六年級下冊奧數(shù)試題-統(tǒng)計(jì)與概率

1,能準(zhǔn)確判斷事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平性問題.

2.運(yùn)用排列組合知識(shí)和枚舉等計(jì)數(shù)方法求解概率問題.

3.理解和運(yùn)用概率性質(zhì)進(jìn)行概率的運(yùn)算

且由1住

知識(shí)點(diǎn)說明

在拋擲一枚硬幣時(shí)，究竟會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果事先是不能確定的，但是當(dāng)我們在相同的條件下，大量

重復(fù)地拋擲同一枚均勻硬幣時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”的次數(shù)大約各占總拋擲次數(shù)的一半

左右.這里的“大量重復(fù)”是指多少次呢？

歷史上不少統(tǒng)計(jì)學(xué)家，例如皮爾遜等人作過成千上萬次拋擲硬幣的試驗(yàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，出現(xiàn)

正面的頻率波動(dòng)越來越小，頻率在0.5這個(gè)定值附近擺動(dòng)的性質(zhì)是出現(xiàn)正面這一現(xiàn)象的內(nèi)在必然性規(guī)律的

表現(xiàn)，0.5恰恰就是刻畫出現(xiàn)正面可能性大小的數(shù)值，0.5就是拋擲硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率.這就是概率統(tǒng)

計(jì)定義的思想，這一思想也給出了在實(shí)際問題中估算概率的近似值的方法，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，可將頻

率作為概率的近似值.

在統(tǒng)計(jì)里，我們把所要考察對象的全體叫做總體，其中的每一個(gè)考察對象叫做個(gè)體。

從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本的容量。

總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，把樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

概率的古典定義：

如果一個(gè)試驗(yàn)滿足兩條：

⑴試驗(yàn)只有有限個(gè)基本結(jié)果：

⑵試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果出現(xiàn)的可能性是一樣的.

這樣的試驗(yàn)，稱為古典試驗(yàn).

對于古典試驗(yàn)中的事件A,它的概率定義為：

P（A）=-,〃表示該試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果的總數(shù)目，加表示事件A包含的試驗(yàn)基本結(jié)果

n

數(shù).小學(xué)奧數(shù)中，所涉及的問題都屬于古典概率.其中的相和〃需要我們用枚舉、加乘原理、排列組合等

方法求出.

相互獨(dú)立事件：P（AB）=P（A）P（B）

事件A是否發(fā)生對事件8發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.

公式含義：如果事件A和8為獨(dú)立事件，那么A和3都發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件3發(fā)

生的概率之積.

舉例：

⑴明天是否晴天與明天晚餐是否有煎雞蛋相互沒有影響，因此兩個(gè)事件為相互獨(dú)立事件.所以明天天

晴，并且晚餐有煎雞蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎雞蛋的概率.

⑵第一次拋硬幣掉下來是正面向上與第二次拋硬幣是正面向上是兩個(gè)相互獨(dú)立事件.所以第一次、

第二次拋硬幣掉下來后都是正面向上的概率等于兩次分別拋硬幣掉下來后是正面向上的概率之積，即

224

⑶擲骰子，骰子是否掉在桌上和骰子的某個(gè)數(shù)字向上是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，如果骰子掉在桌上的

概率為0.6,那么骰子掉在桌上且數(shù)字向上的概率為0.6XL=0.1.

6

【例11（“希望杯”二試六年級）氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降雨概率是80%”.對此信息，下列說法中正

確的是

①本市明天將有80%的地區(qū)降水.②本市明天將有80%的時(shí)間降水.

③明天肯定下雨.④明天降水的可能性比較大.

【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆蓋的地區(qū)或者降水的時(shí)間.

80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨.

80%的概率是說明有比較大的可能性下雨.因此④的說法正確.

【鞏固】一個(gè)小方木塊的六個(gè)面上分別寫有數(shù)字2、3、5、6、7、9,小光、小亮兩人隨意往桌面上

扔放這個(gè)木塊.規(guī)定：當(dāng)小光扔時(shí)，如果朝上的一面寫的是偶數(shù)，得1分.當(dāng)小亮扔時(shí)，如果朝

上的一面寫的是奇數(shù)，得1分.每人扔100次，得分高的可能性比較大.

【解析】因?yàn)?、3、5、6、7、9中奇數(shù)有4個(gè)，偶數(shù)只有2個(gè)，所以木塊向上一面寫著奇數(shù)的可能性

較大，即小亮得分高的可能性較大.

