陜西省西安市閻良區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市閻良區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.現(xiàn)有一個(gè)容量為50的樣本，其數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表如下表所示：組號(hào)12345頻數(shù)811109則第4組的頻數(shù)和頻率分別是（）A.12，0.06 B.12，0.24 C.18，0.09 D.18，0.36〖答案〗B〖解析〗第4組的頻數(shù)，頻率為.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則.故選：B.3.“五月榴花妖艷烘，綠楊帶雨垂垂重，五色新絲纏角粽”，這是歐陽修在《漁家傲·五月榴花妖艷烘》中描寫端午節(jié)的詩句.某商家為迎接端午節(jié)，計(jì)劃將粽子以“粽情粽意”禮盒形式進(jìn)行銷售，現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣從72個(gè)蛋糕肉粽、18個(gè)堿水粽、36個(gè)豆沙粽、54個(gè)蓮子粽中隨機(jī)抽取10個(gè)粽子放入一個(gè)禮盒中作為展開進(jìn)行試銷售，則該禮盒中蓮子粽的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.1 C.4 D.3〖答案〗D〖解析〗依題意得該禮盒中蓮子粽的個(gè)數(shù)為.故選：D.4.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示，軸，軸，，，則的原圖形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗法一：如圖所示，根據(jù)斜二測(cè)畫法可知，軸，且，原圖形為，其中，且，則的面積為.法二：直觀圖面積為，原圖的面積等于直觀圖面積的倍，所以原圖的面積為.故選：D.5.某飲料生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定幾率中獎(jiǎng)的新飲料．甲?乙兩名同學(xué)都購買了這種飲料，設(shè)事件為“甲?乙都中獎(jiǎng)”，則與互為對(duì)立事件的是（）A.甲、乙恰有一人中獎(jiǎng) B.甲、乙都沒中獎(jiǎng)C.甲、乙至少有一人中獎(jiǎng) D.甲、乙至多有一人中獎(jiǎng)〖答案〗D〖解析〗“甲、乙恰有一人中獎(jiǎng)”與互斥但不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；“甲、乙都沒中獎(jiǎng)”與互斥但不對(duì)立，故B錯(cuò)誤；“甲、乙至少有一人中獎(jiǎng)”與不互斥，故C錯(cuò)誤；“甲、乙至多有一人中獎(jiǎng)”與互斥且對(duì)立，故D正確．故選：D.6.已知非零向量滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?故選：C.7.如圖，在四面體中，點(diǎn)在平面上射影是，，若，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的射影是，所以平面，則，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以，所以與所成的角即或其補(bǔ)角，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，異面直線所成角的范圍是,故異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.8.武當(dāng)山，位于湖北省西北部十堰市境內(nèi)，其自然風(fēng)光，以雄為主，兼有險(xiǎn)、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰猶如金鑄玉瑑的寶柱雄峙蒼穹，屹立于群峰之巔.環(huán)繞其周圍的群山，從四面八方向主峰傾斜，形成獨(dú)特的“七十二峰朝大頂，二十四澗水長流”的天然奇觀，被譽(yù)為“自古無雙勝境，天下第一仙山”.如圖，若點(diǎn)為主峰天柱峰的最高點(diǎn)，為觀測(cè)點(diǎn)，且在同一水平面上的投影分別為，，，由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為，米，由點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為且，則兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.684米 B.732米 C.746米 D.750米〖答案〗C〖解析〗如圖，過作交于，過作交于，如圖所示，因?yàn)椋?，又，則，，則，又，所以，由正弦定理，得，，即，又，所以，所以，則兩點(diǎn)到平面的高度差為米.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某學(xué)生的筆袋中共有6支不同的圓珠筆，其中3支是黑色圓珠筆，2支是紅色圓珠筆，1支是藍(lán)色圓珠筆，現(xiàn)從中任取2支，則下列事件中概率為的是（）A.2支都是黑色圓珠筆 B.1支是黑色圓珠筆，1支是藍(lán)色圓珠筆C.2支都是紅色圓珠筆 D.2支中恰有1支是黑色圓珠筆〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，，表示3支黑色圓珠筆，，表示2支紅色圓珠筆，表示1支藍(lán)色圓珠筆，從這6支不同的圓珠筆中任取2支，則樣本空間，共15個(gè)樣本點(diǎn)，可知2支都是黑色圓珠筆的概率為；1支是黑色圓珠筆，1支是藍(lán)色圓珠筆的概率為；支都是紅色圓珠筆的概率為；2支中恰有1支是黑色圓珠筆的概率為.故選：AB.10.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的虛部為 B.C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，的虛部為，故A正確；，故B正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第三象限，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，故D正確.故選：ABD.11.某校為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)，對(duì)2022屆初三年級(jí)所有學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖1所示.該校2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆初三學(xué)生人數(shù)上升了,屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)分布條形圖如圖2所示，則（）A.該校2022屆初三年級(jí)學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占B.該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)同個(gè)數(shù)段的學(xué)生人數(shù)的2.2倍還多C.該校2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)和2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)的中位數(shù)均在內(nèi)D.