專題2.12勾股定理與弦圖問(wèn)題（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（原卷版）【浙教版】

2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【浙教版】專題2.12勾股定理與弦圖問(wèn)題（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020秋?姑蘇區(qū)期中）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，大正方形面積為64，小正方形面積為9，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)（x＞y），請(qǐng)觀察圖案，下列關(guān)系式中不正確的是（）A．x2+y2＝64 B．x﹣y＝3 C．2xy+9＝64 D．x+y＝112．（2019?龍馬潭區(qū)模擬）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若ab＝18，大正方形的面積為100．則小正方形的邊長(zhǎng)為）A．9 B．8 C．7 D．63．（2020秋?山西月考）如圖所示的是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF2的值是（）A．169 B．196 C．392 D．5884．（2021春?海珠區(qū)月考）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③5．（2020秋?重慶期末）2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為b，則（a+b）2的值為（）A．25 B．19 C．13 D．1696．（2020秋?明溪縣期中）如圖，“趙爽弦圖”是用四個(gè)相同的直角三角形與一個(gè)小正方形無(wú)縫隙地鋪成一個(gè)大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項(xiàng)中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝247．（2020秋?阜寧縣期中）“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形．每個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是3cm和6cm，則中間小正方形的面積是（）A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm28．（2020秋?中牟縣期中）1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德利用如圖所示的方法驗(yàn)證了勾股定理，其中兩個(gè)全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC9．（2020秋?南山區(qū)校級(jí)期中）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖．連接AC，分別交EF、GH于點(diǎn)M，N，連接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，則圖中陰影部分的面積之和為（）A．214 B．215 C．225 10．（2021春?武昌區(qū)期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如圖，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若大正方形面積是9，小正方形面積是1，則ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（2020春?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為3，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么（a+b）2的值為．12．（2020秋?福田區(qū)期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于．13．（2020秋?沈河區(qū)校級(jí)期中）四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過(guò)各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為2的小正方形EFGH．已知AM為Rt△ABM較長(zhǎng)直角邊，AM＝43EF，則正方形ABCD的面積為．14．（2020?寧夏）2002年8月，在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b．如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為．15．（2021?高新區(qū)一模）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長(zhǎng)為m，小正方形的邊長(zhǎng)為n，若S1S2=32，則16．（2020秋?金水區(qū)校級(jí)月考）如圖，用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方圖案，已知大正方形面積為10，小正方形面積為2，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個(gè)說(shuō)法：①x2+y2＝10；②xy＝2；③x-y=2；④x+2y=42．其中說(shuō)法正確的有17．（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形ABCD，中間陰影部分是一個(gè)小正方形EFGH，這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖”．若AB＝10，AE＝8，則正方形EFGH的面積為．18．（2019秋?石獅市期末）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若a+b=15，ab＝2，則小正方形的面積為三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2020秋?溧陽(yáng)市期中）勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位．它是初中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，也是初中學(xué)生以后解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中常常運(yùn)用到的重要知識(shí)，因此學(xué)好勾股定理非常重要．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“不僅要知其然，更要知其所以然”，所以，我們要學(xué)會(huì)勾股定理的各種證明方法．請(qǐng)你利用如圖圖形證明勾股定理：已知：如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點(diǎn)E，且△ABE≌△BCD．求證：AB2＝BE2+AE2．20．（2018秋?伊川縣期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法”來(lái)證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2．21．（2020秋?壽陽(yáng)縣期中）【背景閱讀】勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了驗(yàn)證勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．【實(shí)踐操作】（1）請(qǐng)敘述勾股定理；（2）驗(yàn)證勾股定理，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的驗(yàn)證方法中任選一種來(lái)驗(yàn)證該定理：（以下圖形均滿足驗(yàn)證勾股定理所需的條件）【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有個(gè)；（2）如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1、S2、S3的關(guān)系并說(shuō)明理由．22．（2020秋?雁江區(qū)期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決下列問(wèn)題：（1）試說(shuō)明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是3，求（a+b）2的值．23．（2020春?青白江區(qū)期末）如圖，在長(zhǎng)方形ACDF中，AC＝DF，點(diǎn)B在CD上，點(diǎn)E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）在探究長(zhǎng)方形ACDF的面積S時(shí)，我們可以用兩種不同的方法：一種是找到長(zhǎng)和寬，然后利用長(zhǎng)方形的面積公式，就可得到S；另一種是將長(zhǎng)方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE組成的，分別求出它們的面積，再相加也可以得到S．請(qǐng)根據(jù)以上材料，填空：方法一：S＝．方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+12b2-12a2（2）由于（1）中的兩種方法表示的都是長(zhǎng)方形ACDP的面積，因此它們應(yīng)該相等，請(qǐng)利