人教版初中數(shù)學八年級下冊《第17章 勾股定理》單元測試卷

人教新版八年級下學期《第17章勾股定理》

單元測試卷

一.解答題（共50小題）

1.已知：如圖，有一塊凹四邊形土地ABC。，ZADC=90Q,AD=4in,CD=3m,42=13〃?,

BC=12m,求這塊四邊形土地的面積.

2.如圖，在四邊形ABC力中，ZB=ZD=90o,AB=BC=2,CD=\,求AD的長.

3.如圖，在四邊形ABC。中，AB=AD,/A=90°,NCBD=30°,ZC=45",如果A8

=后，求CD的長.

4.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,點3、E分別是BC、4c上的點，且。E=3,AD

=4,AE=5.若/BA￡>=73°,NC=35°,求的度數(shù).

5.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,點E在4B上，AD=],AE=2,BC=3,

BE=1.5.求證：ZD￡C=90°.

6.如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,AZ)平分NC4B,交.BC于點D,CD=2,AC=2?.

(1)求NB的度數(shù)；

7.如圖，在四邊形ACBO中，ZC=90°,AC=3,BC=4,AD^12,80=13.連接A8,

求證：AD.LAB.

8.如圖，四邊形4BC￡>中，ZB=90°,NACB=30°,AB=2,CD=3,A￡>=5.

(1)求證：AC_LC￡>；

(2)求四邊形ABC。的面積.

9.題目：如圖，在△ABC中，點。是BC邊上一點，連結A￡>,若AB=10,4c=17,BD

=6,AD=8,解答下列問題:

(1)求NAOB的度數(shù);

(2)求BC的長.

小強做第（1）題的步驟如下：???"2=3爐+A￡>2

...△ABD是直角三角形，ZADB=90°.

（1）小強解答第（1）題的過程是否完整，如果不完整，請寫出第（1）題完整的解答過程

（2）完成第（2）題.

10.如圖，已知RtZXABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=3cm,AB=6〃z,點尸在線段

AC上以的速度由點C向點A運動，同時，點。在線段AB上以2e〃/s的速度由點

A向點3運動，設運動時間為f（s）.

（1）當1=1時，判斷△APQ的形狀，并說明理由；

11.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,ZVIBC的三個頂點都在格點上

（1）直接寫出邊AB、AC.BC的長.

12.如圖，《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問

折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹稍

恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，求折斷處離地面的高度.

CKB

13.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,ZXABC的三個頂點分別在正方形

網(wǎng)格的格點上.

(1)計算邊AB、BC、AC的長.

(2)判斷AABC的形狀，并說明理由.

A

14.如圖，數(shù)學活動課上，老師組織學生測量學校旗桿的高度，同學們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的

繩子拉直垂到了地面還多1米，同學們把繩子的末端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)繩子末端剛好接

觸地面，求旗桿的高度.(旗桿頂端滑輪上方的部分忽略不計)

15.已知△ABC中，BC=m-n(w>?>0),AC=24^,AB=m+n.

(I)求證：ZVIBC是直角三角形；

(2)當NA=30°時，求機，〃滿足的關系式.

16.如圖，/4。8=90°,Q4=9C7〃，0B^3cm,一機器人在點B處看見一個小球從點4

出發(fā)沿著A0方向勻速滾向點。，機器人立即從點B出發(fā),沿BC方向勻速前進攔截小球，

恰好在點C處截住了小球.如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，那么機器人

行走的路程BC是多少？

B

A

17.方格紙中小正方形的頂點叫格點.點4和點B是格點，位置如圖.

(1)在圖1中確定格點C使4ABC為直角三角形，畫出一個這樣的△ABC；

(2)在圖2中確定格點。使△AB。為等腰三角形，畫出一個這樣的△AB。；

條件的格點。有.個?

圖2

18.圖1是圍墻的一部分,上部分是由不銹鋼管焊成的等腰三角形柵欄如圖2,請你根據(jù)圖

2所標注的尺寸，求焊成一個等腰三角形柵欄外框BCZ)至少需要不銹鋼管多少米(焊接

部分忽略不計).

B

圖2

19.某中學有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量/

B=90°,A8=3mBC=4，"，CD^Um,AO=13，%若每平方米草皮需要200元，問學

校需要投入多少資金買草皮？

20.如圖1,RtAABCACICB,AC=15,AB=25,點。為斜邊上動點.

