10.2二元一次方程組（解析版）

10.2二元一次方程組二元一次方程組把含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程聯(lián)立在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。二元一次方程組的解二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組的解。二元一次方程組的解的討論已知二元一次方程組a1、若a12、若a13、若a1整體思想的應(yīng)用已知二元一次方程組a①式+②式=a①式-②式=a題型1：二元一次方程組的定義1．在方程組：①3x+2y=7xy=5，②2x+y=7x+z=2，③3x+4y=2x3-y2=1，【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組進(jìn)行判定即可．【解答】解：方程組：③3x+4y=2x故答案為：③．【變式1-1】（1）若（a﹣3）x+y|a|﹣2＝9是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a的值是﹣3；（2）若方程組y-(a-1)x=5，y|a|+(b-5)xy=3是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則【分析】（1）（a﹣3）x+y|a|﹣2＝9是關(guān)于x，y的二元一次方程，則x和y的系數(shù)都不為0，且指數(shù)都為1；（2）單項(xiàng)式（b﹣5）xy的次數(shù)是2，則要使原方程組是關(guān)于x，y的二元一次方程組，xy項(xiàng)的系數(shù)為0．【解答】解：（1）由二元一次方程定義，得a﹣3≠0①，且|a|﹣2＝1②，由①，得a≠3，由②，得a＝±3，綜上，a＝﹣3．故答案為：﹣3；（2）由二元一次方程組的定義，得a﹣1≠0①，b﹣5＝0②，|a|＝1③，由①，得a≠1．由②，得b＝5．由③，得a＝±1．綜上，a＝﹣1，b＝5，所以ab＝（﹣1）5＝﹣1．故答案為：﹣1．【變式1-2】若2x+y3=x+3y5=1，將原方程組化為a【分析】把原式化為：2x+y3=1和x+3y【解答】解：原式可化為：2x+y3=1和x+3y整理得，2x+y=3x+3y=5題型2：二元一次方程組的解2.已知關(guān)于x，y的方程組ax+by=32ax-by=1的解是x=1y=-1，則a+2b的值為﹣2【分析】把x=1y=-1代入方程組，得出關(guān)于a、b【解答】解：把x=1y=-1代入ax+by=3a-②﹣①得：a+2b＝﹣2．故答案為：﹣2．【變式2-1】已知方程組2x+y=14x+2y=10的解為x=my=n，則m+n的值為8【分析】把x=my=n，代入2x+y=14【解答】解：把x=my=n代入2x+y=14得：2m+n=14①①+②得：3m+3n＝24，∴m+n＝8，故答案為：8．【變式2-2】已知方程組3x+y=2x-y=6的解滿足方程x+y＝k，則k＝﹣2【分析】原方程組兩個(gè)方程左右兩邊相減即可得解．【解答】解：原方程組為：3x+y=2①①﹣②可得：2x+2y＝﹣4，∴x+y＝﹣2，即k＝﹣2，故答案為：﹣2．【變式2-3】若二元一次方程組x-3y=k+2x+y=4的解滿足x＝y(tǒng)，則k＝﹣【分析】將x＝y(tǒng)代入該二元一次方程組，再解關(guān)于y和k的二元一次方程組即可．【解答】解：將x＝y(tǒng)代入該二元一次方程組得：y-解得：k=-故答案為：﹣6．題型3：根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組3.一旅行團(tuán)游客入住一家賓館，如果每一間客房住5人，那么有3人無房可??；如果每一間客房住6人，那么就空出2間客房．設(shè)該賓館有客房x間、房客y人，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組5x+3=y6(x-2)=y．【分析】根據(jù)“每一間客房住5人，那么有3人無房可住；每一間客房住6人，那么就空出2間客房”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵每一間客房住5人，那么有3人無房可住，∴5x+3＝y(tǒng)；∵每一間客房住6人，那么就空出2間客房，∴6（x﹣2）＝y(tǒng)．∴根據(jù)題意可列出方程組5x+3=y6(x-2)=y故答案為：5x+3=y6(x-2)=y【變式3-1】《九章算術(shù)》中有如下問題：“雀五、燕六共重十九兩；雀三與燕四同重．雀重幾何？”題意是：若5只雀、6只燕共重19兩；3只雀與4只燕一樣重．設(shè)每只雀的重量為x兩，每只燕的重量為y兩，根據(jù)題意，可列方程組為5x+6y=193x=4y【分析】根據(jù)“5只雀、6只燕共重19兩；3只雀與4只燕一樣重”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵5只雀、6只燕共重19兩，∴5x+6y＝19；∵3只雀與4只燕一樣重，∴3x＝4y．∴所列方程組為5x+6y=193x=4y故答案為：5x+6y=193x=4y【變式3-2】《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1，圖2所示，圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)．把圖1表示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來就是3x+2y=19x+4y=23，類似地，圖2所示的算籌圖可以表述為2x+y=114x+3y=27【分析】觀察圖2，根據(jù)圖中各行的算籌數(shù)，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：依題意得：2x+y=114x+3y=27故答案為：2x+y=114x+3y=27【變式3-3】如圖，寬為50cm的矩形圖案由10個(gè)相同的小長方形拼成，其中設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，則可列二元一次方程組為x+y=505y=50【分析】設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)圖形可得：大長方形的寬＝小長方形的長+小長方形的寬，大長方形的寬＝小長方形的寬×5，列出方程中即可．【解答】解：設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，則可列方程組：x+y=505y=50故答案為：x+y=505y=50一．選擇題（共6小題）1．下列方程組是二元一次方程組的是（）A．x+y=51x+1yC．x=32x-y=7 D．