【例2］在多家商店中調(diào)查某商品的價(jià)格，所得的數(shù)據(jù)如下（單位：元）

25212325272925283029

26242527262224252628

請?zhí)顚懴卤?/p>

價(jià)格范圍商品數(shù)所占百分?jǐn)?shù)

20.5?22.5

22.5?24.5

24.5?26.5

26.5?28.5

28.5?30.5

年十

【解析】：

價(jià)格范圍商品數(shù)所占百分?jǐn)?shù)

20.522,5212210?

22.52%523242。15%

24.526.52525252626252526

26.528.52728272g2翁

28.530.5292930IV

合計(jì)100?

【例3】在某個(gè)池塘中隨機(jī)捕撈100條魚，并給魚作上標(biāo)記后放回池塘中，過一段時(shí)間后又再次隨機(jī)捕

撈200尾，發(fā)現(xiàn)其中有25條魚是被作過標(biāo)記的，如果兩次捕撈之間魚的數(shù)量沒有增加或減少，

那么請你估計(jì)這個(gè)池塘中一共有魚多少尾？

【解析】200尾魚中有25條魚被標(biāo)記過，所以池塘中魚被標(biāo)記的概率的實(shí)驗(yàn)得出值為25+200=0.125,所

以池塘中的魚被標(biāo)記的概率可以看作是0.125,池塘中魚的數(shù)量約為100+0.125=800尾.

【例4］有黑桃、紅桃、方塊、草花這4種花色的撲克牌各2張，從這8張牌中任意取出2張。請

問：這2張撲克牌花色相同的概率是多少？

【解析】先從8張牌中選2張牌有28種選法。然后滿足條件的選法只有4種，即4種不同的花色，所以

這兩張牌花色相同的概率是4/28=1/7

【鞏固】小悅從1、2、3、4、5這5個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，冬冬從2、3、4、5、6、7這6個(gè)自然數(shù)中

任選一個(gè)數(shù)。選出的兩個(gè)數(shù)中，恰好有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的概率是多少

【解析】小悅從1、2、3、4、5這5個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，有5種選法

冬冬從2、3、4、5、6、7這6個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，有6種許選法

所以總共的組合有5X6=30種不同選法，

其中滿足倍數(shù)關(guān)系的分別有小悅?cè)?時(shí)，有6種

小悅?cè)?時(shí)，有3種，小悅?cè)?時(shí)，有2種，

小悅?cè)?時(shí)，有2種，小悅?cè)?時(shí)，有1種，

一共有14種.所以滿足條件的概率是14/30=7/15

【例5］媽媽去家樂福購物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴蓮大降價(jià)。于是她決定從這4中水

果中任選一種買回家。爸爸下班時(shí)路過集貿(mào)市場，發(fā)現(xiàn)有蘋果、橘子、香蕉、葡萄和梨出

售。他也決定任選一種買回家。請問：他們買了不同的水果的概率是多少？

【解析】媽媽爸爸都買香蕉的概率是1/4X1/5=1/20

都買橘子的概率是1/4X1/5=1/20

都買葡萄的概率是1/4X1/5=1/20o

所以他們買的水果不同的概率為1-3/20=17/20

【鞏固】在標(biāo)準(zhǔn)英文字典中，由2個(gè)不同字母組成的單詞一共有55個(gè).如果從26個(gè)字母中任取2個(gè)不同

的排列起來，那么恰好能拍成一個(gè)單詞的概率是多少？

【解析】從26個(gè)自母中任選2個(gè)字母進(jìn)行排列有650種不同的選法，滿足條件的只有26種，所有恰好構(gòu)

成一個(gè)單詞的概率是55/650=11/130

【鞏固】口袋里裝有100張卡片，分別寫著1,2,3,……，100.從中任意抽出一張。請問：

(1)抽出的卡片上的數(shù)正好是37的概率是多少？

(2)抽出的卡片上的數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？

(3)抽出的卡片上的數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率是多少？

(4)抽出的卡片上的數(shù)是101的概率是多少？

(5)抽出的卡片上的數(shù)小于200的概率是多少？

【解析】隨機(jī)抽出有100種可能，所以是37的概率是1/100

100種有50個(gè)偶數(shù)，所以是偶數(shù)概率是50/100=1/2

100以內(nèi)有25個(gè)質(zhì)數(shù)，所以是質(zhì)數(shù)的概率是1/4

抽出卡片不可能是101,所以概率為0

抽出所有數(shù)都小于200,所以概率為1.