(1)如圖2,過點。作OE_LAB交CB于點E,連接AE,當AE平分NC4B時，求CE；

(2)如圖3,在點。的運動過程中，連接C。，若△ACO為等腰三角形，求A。.

ccc

22.如圖，ZVLBC中，NACB=90°,AB=lOcm,BC=6cm,若點P從點A出發(fā)，以每秒

1。"的速度沿折線A-C-8-A運動，設運動時間為/秒(Z>0).

(1)當點尸在AC上，且滿足B4=PB時，求出此時r的值；

(2)當點尸在A8上，求出f為何值時，△BC尸為等腰三角形.

23.如圖所示，一棵大樹高8米，一場大風過后，大樹在離地面3米處折斷倒下，樹的頂端

落在地上，則此時樹的頂端離樹的底部有多少米.

24.如圖，在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=3,動點尸從點C出發(fā)，沿著CB運動，速

度為每秒1個單位，到達點B時運動停止，設運動時間為f秒，請解答下列問題：

(1)求BC上的高；

(2)當f為何值時，△ACP為等腰三角形？

A

25.(1)已知RtZ\ABC中，ZC=90°,若”=12,h=5,則c=；

(2)已知RtZkABC中，ZC=90°,若c=10c〃?，b=6cm,則a=；

(3)已知RtAABC中，/C=90°,若a：b=3：4,c=20,則,法=.

26.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離

BC為0.7米，頂端距離地面的高度AC為2.4米.如果保持梯子底端位置不動，將梯子

斜靠在右墻時，頂端距離地面的高度A'。為2米，求小巷的寬度.

27.已知RtZ^ABC中，ZC=90°,若a+/?=14a”，c=\0cm,求RtZ\ABC的面積.

28.如圖，一塊三角形草坪A8C,測得AC=6〃z,BC=8"?,AB=i0m,準備從頂點C處出

發(fā)修一條小路CD通往A8,設小路與AB交于點D.

(1)請給出設計方案使得小路CD最短，并求出此時小路C。的長；

(2)若有一動點P,從A出發(fā)沿著△A8C的三條邊逆時針走一圈回到A點，速度為3m/h,

設時間為f小時，？為何值時，△ACP是以AC為腰的等腰三角形？

29.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種菜,爸爸讓小明計算一下土地的面積,

以便計算產(chǎn)量.小明找了一卷米尺，測得A8=3米，4。=4米，CD=13米，BC=12米,

又已知NA=90°,求這塊四邊形A8CD土地的面積.

30.如圖，方格紙中小正方形的邊長為1,4ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，求:

(1)邊AC、AB.8c的長；

(2)求△4BC的面枳；

(3)點C到AB邊的距離.

31.如圖，有兩根長桿隔河相對，一桿高3%,另一桿高2〃?，兩桿相距5%.兩根長桿都與

地面垂直，現(xiàn)兩桿頂部各有一只魚鷹，它們同時看到兩桿之間的河面上E處浮出一條小

魚，于是同時以同樣的速度飛下來奪魚，結果兩只魚鷹同時叼住小魚.求兩桿底部距小

魚的距離各是多少米.(假設小魚在此過程中保持不動)

32.如圖(1)：已知在△ABC中，AB=AC,P是底邊BC上一點，作「于。，PEL

AC于E,BFLACTF,求證：PD+PE=BF.

【思路梳理】：如圖(2)：連接AP,必有SA”B+SAAPC=SA4BC，因為△ABP、AACP和4

A8C的底相等，所以三條高PD、PE和BF滿足關系：PD+PE=BF.

【變式應用】：如圖(3)：已知在△ABC中，AB=AC,P是底邊BC的反向延長線上一點,

作PD1.AB于。，PEA.ACTE,BFJ_4C于尸，求證：PE-PD=BF.

【類比引申】：如圖(4)：已知P是邊長為4aM等邊△ABC內(nèi)部一點，作P。，8c于。，

PEA.AB于E,PFLAC于F,那么PD+PE+PF=

【聯(lián)想拓展］己知某三角形的三條邊分別是5a〃、120如13cm,在平面上有一點P,它到

此三角形的三邊的距離相等，則這個距離等于.

33.如圖所示的一塊地，ZADC=90°,AD=\2m,CD=9in,AB=25m,BC=20m,求這

34.閱讀下面材料：

勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三條邊長a,b,c,滿足拼法=3那么這個三

角形是直角三角形.

能夠成為直角三角形三條邊長的正整數(shù)，稱為勾股數(shù).例如：32+42=52,3、4、5是一組勾

股數(shù).