【分析】利用“二元一次方程組是指方程組中一共含有兩個(gè)未知數(shù)，且最高次項(xiàng)是1的整式方程”求解．【解答】解：A．1xB．方程組含有三個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；C．此方程組是二元一次方程組，故此選項(xiàng)符合題意；D．方程x﹣1＝xy中，xy的次數(shù)不是一次，不是二元一次方程組，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．已知關(guān)于x，y的方程組(m-3)x=2x-A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3【分析】根據(jù)組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程解答．【解答】解：由題意可得：m-解得：m＝﹣3．故選：C．3．以x=-A．x-y=13x+y=5 BC．x-y=-1【分析】將x，y的值，分別代入x﹣y，3x+y中，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵x＝﹣1.5，y＝﹣0.5，∴x﹣y＝﹣1.5﹣（﹣0.5）＝﹣1，3x+y＝3×（﹣1.5）+（﹣0.5）＝﹣5，∴以x=-1.5y=-0.5故選：D．4．在一次籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場得2分，負(fù)1場得1分，某隊(duì)在12場比賽中得到16分．若設(shè)該隊(duì)勝的場數(shù)為x，負(fù)的場數(shù)為y，則可列方程組為（）A．x+y=122x+y=16 B．x+y=12C．x+y=12x-2y=16 D．【分析】根據(jù)該隊(duì)在12場比賽中得到16分，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵該隊(duì)共比賽12場，∴x+y＝12；∵該隊(duì)共得到16分，∴2x+y＝16．∴所列方程組為x+y=122x+y=12故選：A．5．若一艘輪船沿江水順流航行120km需用3小時(shí)，它沿江水逆流航行60km也需用3小時(shí)，設(shè)這艘輪船在靜水中的航速為xkm/h，江水的流速為ykm/h，則根據(jù)題意可列方程組為（）A．3x-y=603x+y=120 BC．3(x-y)=1203(x+y)=60 【分析】根據(jù)“順流航行120km需用3小時(shí)，它沿江水逆流航行60km也需用3小時(shí)”建立方程，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，得3(x+y)=1203(x-y)=60故選：B．6．《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”意思是：走路快的人走100步時(shí)，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？設(shè)走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此時(shí)走路慢的人走了y步，則可列方程組為（）A．x=y+100x100=y60C．x=y-100x100【分析】根據(jù)走路快的人追上走路慢的人時(shí)，兩人所走的步數(shù)相等，走路快的人走x步和走路慢的人走y步用的時(shí)間相等，即可列出相應(yīng)的方程組．【解答】解：由題意可得，x=y+100x故選：A．二．填空題（共5小題）7．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大5，如果把個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，那么所得到的新數(shù)與原數(shù)的和是99，設(shè)原來的兩位數(shù)個(gè)位數(shù)字是x，十位數(shù)字是y，可列方程組x-y=5【分析】設(shè)原來的兩位數(shù)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，本題中2個(gè)等量關(guān)系為：個(gè)位數(shù)字﹣十位數(shù)字＝5，10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字+10×個(gè)位數(shù)字+十位數(shù)字＝99，根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組．【解答】解：設(shè)原來的兩位數(shù)個(gè)位數(shù)字是x，十位數(shù)字是y，根據(jù)題意，得x-故答案為：x-8．關(guān)于x，y的方程組x+ay+1=0bx+2y+1=0有無數(shù)組解，則a+b的值為3【分析】根據(jù)題意可知方程x+ay+1＝0和方程bx+2y+1＝0是同一個(gè)方程，據(jù)此求解a、b的值即可得到答案．【解答】解：∵關(guān)于x，y的方程組x+ay+1=0bx+2y+1=0∴方程x+ay+1＝0和方程bx+2y+1＝0是同一個(gè)方程，∴a=2b=1∴a+b＝1+2＝3．故答案為：3．9．寫出一個(gè)解為x=2，y=-5的二元一次方程組：x+y=【分析】所謂“方程組”的解，指的是該數(shù)值滿足方程組中的每一方程．在求解時(shí)，應(yīng)先圍繞x=2y=-5列一組算式，如2﹣5＝﹣3，2+5＝7，然后用x，y代換，得x+y=【解答】解：先圍繞繞x=2y=-5如2﹣5＝﹣3，2+5＝7，然后用x、y代換，得x+y=-故答案為：x+y=-10．關(guān)于x，y的方程組2x+y=4+3ax+3y=1-5a的解滿足x﹣2y＝﹣1，則a的值為-1【分析】①﹣②得x﹣2y＝3+8a，則3+8a＝﹣1，即可得出結(jié)論．【解答】解：2x+y=4+3a①①﹣②得：x﹣2y＝3+8a，∵x﹣2y＝﹣1，∴3+8a＝﹣1，解得：a=-故答案為：-111．若方程組3x+y=1+2ax+3y=-2a-3的解滿足x﹣y＝﹣1，則a的值為-3【分析】將方程組中的兩個(gè)方程相減可得2x﹣2y＝4a+4，進(jìn)而得出x﹣y＝2a+2，再根據(jù)x﹣y＝﹣1代入計(jì)算即可．【解答】解：3x+y=1+2a①①﹣②得，2x﹣2y＝4a+4，即x﹣y＝2a+2，因?yàn)閤﹣y＝﹣1，所以2a+2＝﹣1，解得a=-故答案為：-3三．解答題（共3小題）12．已知x=2y=1是方程組ax+by=5bx+ay=1的解，求a+【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義解決此題．【解答】解：由題意得，2a+b=5∴a=3∴a+b＝3