［例6］在一只口袋里裝著2個(gè)紅球，3個(gè)黃球和4個(gè)黑球。從口袋中任取一個(gè)球，請問：

(1)這個(gè)球是紅球的概率有多少？

(2)這個(gè)球是黃球或者是黑球的概率有多少？

(3)這個(gè)是綠球的概率有多少？不是綠球的概率又有多少？

【解析】口袋里一共有9個(gè)球，2個(gè)紅球，隨機(jī)取有2/9的概率取到紅球

這個(gè)球不是是紅球就是黃球或者黑球，所以取到黃球或者黑球的概率是7/9,

由于沒有綠球，所以取到旅求概率是0,不是綠球的概率是1

【鞏固】一只口袋里裝有5個(gè)黑球和3個(gè)白球，另一只口袋里裝有4個(gè)黑球和4個(gè)白球。從兩只口袋里

各取出一個(gè)球。請問：取出的兩個(gè)球顏色相同的概率是多少？

【解析】總共的取法數(shù)是8X8=64種滿足條件的選法有當(dāng)選出都是黑球5X4=20種，當(dāng)選出都是白

球3X4=12種,一共有32種滿足條件所以兩個(gè)球顏色相同概率是32/64=1/2

【鞏固】一只普通的骰子有6個(gè)面，分別寫有1、2、3、4、5、6o擲出這個(gè)骰子，它的任何一面朝上的

概率都是1/6.假設(shè)你將某一個(gè)骰子連續(xù)投擲了9次，每次的結(jié)果都是1點(diǎn)朝上。那么第十次投

擲后，朝上的面上的點(diǎn)數(shù)恰好是奇數(shù)的概率是多少？

【解析】本題要注意當(dāng)你投擲9次之后的結(jié)果其實(shí)對第十次是沒有影響的，所以第十次投擲只要投擲出1,

3,5就滿足條件，而總共有1?6六種可能，所以概率是1/2.

【鞏固】甲、乙兩個(gè)學(xué)生各從0-9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)挑選了兩個(gè)數(shù)字（可能相同），求：⑴這兩個(gè)數(shù)字

的差不超過2的概率，⑵兩個(gè)數(shù)字的差不超過6的概率.

【解析】⑴兩個(gè)數(shù)相同（差為0）的情況有10種，

兩個(gè)數(shù)差為1有2x9=18種，

兩個(gè)數(shù)的差為2的情況有2x8=16種，

所以兩個(gè)數(shù)的差不超過2的概率有10+18+16=工_.

10x1025

（2）兩個(gè)數(shù)的差為7的情況有2x3種.

兩個(gè)數(shù)的差為8的情況有2x2=4種.

兩個(gè)數(shù)的差為9的情況有2種.

所以兩個(gè)數(shù)字的差超過6的概率有6+4+2=3

10x1025

兩個(gè)數(shù)字的差不超過6的概率有1-3=三.

2525

【鞏固】小悅擲出了2枚骰子，擲出的2個(gè)數(shù)字之和恰好等于10的概率有多少？

【解析】擲出2個(gè)骰子總情況有6X6=36種，

其中和為10的有第一次擲出4,第二次擲出6

第一次擲出5,第二次擲出5

第一次擲出6,第二次擲出4,

所以滿足條件情況只有三種，所以恰好為10的概率是1/12。

【鞏固】分別先后擲2次骰子，點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為多少？點(diǎn)數(shù)之積為6的概率為多少?

【解析】根據(jù)乘法原理，先后兩次擲骰子出現(xiàn)的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)一共有6x6=36種不同情況.

將點(diǎn)數(shù)為6的情況全部枚舉出來有：

（1,5）:（2,4）:（3,3）：（4,2）:（5,1）:

點(diǎn)數(shù)之積為6的情況為：（1,6）:（2,3）:（3,2）:（6,1）.

兩個(gè)數(shù)相加和為6的有5組，一共是36組，所以點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是工■:

36

41

點(diǎn)數(shù)之積為6的概率為一=一.

369

【例7】一枚硬幣連續(xù)拋擲3次，至少有一次正面向上的概率是.

【解析】從反面考慮，先求三次都是正面向下的概率，為工所以至少有一次正面向上的概率

2228

【鞏固】冬冬與阿奇做游戲：由冬冬拋出3枚硬幣，如果拋出的結(jié)果中，有2枚或2枚以上的硬幣正面朝

上，冬冬就獲勝；否則阿奇獲勝。請問：這個(gè)游戲公平嗎？

【解析】冬冬獲勝的概率為，兩枚或者兩枚以上硬幣正面朝上，

兩枚硬幣正面朝上的概率為從三次投擲中選兩次正面朝上有3種可能，每種的概率是3個(gè)

1/2連乘。等于3/8,三枚硬幣都正面朝上概率為1/8。

所以冬冬獲勝的概率為1/2.也就是阿奇獲勝概率也是1/2,所以游戲是公平的。

【鞏固】一枚硬幣連續(xù)拋4次，求恰有2次正面的概率.