古希臘的哲學家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，。=2加，匕=.2-1,。="2+1,

那么a,b,c為勾股數(shù)，你認為正確嗎？如果正確，請說明理由，并利用這個結論得出

一組勾股數(shù).

35.A,B兩個居民樓在公路同側(cè)，它們離公路的距離分別為AE=200米，BF=70米，它

們的水平距離￡F=390米.現(xiàn)欲在公路旁建一個超市P,使超市到兩居民樓的距離相等，

36.如圖，在△4BC中，CE平分NACB,Cf1平分NAC。，且E尸〃BC交AC于若CM

=5,則Cf^+C產(chǎn)等于多少？

A

37.在等腰△ABC中，已知AB=AC,BO_L4C于O.

(1)若NA=48°,求NC8O的度數(shù)；

(2)若BC=15,80=12,求AB的長.

38.如圖，臺風中心位于點A,并沿東北方向AC移動，已知臺風移動的速度為50千米/時，

受影響區(qū)域的半徑為130千米，3市位于點A的北偏東75°方向上，距離A點240千米

處.

（1）說明本次臺風會影響B(tài)市；

（2）求這次臺風影響B(tài)市的時間.

北個

39.學完勾股定理之后，同學們想利用升旗的繩子、卷尺，測算出學校旗桿的高度.愛動腦

筋的小明這樣設計了一個方案：如圖，小亮將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面，測

得此時繩子末端距旗桿底端1米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5,“處，測得此時繩子

末端距離地面高度為如果設旗桿的高度為x米（滑輪上方的部分忽略不計），求x

的值.

40.已知：如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動點P從點3出

發(fā)沿射線BC以2cmis的速度運動，設運動的時間為f秒，

(1)當△ABP為直角三角形時，求r的值：

(2)當△ABP為等腰三角形時，求/的值.

(本題可根據(jù)需要，自己畫圖并解答)

41.正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,

(1)請在圖中畫出等腰△ABC,使AB=AC=y后,BC=?,

(2)在△ABC中，AB邊上的高為.

42.如圖，等腰AABC的底邊BC=16a〃，腰AC=10cm,A。是底邊BC上的高，一動點P

從點8出發(fā)，沿BC方向以2tros的速度向終點C運動，設運動時間為fs(f>0)

(1)求AD的長；

(2)當△%C是等腰三角形時，求f的值.

43.如圖，ZVIBC中，AD1BC,垂足為O.如果AO=6,BD=9,CD=4,那么NBAC是

直角嗎？證明你的結論.

44.用一條長為20c%的細繩圍成一個等腰三角形

（1）如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少

（2）能圍成有長是4。"的等腰三角形嗎？為什么？

45.如圖1A村和8村在一條大河的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BZ）分別為1千米和

4千米，又知道的長為4千米.

（1）現(xiàn)要在河岸上建一水廠向兩村輸送自來水.有兩種方案備選.

方案1：水廠建在C點，修自來水管道到A村，再至U8村（即AC+A8）.（如圖2）

方案2：作4點關于直線C。的對稱點4',連接4'B交C。于M點，水廠建在M點處,

分別向兩村修管道AM和BM.（即AM+BM）（如圖3）

從節(jié)約建設資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進行施工.請利用已有條件分別進

行計算，判斷哪種方案更合適.

（2）有一艘快艇。從這條河中駛過，當快艇。與C￡＞中點G相距多遠時，AAB。為等腰

三角形？直接寫出答案，不要說明理由.

46.如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“美麗三角形”,

（I）如圖△ABC中，BC=2,求證：△48C是''美麗三角形”；

（2）在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2。若△ABC是“美麗三角形”，求的長.

47.如圖，等邊△ABC的邊長為10a”，點。是邊AC的中點，動點P從點C出發(fā)，沿BC

的延長線以2c,〃/s的速度做勻速運動，設點P的運動時間為f（秒），若△BDP是等腰三

角形，求f的值.

49.如圖所示，一架梯子AB斜靠在墻面上，且AB的長為2.5米

（1）若梯子底端離墻角的距離0B為0.7米，求這個梯子的頂端4距地面有多高？

（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端A下滑0.4米到點4',那么梯子的底端8在水平

方向滑動的距離B8'為多少米？

50.如圖，教學樓走廊左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的

距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜在右墻時,

頂端距離地面2米，求教學樓走廊的寬度.

