山西省太原市小店區(qū)太原四十八中2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

山西省太原市小店區(qū)太原四十八中2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖2所示，程序框圖的輸出結(jié)果是()A．3 B．4 C．5 D．82．如圖所示，程序框圖算法流程圖的輸出結(jié)果是A． B． C． D．3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”，即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，并使正多邊形的面積無(wú)限接近圓的面積，進(jìn)而來求得較為精確的圓周率.如果用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值記為，那么用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值加可表示成（）A． B． C． D．4．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3是a2與a6的等比中項(xiàng)，S3＝3，則S8＝（）A．36 B．42 C．48 D．605．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．6．用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A． B．C． D．7．給出下列命題：（1）存在實(shí)數(shù)使.（2）直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸.（3）的值域是.（4）若都是第一象限角，且，則.其中正確命題的題號(hào)為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）8．直線的傾斜角不可能為（）A． B． C． D．9．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為()A． B． C． D．10．若直線l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圓x2+y2﹣x﹣2y＝0，則的最小值為（）A． B．2 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列滿足，，，則__________．12．明代程大位《算法統(tǒng)宗》卷10中有題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”則尖頭共有__________盞燈．13．函數(shù)的最小正周期是____.14．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________．15．已知，，，則的最小值為__________．16．已知數(shù)列滿足：，，則_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某菜農(nóng)有兩段總長(zhǎng)度為米的籬笆及，現(xiàn)打算用它們和兩面成直角的墻、圍成一個(gè)如圖所示的四邊形菜園（假設(shè)、這兩面墻都足夠長(zhǎng)）已知（米），，，設(shè)，四邊形的面積為.（1）將表示為的函數(shù)，并寫出自變量的取值范圍；（2）求出的最大值，并指出此時(shí)所對(duì)應(yīng)的值.18．已知函數(shù)f(x)＝.(1)若不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)當(dāng)x∈(m>0，n>0)時(shí)，函數(shù)g(x)＝tf(x)＋1(t≥0)的值域?yàn)閇2－3m，2－3n]，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．19．如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（三條邊，是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長(zhǎng)度（即的周長(zhǎng)）表示為的函數(shù)，并求出定義域；(2)問取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的總長(zhǎng)度.20．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.21．已知二次函數(shù)滿足以下要求：①函數(shù)的值域?yàn)?；②?duì)恒成立。求：（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，求時(shí)的值域。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由框圖可知，①，滿足條件，則；②，滿足條件，則；③，滿足條件，則；④，不滿足條件，輸出；故選B2、D【解析】

模擬程序圖框的運(yùn)行過程，得出當(dāng)時(shí)，不再運(yùn)行循環(huán)體，直接輸出S值．【詳解】模擬程序圖框的運(yùn)行過程，得S=0,n=2,n<8滿足條件，進(jìn)入循環(huán)：S=滿足條件，進(jìn)入循環(huán)：進(jìn)入循環(huán)：不滿足判斷框的條件，進(jìn)而輸出s值，該程序運(yùn)行后輸出的是計(jì)算：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．根據(jù)程序框圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．3、C【解析】

設(shè)圓的半徑為，由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面積可得：，由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面積可得：，問題得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，將內(nèi)接正邊形分成個(gè)小三角形，由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面積可得：，整理得：，此時(shí)，即：同理，由內(nèi)接正邊形的面積無(wú)限接近圓的面積可得：，整理得：此時(shí)所以故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的面積公式及三角形面積公式的應(yīng)用，還考查了正弦的二倍角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．4、C【解析】

設(shè)出等差數(shù)列的公差d，根據(jù)a3是a2與a6的等比中項(xiàng)，S3＝3，利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡(jiǎn)得到關(guān)于等差數(shù)列首項(xiàng)和公差方程組，求出方程組的解集即可得到首項(xiàng)和公差，然后再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出S8即可【詳解】設(shè)公差為d（d≠0），則有，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)閐≠0，解得a1＝-1，d＝2，則S8＝-82＝1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值，意在考查公式運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．5、C【解析】

畫出長(zhǎng)方體,將平移至,則,則即為異面直線與所成角,由余弦定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意,畫出長(zhǎng)方體如下圖所示:將平移至,則即為異面直線與所成角,,由余弦定理可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體中異面直線的夾角求法,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式，和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式．【詳解】當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當(dāng)n＝k+1時(shí)，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵．7、C【解析】

（1）化簡(jiǎn)求值域進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可判斷；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷；（4）利用三角函數(shù)線可進(jìn)行判斷.【詳解】解：（1），（1）錯(cuò)誤；（2）是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，（2）錯(cuò)誤；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值為，，其值域是，（3）正確；（4）若都是第一象限角，且，利用三角函數(shù)線有，（4）正確.故選.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)線定義，著重考查學(xué)生綜合運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．8、D【解析】