相比2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)占比增加〖答案〗ABD〖解析〗2022屆初三年級(jí)學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)占比為，A正確；由于2023屆初三學(xué)生人數(shù)較2022屆上升了，假設(shè)2022屆初三學(xué)生人數(shù)為，則2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘的個(gè)數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，因?yàn)椋蔅正確；2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，2023屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)，故C錯(cuò)誤；2022屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)占，屆初三學(xué)生仰臥起坐一分鐘個(gè)數(shù)不小于50的人數(shù)占，因?yàn)?，故D正確.故選：ABD.12.上海世博會(huì)中國國家館以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的六面體，設(shè)矩形和的中心分別為和，若平面，，，，，，，，，，則（）A.這個(gè)六面體是棱臺(tái)B.該六面體的外接球體積是C.直線與異面D.二面角的余弦值是〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，所以四條側(cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，所以這個(gè)六面體不是棱臺(tái)，所以錯(cuò)誤；由題意可知，這個(gè)六面體的外接球球心在直線上，且，因?yàn)椋獾?，所以六面體的外接球半徑，所以這個(gè)六面體的外接球體積是，B正確；和顯然不相交，因?yàn)?，所以與不平行，所以和不在同一平面內(nèi)，C正確；取和的中點(diǎn)分別為，，連接，則即所求二面角的平面角，，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.13.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則_________.〖答案〗〖解析〗由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得，解得.故〖答案〗為：.14.已知正四棱臺(tái)的高為6，且，則該四棱臺(tái)的體積為___________.〖答案〗56〖解析〗根據(jù)棱臺(tái)的體積公式可得.故〖答案〗為：.15.慢走是一種簡單又優(yōu)良的鍛煉方式，它不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.小南計(jì)劃近6個(gè)月的月慢走里程（單位：公里）按從小到大排列依次為11，12，，20，27，且這6個(gè)月的月慢走里程的中位數(shù)為16，若要使這6個(gè)月的月慢走里程的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則_______________.〖答案〗〖解析〗由題意，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，可得，所以，所以這6個(gè)月的月慢走里程的平均數(shù)為，要使這6個(gè)月的月慢走里程的標(biāo)準(zhǔn)差最小，需要最小，又由，故當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差最小時(shí)，.故〖答案〗為：.16.已知為的外心，且.若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)闉榈耐庑?，所以為直角三角形且，為斜邊的中點(diǎn)，過作的垂線，垂足為.因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以在上的投影向量為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即的取值范圍?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量．（1）若，求λ的值；（2）若，且，求．解：（1）由向量，因?yàn)?，所以，解得．?）由題意得，向量，，由，可得，則，即，解得或，因?yàn)?，所以，可得，，所以?8.在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，.（1）求角的大?。唬?）若，求.解：（1）因?yàn)椋?，由正弦定理可得：，根?jù)余弦定理可得，因?yàn)椋?（2）由余弦定理知，即，化簡得，解得或（舍去），由正弦定理知，則.19.為提倡節(jié)約用水，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)家庭用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過簡單隨機(jī)抽樣抽取2023年500個(gè)家庭的月均用水量（單位：），將數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，已知這500個(gè)家庭的月均用水量的第27百分位數(shù)為6.9.（1）在這500個(gè)家庭中月均用水量在內(nèi)的家庭有多少戶？（2）求的值；（3）估計(jì)這500個(gè)家庭的月均用水量的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.解：（1）因?yàn)樵戮盟吭趦?nèi)的家庭占，所以在這500個(gè)家庭中月均用水量在內(nèi)的家庭有戶.（2）由頻率分布直方圖，可得，則，因?yàn)檫@500個(gè)家庭的月均用水量的第27百分位數(shù)為6.9，所以在，則，解得.（3）估計(jì)這500個(gè)家庭月均用水量的平均值為，20.如圖，在幾何體中，已知四邊形是正方形，，分別為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn).（1）證明：//平面；（2）證明：平面//平面.解：（1）如圖，連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，于是，，即四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且，則四邊形都為平行邊形，有，于是四邊形為平行四邊形，即有，而為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，則，因此，又平面，平面，則平面，顯然，又平面，平面，則平面，而平面，所以平面平面.21.已知1個(gè)不秀明的袋子中裝有6個(gè)白球和4個(gè)黃球（這些球除顏色外無其他差異）.甲從袋中摸出1球，若摸出的是白球，則除將摸出的白球放回袋子中外，再將袋子中的1個(gè)黃球拿出，放入1個(gè)白球；若摸出的是黃球，則除將摸出的黃球放回袋子中外，再將袋子中的1個(gè)白球拿出，放入1個(gè)黃球.再充分?jǐn)嚢杈鶆蚝螅M(jìn)行第二次摸球，依此類推，直到袋中全部是同一種顏色的球，已知甲進(jìn)行了4次摸球.（1）求袋子中球的顏色只有一種的概率；（2）求袋子中白球個(gè)數(shù)為4的概率.解：（1）分別記第次摸到白球和黃球?yàn)槭录?，事件相互?dú)立，記“4次摸球后，袋子中球的顏色只有一種”為事件，則.（2）記“袋子中白球的個(gè)數(shù)為4”為事件，，故袋子中白球個(gè)數(shù)為4的概率為.22.如圖，在正三棱柱中，