人教新版八年級下學期《第17章勾股定理》2019年單

元測試卷

參考答案與試題解析

一.解答題(共50小題)

1.已知：如圖，有一塊凹四邊形土地A8CD,/AOC=90°,AD=4m,CD=3w,AB=l3m,

BC^nm,求這塊四邊形土地的面積.

【分析】連接AC,根據(jù)解直角△ADC求AC,求證△ABC為直角三角形，根據(jù)四邊形ABC。

的面積=/\48。面積-△AC。面積即可計算.

【解答】解：連接AC,

VZADC=90°,AD=4m,CD=3m,

/MC"VCD2+AD2=5W-

"：BC=n,AB=\3,

.,.AC^+B^^AB2.

.?.△ABC為直角三角形且/ACB=90°,

22

SAABC=-X5X12=30(/W),SAACD=—X3X4=6(w)

22

???這塊四邊形土地的面積30-6=24(謂).

【點評】本題考查了直角三角形中勾股定理的運用，考查了根據(jù)勾股定理判定直角三角形,

本題中求證aABC是直角三角形是解題的關鍵.

2.如圖，在四邊形488中，NB=ND=90°,AB=8C=2,CD=1,求AO的長.

【分析】連接AC,首先由勾股定理求得AC?的值；然后在直角△AC。中，再次利用勾股定

理來求AD的長度即可.

【解答】解：連接AC,

,/ZB=90°

:.AC1=AB2+BC2.

；A8=BC=2

.,.AC2=8.

：/。=90°

：.AD1=AC2-CD1.

'：CD=b

：.A￡T=1.

AD=VT.

【點評】考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜

邊長的平方.

3.如圖，在四邊形A2CD中，AB=AD,NA=90°,/C8￡)=30°,/C=45°,如果A8

=&,求C￡)的長.

Ap―____D

BC

【分析】過點D作DELBC于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD.8。，再根據(jù)直角

三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DE,利用是等腰直角三角形，

即可求出CQ的長.

【解答】解：如圖，過點。作8c于E,

U

：AB=AD9ZBAD=90°,

:,AD=AB=\[^,

??由勾股定理可得BD=rAB2+AD2=2,

u：ZCBD=30°,

：.DE=^BD=^-X2=\,

22

又?.?為△?)￡：中，NDEC=90°,ZC=45",

由勾股定理可得cz)=G藉強=血.

A

【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，

以及等腰直角三角形的性質(zhì)，通過作輔助線，把△8CQ分成兩個直角三角形是解題的關

鍵，也是本題的難點.

4.己知：如圖，在△ABC中，AB=AC,點。、E分別是BC、4c上的點，且。E=3,AD

=4,AE=5.若NBAD=73°,NC=35°,求NAED的度數(shù).

BDC

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/8=35°,根據(jù)勾股定理的逆定理得到/ADE=90°,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到/4。8=72°,進而根據(jù)平角的定義得到NEQC=18°,再根

據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到/AEQ的度數(shù).

【解答】解：'：AB=AC,/C=35°,

NB=/C=35°,

VDE=3,40=4,AE=5,

.,.￡)E2+AD2=3+4=25,AF=5=25,

D^+AD1=AE1,

...△ADE是直角三角形，ZADE=90°;

又?.,NBA￡>+/8+NAQB=180°,ZBAD=73°,

，NAQB=180°-73°-35°=72°；

又：ZADB+ZADE+ZEDC^\SO°,

AZEDC=180°-72°-90°=18°；

...NAEC=NE￡)C+NC=18°+35°=53°.

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟

練應用等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,AB_LBC,點E在AB上，AD=],AE=2,BC=3,

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N4=/B=90°,根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AOE

sABEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到N3=N2,于是得到結論.

【解答】證明：,：AB±BC,

ze=90".

：AD//BC,

NA=NB=90°,

：AD=\,AE=2,BC=3,BE=\.5,

.2

,AD_AE

'BF^BC,

\&ADEs叢BEC,

/3=/2,

VZ1+Z3=9O"，

AZl+Z2=90°,

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定

和性質(zhì)是解題的關鍵.

6.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,A。平分NCA3,交BC于點D,CD=2,AC=2?.

(1)求NB的度數(shù);

【分析】(I)根據(jù)正切的概念求出NC4D,根據(jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理計算即

可;

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出48,根據(jù)勾股定理求出8c

【解答】解：(1):在RtZ\AC。中，ZC=90°,CD=2,AC=2^

??MO"詈嘉哼,

NCW=30°，

：A￡)平分NCAB,

.,.NC43=2/C4Z)=60°,

VZC=90°,

???N8=90°-60°=30°；

(2).在RtAABC中,ZC=90°,ZB=30",

AB=2,AC=A,\f^9

"BC=VAB2-AC2=6,

【點評】本題考查的是勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別

是4,b,斜邊長為C,那么/+d=。2.