根據(jù)直線方程，分類討論求得直線的斜率的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)傾斜角為；當(dāng)時(shí)，直線方程化為，則斜率為：，即，又由，解得或，又由且，所以傾斜角的范圍為，顯然A，B都符合，只有D不符合，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用，以及直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，著重考查了分類討論思想，以及推理與運(yùn)算能力.9、D【解析】

根據(jù)平均數(shù)和方差的公式，可推導(dǎo)出，，，的平均數(shù)和方差．【詳解】因?yàn)?，所以，所以的平均?shù)為；因?yàn)椋?，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)與方差的公式計(jì)算，考查對(duì)概念的理解與應(yīng)用，考查基本運(yùn)算求解能力.10、C【解析】

求得圓心，代入直線的方程，然后利用基本不等式求得的最小值.【詳解】圓的圓心為，由于直線平分圓，故圓心在直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用基本不等式求最小值.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-2【解析】

根據(jù)題干中所給的表達(dá)式得到數(shù)列的周期性，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題干表達(dá)式得到可以得數(shù)列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了求數(shù)列中的某些項(xiàng)，一般方法是求出數(shù)列通項(xiàng)，對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)不容易求的題目，可以列出數(shù)列的一些項(xiàng)，得到數(shù)列的周期或者一些其它規(guī)律，進(jìn)而得到數(shù)列中的項(xiàng).12、1【解析】

依題意，這是一個(gè)等比數(shù)列，公比為2，前7項(xiàng)和為181，由此能求出結(jié)果．【詳解】依題意，這是一個(gè)等比數(shù)列，公比為2，前7項(xiàng)和為181，∴181，解得a1＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是基礎(chǔ)題．13、【解析】

將三角函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式，再利用周期公式得到答案.【詳解】由于所以【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，周期公式，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

設(shè)出數(shù)列的首項(xiàng)和公差,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,代入條件化簡(jiǎn)得和的關(guān)系,再代入所求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由,得,得,.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ).15、8【解析】由題意可得：則的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．16、【解析】

從開始，直接代入公式計(jì)算，可得的值.【詳解】解：由題意得：，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的性質(zhì)，相對(duì)簡(jiǎn)單.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），其中；（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值.【解析】

（1）在中，利用正弦定理將、用表示，然后利用三角形的面積公式可求出關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合實(shí)際問題求出的取值范圍；（2）利用（1）中的關(guān)于的表達(dá)式得出的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，，則的面積為，因此，，其中；（2）由（1）知，.，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、三角形的面積公式、兩角和與差的正弦公式、二倍角公式以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)，在利用三角函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，要利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18、(1)k≤1;(2)(0，1)．【解析】試題分析：（1）把f(x)＝代入，化簡(jiǎn)得k≤x在[1，3]上恒成立，所以k≤1．（2）g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，又x∈(m>0，n>0)，所以g(x)在單調(diào)遞增，所以即，即m，n是關(guān)于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的兩個(gè)不等的正根．由根的分布，可得，解得0<t<1．試題解析：(1)∵xf(x)＋＝＋＝x，∴不等式k≤xf(x)＋在x∈[1，3]上恒成立，即為k≤x在[1，3]上恒成立．∴k≤1.(2)∵g(x)＝tf(x)＋1＝－＋t＋1，若t＝0，則g(x)＝1，不合題意，∴t>0.又當(dāng)t>0時(shí)，g(x)＝－＋t＋1在上顯然是單調(diào)增函數(shù)，∴即∴m，n是關(guān)于x的方程tx2－3x＋1－t＝0的兩個(gè)不等的正根．令h(x)＝tx2－3x＋1－t，則解得0<t<1.∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是(0，1)．19、（1），；（2）或時(shí)，L取得最大值為米．.【解析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長(zhǎng)度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù)L=在[，]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．所以當(dāng)時(shí)，即

或

時(shí)，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設(shè)，則，由于，由于在上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，L取得最大值為米．【點(diǎn)睛】三角函數(shù)值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數(shù)式變換成的形式求值域3.通過換元，轉(zhuǎn)化成其他類型函數(shù)求值域20、（1）；（2）.【解析】

（1）由，轉(zhuǎn)化為，利用弦化切的思想得出的值，從而求出的值；（2）由，轉(zhuǎn)化為，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算律和輔助角公式與函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求出在區(qū)間的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）∵，且，，，∴，即，又∵，∴；（2）易知，