【解析】首先拋擲一枚硬幣的過程，出現(xiàn)正面的概率為工，又因?yàn)檫B續(xù)拋擲四次，各次的結(jié)果之間是相互

2

獨(dú)立的，所以這是獨(dú)立事件的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，可得恰有2次正面的概率為C：*Lx，><LxL=3.

22228

另解：每拋一次都可能出現(xiàn)正面和反面兩種情況，拋4次共有24=16種情況，其中恰有2次正面

的有C：=6種情況，所以恰有2次正面的概率為藍(lán)=§.

【鞏固】一枚硬幣連續(xù)拋擲3次，求至少有兩次正面向上的概率.

【解析】至少有兩次正面向上，可分為2次正面向上和3次正面向上兩種情形：（1）2次正面向上的：此時(shí)

只有1次正面向下，可能為第1次、第2次和第3次，所以此時(shí)共3種情況；（2）3次正面向上，

此時(shí)只有一種情況.所以至少有兩次正面向上的共有4種情況，而連續(xù)拋擲3次硬幣，共有

41

2x2x2=8種情況，所以至少有兩次正面向上的概率為：一=—.

82

【鞏固】阿奇一次指出8枚硬幣，結(jié)果恰有4枚硬幣正面朝上的概率是多少？有超過4枚的硬幣正面朝

上的概率是多少？

【解析】投擲8枚硬幣，恰有4次正面朝上，應(yīng)該從8次中選擇4次正面朝上，這四次朝上的概率是4個(gè)

1/2的聯(lián)乘，這時(shí)不要忘記剩下的4次一定是反面朝上，也是4個(gè)1/2的連乘，所以恰好4枚硬

幣朝上的概率是35/128o

利用對稱的思想，有超過4枚硬幣正面朝上的概率應(yīng)該和有少于4枚硬幣朝上的概率相同，所以

有超過4枚硬幣正面朝上的概率為（1-35/128）4-2=93/256

【例8］如圖所示，將球放在頂部，讓它們從頂部沿軌道落下，球落到底部的從左至右的概率依次是

【解析】球在頂點(diǎn)時(shí)的概率是1,而每到一個(gè)岔口，它落入兩邊的機(jī)會(huì)是均等的，因此，可以采用標(biāo)數(shù)法,

如右上圖所示，故從左至右落到底部的概率依次為工、工、3、1、—.

1648416

【鞏固】如圖為A、3兩地之間的道路圖，其中。表示加油站，小王駕車每行駛到出現(xiàn)兩條通往目的地

方向道路的路口時(shí)（所有路口都是三叉的，即每到一個(gè)路口都只有一條或兩條路通往目的地），

都用拋硬幣的方式隨機(jī)選擇路線，求：⑴小王駕車從A到3,經(jīng)過加油站的概率.⑵小王駕車

從8到A,經(jīng)過加油站的概率.

【解析】運(yùn)用標(biāo)數(shù)法，標(biāo)數(shù)規(guī)則（性質(zhì)）：

⑴從起點(diǎn)開始標(biāo)“1

（2）以后都將數(shù)標(biāo)在線上，對于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，起點(diǎn)方向的節(jié)點(diǎn)相連線路上所標(biāo)數(shù)之和與和目標(biāo)方向

節(jié)點(diǎn)相連線路上標(biāo)數(shù)之和相等.

⑶對于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，目標(biāo)方向的各個(gè)線路上標(biāo)數(shù)相等.

如圖：從A到5經(jīng)過加油站的概率為L

8

1

3

如圖：從8到A經(jīng)過加油站的概率為L

8

【例9］小明爬樓梯時(shí)以拋硬幣來確定下一步跨1個(gè)臺(tái)階還是2個(gè)臺(tái)階，如果是正，那么跨I個(gè)臺(tái)階，如

果是反，那么跨出2個(gè)臺(tái)階，那么小明走完四步時(shí)恰好跨出6個(gè)臺(tái)階的概率為多少？

【解析】小明跨出4步的所有情況有2x2x2x2=16種情況，其中恰好跨出6個(gè)臺(tái)階的情況有：

（2,2,1/）、（2,1,2,1）、（1,2,2,1）、（2,1,1,2）、（1,2,1,2）、（1,1,2,2）六種，

所以概率為色=3.