7.如圖，在四邊形ACBO中，ZC=90°,AC=3,BC=4,AO=12,80=13.連接A8,

求證：ADLAB.

【分析】利用勾股定理的逆定理證明即可.

【解答】證明：在RtaABC中，根據(jù)勾股定理，得A4nAd+BdusZ+dZuZS.

在△ABZ）中，；4片+4￡>2=25+122=169,fiD2=132=169,

.".AEP+AD^^BD2.

.二△AB力為直角三角形，且/54。=90°,

：.ADLAB.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識,

屬于中考?？碱}型.

8.如圖，四邊形A8CZ）中，ZB=90°,NACB=30°,AB=2,C￡）=3,AO=5.

（1）求證：ACLCD；

（2）求四邊形A8CD的面積.

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到4C=2AB=4,根據(jù)跟勾股定理的逆定理即可得到

結論；

（2）根據(jù)勾股定理得到BC=^42_22=273-根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論.

【解答】（1）證明：在RtZVIBC中，NB=90°,ZACB=30°,A8=2,

.\AC=2AB=4f

在△ACO中，AC=4,CD=3,AD=5,

V42+32=52,BPAC^+CI^^AD2,

：.ZACD=90°,

J.ACLCD-,

(2)解：在RtZkABC中，ZB=90°,AB=2,AC=4,

???尤=值7=2e，

Rt/XABC的面積為/b=2?,

又?.?氐△48的面積為LAC?C￡>=LX4X3=6,

22

四邊形ABC￡)的面積為：2蟲+6.

【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面積，熟練掌握勾股定理的逆

定理是解題的關鍵.

9.題目：如圖，在△ABC中，點。是BC邊上一點，連結AO,若AB=10,AC=\1,BD

=6,AD=S,解答下列問題：

(1)求乙的度數(shù)；

(2)求BC的長.

小強做第(1)題的步驟如下：???AB2=BQ2+AQ2

.?.△AB。是直角三角形，ZA￡)B=90°.

(1)小強解答第(1)題的過程是否完整，如果不完整，請寫出第(1)題完整的解答過程

(2)完成第(2)題.

【分析】(1)根據(jù)AB=10,BD=6,AD=8,利用勾股定理的逆定理求證△48。是直角三

角形；

(2)利用勾股定理求出C。的長，即可得出答案.

【解答】解：(1)不完整，

BD2+AD2=62+82=102=AB2,

△ABQ是直角三角形，

，乙4。8=90°；

(2)在RtAAC。中，CDf小m2=15,

：.BC=BD+CD=6+15=21,

答：8c的長是21.

【點評】此題主要考查學生對勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此題的關鍵

是利用勾股定理的逆定理求證△AB。是直角三角形.

10.如圖，已知RtZXABC中，ZC=90°,NA=60°,AC=3cm,AB=6,",點尸在線段

AC上以lc〃?/s的速度由點C向點A運動，同時，點。在線段4B上以2““/s的速度由點

A向點B運動，設運動時間為f仆).

(1)當f=l時，判斷△APQ的形狀，并說明理由；

【分析】(1)分別求出AP、AQ的長，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可；

(2)根據(jù)全等的條件和已知分別求出AP.CP、AQ、CQ的長，根據(jù)全等三角形的判定推

出即可；

【解答】解：(1)ZVIP。是等邊三角形，

理由是：；f=l,

：.AP=3-1X1=2,AQ=2X1=2,

：.AP=AQ,

VZA=60°,

???△AP。是等邊三角形；

(2)存在f,使△APQ和△CPQ全等.當f=1.5s時，△APQ和△CPQ全等.

理由如下：I?在RtZvlCB中，AB=(y,AC=3,

：.ZB=30°,ZA=60°,

當E.5,此時AP=PC時,

：.AP=CP=\.5cmf

AQ=3c〃?，

：.AQ=AC.

又???/A=60°,

，44?。是等邊三角形，

：.AQ=CQ,

在△AP。和△CP。中，

'AQ=CQ

<AP=CP，

PQ=PQ

A/XAPQ^ACPQCSSS）；

即存在時間r,使和△CP。全等，時間f=1.5；

【點評】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基

本知識，屬于中考?？碱}型.

