ的截面通過(guò)球心和對(duì)應(yīng)切點(diǎn)，包含正三棱錐的主要元素，把它解剖出來(lái)（如圖),重點(diǎn)分析研究，化歸為平面幾何問(wèn)題。（２)設(shè)內(nèi)切球O1，Ｏ2，O3…,的半徑分別為R1，Ｒ2，R3…，由正三棱錐底面邊心距ＤH=,斜高PD＝，有在直角梯形O１ＭNＯ2中，從以上幾例可以看出，球與球的相切這類(lèi)問(wèn)題空間位置關(guān)系比較復(fù)雜,直觀(guān)圖難畫(huà),從而構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)的一個(gè)難點(diǎn)，在此，提出以下教學(xué)建議。1重視尋找“特征截面”。由于球的切、接問(wèn)題,直觀(guān)圖不好畫(huà),缺少“看的見(jiàn)”、“摸的著”的分析對(duì)象,因此解題的關(guān)鍵是采取平面化的策略,作出一個(gè)既過(guò)球心又包含其他幾何體的“特征截面”再把它“移出體外”，通過(guò)對(duì)截面圖形的分析，獲取相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。2重視基本幾何體的教學(xué)。由于球的切、接問(wèn)題大多是以基本幾何體為依托,熟練地掌握這些基本幾何體的概念和性質(zhì)對(duì)解決這類(lèi)問(wèn)題至關(guān)重要。教學(xué)中,要重視基本幾何體概念的教學(xué)，重視性質(zhì)的推導(dǎo)和歸納，從而豐富學(xué)生對(duì)空間模型的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生形成穩(wěn)固的概念表征，同時(shí)還要有意識(shí)的設(shè)計(jì)一些