168

【鞏固】小明爬樓梯擲骰子來確定自己下一步所跨臺(tái)階步數(shù)，如果點(diǎn)數(shù)小于3,那么跨1個(gè)臺(tái)階，如果不小

于3,那么跨出2個(gè)臺(tái)階，那么小明走完四步時(shí)恰好跨出6個(gè)臺(tái)階的概率為多少？

【解析】擲骰子點(diǎn)數(shù)有1?6這6種情況，其中小于3的有2個(gè)，不小于3的有4個(gè)。所以，小明每跨出一

9142

步有—=—的概率跨1個(gè)臺(tái)階有一=-的概率跨2個(gè)臺(tái)階，

6363

對于4步跨6個(gè)臺(tái)階的每一種情況，必定是有2步跨1個(gè)臺(tái)階，2步跨2個(gè)臺(tái)階，這4步的走法

共有C：=6種；

79114

對于里面的每一種走法，例如（2,2,1,1）,發(fā)生的可能性有*=;，所以4步跨6臺(tái)階發(fā)

333381

48

生的總概率為一x6=—.

8127

【鞏固】從小紅家門口的車站到學(xué)校，有1路、9路兩種公共汽車可乘，它們都是每隔10分中開來一輛.小

紅到車站后，只要看見1路或9路，馬上就上車，據(jù)有人觀察發(fā)現(xiàn)：總有1路車過去以后3分鐘

就來9路車，而9路車過去以后7分鐘才來1路車.小紅乘坐______路車的可能性較大.

【解析】首先某一時(shí)刻開來1路車，從此時(shí)起，分析乘坐汽車如下表所示：

分鐘12345678910111213141516171819

車號1999111111199911111

73

顯然由上表可知每10分鐘乘坐1路車的幾率均為一，乘坐9路車的幾率均為一，因此小紅乘坐1

1010

路車的可能性較大.

【例10】四位同學(xué)將各自的一張明信片隨意放在一起互相交換，恰有一個(gè)同學(xué)拿到自己寫的明信片的概

率是?

【解析】一共有4*=24種可能的拿法，而其中一位同學(xué)拿到自己的明信片的情況是C：=4種，此時(shí)其他3

位同學(xué)拿到的都是別人的明信片，各有2種情況，所以恰有一個(gè)同學(xué)拿到自己寫的明信片的情況

O1

有4x2=8種，概率為，-二—,

243

【鞏固】兩封信隨機(jī)投入4個(gè)郵筒，則前兩個(gè)郵筒都沒有投入信的概率是.

【解析】總的投信方法為4x4=16種投法.而前2個(gè)郵筒不能投，那么信就只能投入后2個(gè)郵筒了，有

41

2x2=4種可能，所以前兩個(gè)郵筒都沒有投入信的概率是一=—.

164

【鞏固】一張圓桌旁有四個(gè)座位，A、B、C、。四人隨機(jī)坐到四個(gè)座位上，求A與3不相鄰而坐的概率.

【解析】四人入座的不同情況有4x3x2x1=24種.

4、3相鄰的不同情況，首先固定A的座位，有4種，安排8的座位有2種，安排C、。的座位

有2種，一共有4x2x2=16種.

所以A、B相鄰而座的概率為（24-16）+24=g.

【例11】小悅與阿奇比賽下軍棋，兩人水平相當(dāng)，兩人約定塞7局，先贏4局者勝，現(xiàn)在已經(jīng)比了三局，

小悅勝了2局，阿奇勝了1局。請問：小悅獲得最后勝利的概率有多少？

【解析】小悅已經(jīng)勝了2局，

如果5局結(jié)束比賽，則第4第5局小悅都勝利了，概率為1/4

如果6局結(jié)束比賽，則4,5局中阿奇勝了1局，第六局小悅勝，

概率為2X1/2X1/2X1/2=1/4

如果進(jìn)行了7場比賽，貝|4,5,6局比賽中小悅只贏了一局，第7局小悅勝利，

3X1/2X1/2X1/2X1/2=3/16

所以小悅總共獲勝的概率是11/16

【鞏固】（2008年“奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級）一塊電子手表，顯示時(shí)與分，使用12小時(shí)計(jì)時(shí)制，例如中午12點(diǎn)

和半夜12點(diǎn)都顯示為12:00.如果在一天（24小時(shí)）中的隨機(jī)一個(gè)時(shí)刻看手表，至少看到一個(gè)數(shù)

字“1”的概率是.