11.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,△A8C的三個頂點都在格點上

（1）直接寫出邊48、AC、BC的長.

【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結論；

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結論.

【解答】解：（1）AB=yj]2+22=AC=yj22+]2=BC=yj]2+32=/10；

（2）△ABC是等腰宜角三角形,

'：AB\AC2^5+5^10^BC2,

'：AB=AC,

.二△ABC是等腰直角三角形.

【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

12.如圖，《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問

折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風將竹子折斷，其竹稍

恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，求折斷處離地面的高度.

【分析】竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）

尺，利用勾股定理解題即可.

【解答】解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺,

根據(jù)勾股定理得：x+（T=（10-x）2.

解得：x=3.2

答：折斷處離地面的高度是3.2尺.

【點評】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運

用勾股定理解題.

13.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,AABC的三個頂點分別在正方形

網(wǎng)格的格點上.

（1）計算邊AB、BC、AC的長.

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由.

【分析】（1）先利用勾股定理分別計算三邊的長即可;

（2）利用勾股定理的逆定理得到三角形為直角三角形，且A8=BC,所以△ABC是等腰直

角三角形.

【解答】解：（1）???每個小正方形的邊長都是1,

'AB=q22+32=VT§,2^+AC=d]2+52=<y^；

（2）ZVIBC是等腰直角三角形，

理由是：'：AB2+BC2=}3+\3=26,

A（?=26,

：.AB1+BC2=AC2,

；AB=3C=后，

...△ABC是等腰直角三角形.

【點評】此題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.

14.如圖，數(shù)學活動課上，老師組織學生測量學校旗桿的高度，同學們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的

繩子拉直垂到了地面還多1米，同學們把繩子的末端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)繩子末端剛好接

觸地面，求旗桿的高度.（旗桿頂端滑輪上方的部分忽略不計）

A

【分析】因為旗桿、繩子、地面正好構成直角三角形，設旗桿的高度為x米，則繩子的長度

為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度.

【解答】解：設旗桿的高度AC為x米，則繩子AB的長度為（x+1）米，

在RtZXABC中，根據(jù)勾股定理可得：?+52=（x+1）2,

解得，x=12.

答：旗桿的高度為12米.

【點評】此題考查了勾股定理的應用，很簡單，只要熟知勾股定理即可解答.

15.已知AABC中，BC=m-n（機>〃>0）,AC=2-J-^,AB=m+n.

（1）求證：ZSABC是直角三角形；

（2）當/A=30°時，求皿，〃滿足的關系式.

【分析】（1）由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結論.

【解答】解：(1);BC=m-n(m>n>0),AC=2A/^,AB=m+n,

.'.AC1+CB1=(m-n)~+^tnn=m'+n'-2mn+4mn=m~+n2+2mn=(m+n)~=AB2.

：.ZC=90°.

△ABC是為直角三角形；

(2)VZA=30°,

,BC一nm=1

ABm+n2

??加=3〃.

【點評】題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長m4c滿足/+/=/,

那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵.

16.如圖，NAOB=90°,OA=9cm,OB3cm,一機器人在點B處看見一個小球從點A

出發(fā)沿著A。方向勻速滾向點。，機器人立即從點8出發(fā)，沿8c方向勻速前進攔截小球，

恰好在點C處截住了小球.如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，那么機器人

【分析】根據(jù)小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，運動時間相等得出BC=CA.設

4C為x,則。C=9-x,根據(jù)勾股定理即可得出結論.

【解答】解：??,小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，運動時間相等，

：.BC=CA.

設AC為x,則OC=9-x,

由勾股定理得：O/OC^BC2,

又?.3=9,OB=3,

A32+(9-x)2=/,

解方程得出x=5.

,機器人行走的路程BC是5cm.

【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的

結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準

確的示意圖.領會數(shù)形結合的思想的應用.

17.方格紙中小正方形的頂點叫格點.點A和點B是格點，位置如圖.

（1）在圖1中確定格點C使△A8C為直角三角形，畫出一個這樣的△ABC；

（2）在圖2中確定格點。使△AB。為等腰三角形，畫出一個這樣的△48。；

【分析】（1）A所在的水平線與8所在的豎直線的交點就是滿足條件的點；

（2）根據(jù)勾股定理可求得AB=5,則到A的距離是5的點就是所求；

（3）到A點的距離是5的格點有2個，同理到B距離是5的格點有2個，據(jù)此即可求解.

（3）在圖2中滿足題（2）條件的格點。有4個.

故答案是：4.

【點評】本題考查了等腰三角形，勾股定理，正確對等腰三角形的頂點討論是關鍵.

18.圖1是圍墻的一部分，上部分是由不銹鋼管焊成的等腰三角形柵欄如圖2,請你根據(jù)圖

2所標注的尺寸，求焊成一個等腰三角形柵欄外框8CZ）至少需要不銹鋼管多少米（焊接

部分忽略不計）.

1.6冽D

T

0.6冽

w

B

圖2

【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得。0=工C￡>=0.8〃2,再在RtZ\3QO中利用勾股定

2

理計算出8。的長，即可算出答案.

【解答】解：由題意得：BO±CD,

???△88是等腰三角形，

.?.CO=J-C￡）=0.8"7,

2

在RtABDO中，

BCT^DCT+BCT,

:.BD=d0.[2+0.$2=1（米），

：.BC=\米，

等腰三角形柵欄外框BCO至少需要不銹鋼管：1+1+1.6=3.6（米）.

B

圖2

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是利用勾股定理計算出8。的長.

19.某中學有一塊四邊形的空地4BCO,如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量N

8=90°,AB=3m,BC=4m,C￡>=12〃]，A￡>=13〃].若每平方米草皮需要200元，問學

校需要投入多少資金買草皮？

【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出N4C￡>=90°,再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：連接AC

VZB=90°,AB=3w,BC=4，〃，BC=\2m,

AC2=/lB2+AD2=32+42=25,AC=5m,

：.AC^+CD2=25+144=169=132

又?；AQ2=132,

.,.Ad+CD^CZ)2

ZACD=9Q°,

...△AC。是直角三角形，

四邊形ABC。的面積=6+30=36（渥），

學校要投入資金為：200X36=7200（元）；

答：學校需要投入7200元買草皮.

【點評】此題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正確得出△AC。是直角三角形

是解題關鍵.

20.如圖1,Rt/\ABCAC±CB,AC=15,AB=25,點。為斜邊上動點.

（1）如圖2,過點。作。E_LAB交CB于點E,連接AE,當AE平分/C48時，求CE；

（2）如圖3,在點。的運動過程中，連接CD,若△ACD為等腰三角形，求AO.

【分析】（1）^/\ACE^/\AED（A4S）,推出CE=DE,AC=AD=15,設CE=x,則BE

=20-x,80=25-15=10,在中根據(jù)勾股定理即可解決問題；

（2）分兩種情形分別求解即可解決問題；

【解答】解：（1）'：AC±CB,AC=15,AB=25

：.BC=20,

平分/C4B,

NEAC=ZEAD,

'：AC±CB,DEI.AB,

：.ZEDA=ZECA=1）0o,

"：AE=AE,

：./\ACE^/\AED(A4S),

：.CE=DE,AC=AD=\5,

設CE=x,則BE=20-x,BD=25-15=10

在RtABFD中

.,.7+102=(20-x)2,

??7.5,

：.CE=1.5.

(2)①當AO=AC時，△AC。為等腰三角形

VAC=15,

.??A￡)=AC=15.

②當時，△AC。為等腰三角形

,:CD=AD,

：.ZDCA=ZCAD9

VZCAB+ZB=90°,

NOCA+N3co=90°,

：.ZB=ZBCDf

:?BD=CD,

：.CD=BD=DA=12.5,

③當CO=AC時，△AC。為等腰三角形,

如圖1中，作CH_L84于點H,

圖1

則2?A8?C”=L?AC?BC,

22

VAC=15,BC=20,AB=25f

:?CH=\2,

在Rt/XAC”中，A“=JAC：2YH2=%

VCD=AC,CHLBA,

：.DH=HA=9,

：.AD=\S.

【點評】本題考查解直角三角形的應用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題

的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考常考題型.

21.如圖，在△A8C中，AO_L8C于點。，AB=10,AC=BD=8.求△ABC的面積.

【分析】根據(jù)垂直的定義得到/AOB=NADC=90°,根據(jù)勾股定理得到4￡>=伍匯于

=6,CD-^AC2_AD2=277,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論.

【解答】解：于點Q,

ZADB=ZADC=90°,

：AB=10,BD=8,

；.BC=BD+DC=8+2折,

.,.△ABC的面積=/8C?AO=*X(8+2V7)X6=24+6V7.

【點評】本題考查的是勾股定理，掌握直角三角形的兩條直角邊長分別是。，從斜邊長為c,

那么/+匕2=。2是解題的關鍵.