【解析】手表的時(shí)刻可以顯示為的形式，其中A4的取值從01到12,班的取值從00到59,因此

手表上能顯示出來的時(shí)刻一共有12x60=720種。

冒號之前不出現(xiàn)“1”的情況有：02,03,04,05,06,07,08,09,共8種。

冒號后為兩位數(shù)，十位不出現(xiàn)“1”的情況有0,2,3,4,5共5種，個(gè)位不出現(xiàn)“1”的情況有

0,2,3,4,5,6,7,8,9共9種，所以不出現(xiàn)“1”的情況有8x5x9=360種。

因此至少出現(xiàn)一個(gè)數(shù)字“1”的情況有720-360=360種。

所以至少看到一個(gè)數(shù)字“1”的概率為儂=1。

7202

【例12】某列車有4節(jié)車廂，現(xiàn)有6個(gè)人準(zhǔn)備乘坐，設(shè)每一位乘客進(jìn)入每節(jié)車廂的可能性是相等的，則

這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0,1,2,3的概率為多少？

【解析】6個(gè)人乘坐4節(jié)車廂，每個(gè)人都可能進(jìn)入其中的某一節(jié)車廂，所以一共的可能數(shù)為4$=4096種.

出現(xiàn)6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0,1,2,3的情況的可能性為后1=1440種

144045

可能，所以所求概率為----=——.

4096128

【鞏固】三個(gè)人乘同一輛火車，火車有十節(jié)車廂，則至少有兩人上同一節(jié)車廂的概率為.

【解析】三個(gè)人均上不同車廂的概率為1^~^=0.72,因此，至少有兩人同上一節(jié)車廂的概率為

103

1-0.72=0.28.

【鞏固】某人有5把鑰匙，一把房門鑰匙，但是忘記是哪把，于是逐把試，問恰好第三把打開門的概率?

【解析】從5把鑰匙中排列出前三把，一共有K=5x4x3=60種，

從5把鑰匙中將正確的鑰匙排在第三把，并排出前二把一共有廳=4x3=12種，

所以第三把鑰匙打開門的概率為1上7=士1.

605

【鞏固】一輛肇事車輛撞人后逃離現(xiàn)場，警察到現(xiàn)場調(diào)查取證，目擊者只能記得車牌是由2、3、5、7、

9五個(gè)數(shù)字組成，卻把它們的排列順序忘記了，警察在調(diào)查過程中，如果在電腦上輸入一個(gè)由這

五個(gè)數(shù)字構(gòu)成的車牌號，那么輸入的車牌號正好是肇事車輛車牌號的可能性是.

【解析】警察在調(diào)查過程中，在電腦上輸入第一個(gè)數(shù)字可能是2、3、5、7、9中的任何一個(gè)，有5種可

能，第二位數(shù)字有4種可能，，第五位數(shù)字有1種可能，所以一共有5x4x3x2x1=120種可

能，則輸入正確車牌號的可能性是」一.

120

【例13】某小學(xué)六年級有6個(gè)班，每個(gè)班各有40名學(xué)生，現(xiàn)要在六年級的6個(gè)班中隨機(jī)抽取2個(gè)班，參

加電視臺(tái)的現(xiàn)場娛樂活動(dòng)，活動(dòng)中有1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，將抽取4名幸運(yùn)觀眾，那么六年級學(xué)生小寶

成為幸運(yùn)觀眾的概率為多少？

^-=—=-,如果小寶參加了娛樂活動(dòng)，那么小寶成

【解析】小寶所在班級被抽中參加娛樂活動(dòng)的概率為

Cl153

為幸運(yùn)觀眾的概率為」一=」-,所以小寶成為幸運(yùn)觀眾的概率為-X—.

40x22032060

【鞏固】（全國數(shù)學(xué)資優(yōu)生水平測試）編號分別為1?10的10個(gè)小球，放在一個(gè)袋中，從中隨機(jī)地取出

兩個(gè)小球，這兩個(gè)小球的編號不相鄰的可能性是。

【解析】從10個(gè)小球中取出兩個(gè)的取法總數(shù)為C*=45種，其中編號相鄰的取法有9種（1與2、2與3、

3與4、4與5、5與6、6與7、7與8、8與9、9與10）,所以不相鄰的取法有45-9=36種，那

364

么取出來的兩個(gè)小球編號不相鄰的可能性為二=2。

455

【例14】一個(gè)年級有三個(gè)班級，在這個(gè)年級中隨意選取3人，這3人屬于同一個(gè)班級的概率是多少？

【解析】設(shè)三個(gè)班分別為A,B,C.從三個(gè)班級中隨意選取1個(gè)人，選自各個(gè)班級的概率都相等，都是

那么3個(gè)人都選自A班的概率為同理，3個(gè)人都選自5班和C班的概率也都

333327

是工，所以這三個(gè)人這3人屬于同一^個(gè)班級的概率是2x3=L.