22.如圖，△ABC中，NACB=90°,AB=\Ocm,BC=6cnt,若點P從點A出發(fā)，以每秒

\cm的速度沿折線4-C-B-A運動，設運動時間為t秒(r>0).

(1)當點P在AC上，且滿足%=PB時，求出此時，的值；

(2)當點P在A8上，求出r為何值時，△BCP為等腰三角形.

A.

R

【分析】(1)設存在點P,使得必=P8,此時B4=PB=4f,PC=8-4f,根據(jù)勾股定理列

方程即可得到f的值；

(2)若點尸在AB上，根據(jù)P移動的路程易得t的值；當PC=PB時，△BCP為等腰三角

形，作于。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BO=C￡),則可判斷PC為△ABC的中

位線，貝UAP=LAB=5,易得，的值；當BP=BC=6時，△BCP為等腰三角形，易得/

2

的值.

【解答】解：(1):△ABC中，ZACB=90°,AB=Wcm,BC=6cm,

：.由勾股定理得AC=J1Q2_62=8,

如圖，連接BP,

當必=PB時，PA=PB=4t,PC=8-4/,

在RtZXPCB中，PC1+CB2=PB2,

即(8-4f)2+62=(4z)2,

解得：f=空，

16

.?.當t=絲時，PA=PB-.

16

(3)①如圖3,當BP=BC=6時，△BCP為等腰三角形，

AC+CB+BP=8+6+6=20,

.1=20+4=5(s)；

②如圖4,若點P在AB上，CP=CB=6,作CD_LAB于O,則根據(jù)面積法求得CD=4.8,

在RtZ\8C￡)中，由勾股定理得，BD=3.6,

28=280=7.2,

CA+CB+BP=8+6+72=21.2,

此時-21.2+4=5.3(s)；

③如圖5,當PC=PB時，△8CP為等腰三角形，作PD_LBC于。，則。為8C的中點，

為△A8C的中位線，

：.AP=BP=—AB^5,

2

，AC+CB+BP=8+6+5=19,

.1=19+4=2(s)；

4

綜上所述，5.3s或5s或業(yè)■5時，ABCP為等腰三角形.

4

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、熟練掌握等腰

三角形的判定與性質(zhì)，進行分類討論是解決問題的關鍵.解題時需要作輔助線構造直角

三角形以及等腰三角形.

23.如圖所示，一棵大樹高8米，一場大風過后，大樹在離地面3米處折斷倒下，樹的頂端

落在地上，則此時樹的頂端離樹的底部有多少米.

【分析】設此時樹的頂端離樹的底部有x米，再由勾股定理即可得出結論.

222

【解答】解：設此時樹的頂端離樹的底部有x米，由勾股定理得：/=(8-3)-3=4

解得：x=4,x=-4(舍去)

答：此時樹的頂端離樹的底部有4米.

【點評】此題是勾股定理的應用，解本題的關鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決.

24.如圖，在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=3,動點尸從點C出發(fā)，沿著CB運動,速

度為每秒1個單位，到達點8時運動停止，設運動時間為/秒，請解答下列問題:

（1）求BC上的高；

（2）當t為何值時，△ACP為等腰三角形？

【分析】（1）直接利用勾股定的逆定理得出aABC是直角三角形，進而利用三角形面積得

出答案；

（2）分別利用①當AP=AC時，②當AC=C"尸'時，③當AP"=CP"時，結合銳角三角

函數(shù)關系得出答案.

【解答】解：（1）V32+42=52,

，AABC是直角三角形，

設8C上的高為x,則LxABX4C=LxBCXx,

22

.?.LX3X4=LX5X,

22

解得：x=2.4,

故BC邊上高為2.4；

(2)①當4P=AC時，過A作則CD=OP,

?.CD=ACcosC=3義^=旦,

55

.,.CP=2C￡>=—,

5

的速度為每秒1個單位，

.,-18

??f-------;

5

②當AC=CP時，

VAC=3,

:?CP'=3,

：.t=3；

③當AP"=CP"時，

過P"作P"E1AC,

：AC=3,AP"=CP",

：.EC=\.5,

??Qp"—EC一1?5_

cosC_3_

5

則t=2.5.

綜上所述：/=四5或3s或2.5s.

5

【點評】此題主要考查了勾股定定理以及逆定理、銳角三角函數(shù)關系，正確利用分類討論求

解是解題關鍵.

25.(1)已知RtZ\ABC中，ZC=90°,若。=12,h=5,則c=13；

(2)已知RtZ\ABC