27279

【鞏固】一個(gè)班有女生25人，男生27人，任意抽選兩名同學(xué),恰好都是女生的概率是幾分之幾？

【解析】從25名女生中任意抽出兩個(gè)人有j^=300種不同的方法.

2

從全體學(xué)生中任意抽出兩個(gè)人有小2=1326種不同的方法.計(jì)算概率：當(dāng)_=理_.

21326221

【鞏固】從6名學(xué)生中選4人參加知識(shí)競賽，其中甲被選中的概率為多少？

【解析】法一：從6名學(xué)生中選4人的所有組合數(shù)為=15種，甲在其中的計(jì)數(shù)，相當(dāng)于從另外5名學(xué)

ino

生中再選取3名，因此組合數(shù)為C：=10種，所以甲被選上的概率為看=：。

法二：顯然這6個(gè)人入選的概率是均等的，即每個(gè)人作為一號選手入選的概率為L,作為二號入

6

選的概率為作為三號入選的概率為L,作為四號入選的概率為！，對于單個(gè)人“甲”來說，

666

他以頭號、二號、三號、四號入選的情況是不重復(fù)的，所以他被入選的概率為4+,+,+,=2.

66663

【例15】（武漢明心奧數(shù)挑戰(zhàn)賽六年級）學(xué)校門口經(jīng)常有小販搞摸獎(jiǎng)活動(dòng).某小販在一只黑色的口袋里

裝有顏色不同的50只小球，其中紅球1只，黃球2只，綠球10只，其余為白球.攪拌均勻后，

每2元摸1個(gè)球.獎(jiǎng)品的情況標(biāo)注在球上（如圖）.

8元的5元的1元的無

日出

紅球黃球綠球白球

如果花4元同時(shí)摸2個(gè)球，那么獲得10元獎(jiǎng)品的概率是.

【解析】（法1）計(jì)數(shù)求概率。摸兩個(gè)球要獲得10元獎(jiǎng)品，只能是摸到兩個(gè)黃色的球，由于只有2只黃球,

所以摸到2只黃球只有1種可能，而從50只小球里面摸2只小球共有C'=1225種不同的摸法，

所以獲得10元獎(jiǎng)品的概率為一一。

（法2）概率運(yùn)算。摸兩個(gè)球要獲得10元獎(jiǎng)品，只能是摸到兩個(gè)黃色的球，而摸第1個(gè)球?yàn)辄S球

21911

的概率為一，摸第2個(gè)球?yàn)辄S球的概率為一,因此獲得10元獎(jiǎng)品的概率為一X—=------.

504950491225

【鞏固】用轉(zhuǎn)盤（如圖）做游戲，每次游戲游戲者需交游戲費(fèi)1元.游戲時(shí)，游戲者先押一個(gè)數(shù)字，然后

快速地轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，若轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針?biāo)父褡又械臄?shù)字恰為游戲者所押數(shù)字，則游戲者

將獲得獎(jiǎng)勵(lì)36元.該游戲?qū)τ螒蛘哂欣麊?？轉(zhuǎn)動(dòng)多少次后，游戲者平均每次將獲利或損失多少

元？

34353601

33少

21201918171615M

【解析】在此游戲中，指針落在37個(gè)區(qū)域的可能性是一樣的，而游戲者押中的概率為，押錯(cuò)的概率

為-L、—,每押中一次獲得獎(jiǎng)金（36—1=）35元，押錯(cuò)損失1元，因此轉(zhuǎn)動(dòng)多次后，游戲者平

3737

均每次將獲利35X-L—1義型=--L（元）.因此，該游戲?qū)τ螒蛘卟焕?，游戲者平均每次損失

【鞏固】用下圖中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤進(jìn)行“配紫色”游戲.分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，若其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另

一個(gè)轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，則可配成紫色，此時(shí)小剛得1分，否則小明得1分.這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平

嗎？若你認(rèn)為不公平，如何修改規(guī)則，才能使該游戲?qū)﹄p方公平呢？

【解析】為了保證自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，指針落在每個(gè)區(qū)域的可能性相同，我們把轉(zhuǎn)盤⑴按逆時(shí)針把紅色區(qū)域

等分成四部分，分別記作紅1、紅2、紅3、紅4,轉(zhuǎn)盤⑵也類似地把藍(lán)色區(qū)域分別記作藍(lán)1、藍(lán)

2、藍(lán)3、藍(lán)4.接下來，我們就可以用列表法計(jì)算分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出紅色，

另一個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色可配成紫色的概率.列表如下：

―———_____^個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的顏色

第一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的蔽?-一'一苣1籃2$3藍(lán)4紅色

紅1X

紅24X

紅3X

紅4.7X

藍(lán)色XXXX

注：“J”表示可配成紫色，“X”表示不可配成紫色.

17Q

分別轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，可配成紫色的概率為三，不可配成紫色的概率為a.

2525

因此，這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平，對小明不利.

【鞏固】小明和小剛改用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲.配成紫色，小剛得1分.否則小明得1

分，這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？

【解析】由上面兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲，等可能的結(jié)果列表如下:

——一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的新色

第一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的施一■—--一______紅黃密

紅班，紅）班，黃）班,籃）

藍(lán)（￡,紅）1￡,黃）,藍(lán)）

0147

由上面的表格可得：配成紫色的概率為*=+，配不成紫色的概率為？=*,因此游戲不公平，對

6363

小剛不利.

【鞏固】轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次指針都指向一個(gè)數(shù)字.兩次所指的數(shù)字之積是質(zhì)數(shù)，游戲者A

得10分；乘積不是質(zhì)數(shù)，游戲者6得1分.你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？如果你認(rèn)為這個(gè)游戲不公

平，你愿意做游戲者4還是游戲者印為什么？你能設(shè)法修改游戲規(guī)則使得它對游戲雙方都公平

嗎？

【解析】根據(jù)題意，我們可以用列表法計(jì)算出兩次指針?biāo)笖?shù)字之積是質(zhì)數(shù)的概率和積不是質(zhì)數(shù)的概

率.列表如下：

第一次轉(zhuǎn)動(dòng)指

針?biāo)笖?shù)

123456

第二次轉(zhuǎn)動(dòng)

指針?biāo)笖?shù)

11X11X21X3IX*1X51X6

22X12X22X32X42X52X6

33X13X23X33X43X53X6

44X14X2&X34X44X54X6

55X15X25X35X45X55X6

66X16X26X36X46X56X6

由表格可求得轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，指針?biāo)笖?shù)字之積是質(zhì)數(shù)的概率為9=1,指針?biāo)笖?shù)字之積不是

366

質(zhì)數(shù)的概率為330=巳5，當(dāng)然愿做4因?yàn)?得高分的可能性較大.若使游戲公平，游戲規(guī)則應(yīng)修

366

改為：兩次所指的數(shù)字之積是質(zhì)數(shù)，則游戲者4得5分；乘積不是質(zhì)數(shù)，游戲者8得1分.這樣

對游戲者雙方都公平.

【例16】小紅的箱子中有4副手套，完全相同，但左、右手不能互換，有一副是姑姑送的，兩副是奶奶

送的，還有一副是自己買的，她從中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概率是多少？

【解析】箱子里總共有8只手套，其中有一左一右是送姑姑的，不妨設(shè)為A、B.

第一次拿出A的概率是:，爾后第二次拿出8的概率是:，所以拿出（AB）的概率是；

同樣，也可以第一次拿出第二次拿出A,同理可求出其概率是

8756

所以，拿出的恰好是姑姑送的那副的概率為上面兩種的概率之和，為」.

28

另解：箱子里總共有8只手套，從中取出2只有C；=28種取法，其中只有1種恰好是姑姑送的那

副，所以拿出的恰好是姑姑送的那副的概率為工.

28

【鞏固】盒子里裝著20支圓珠筆，其中有5支紅色的，7支藍(lán)色的，8支黑色的。從中隨意抽出4支，每

種顏色的筆都被抽出的概率是多少？

【解析】20支筆從中選出4支筆，總共4845種不同選法，

其中3種顏色都有的情況是，

一：2支紅色1支藍(lán)色1支黑色10X7X8=560種，

二：1支紅色2支藍(lán)色1支黑色5X21X8=840種，

三：1支紅色1支藍(lán)色2支黑色5X7X28=980種。

所以一共有560+840+980=2380種

滿足條件的概率是2380/4845=28/57

【例17】A、B、C、D、E、尸六人抽簽推選代表，公證人一共制作了六枚外表一模一樣的簽，其中

只有一枚刻著"中”，六人按照字母順序先后抽取簽，抽完不放回，誰抽到“中”字，即被推選

為代表，那么這六人被抽中的概率分別為多少？

【解析】A抽中的概率為沒抽到的概率為

66

如果A沒抽中，那么8有;的概率抽中，如果A抽中，那么8抽中的概率為0,所以8抽中的概

率為9x!=L

656

同理，。抽中的概率為x-1=」，O抽中的概率為-IE抽中的概率為

65466