浙江省寧波市慈溪市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市慈溪市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知復(fù)數(shù)z滿（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.2.已知向量，，點，則點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)點，又因為，，所以，即，所以，解得所以點的坐標(biāo)為.故選：C.3.據(jù)慈溪市氣象局統(tǒng)計，年我市每月平均最高氣溫（單位：攝氏度）分別為、、、、、、、、、、、，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗將這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、、、、、、、、，因為，因此，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故選：D.4.據(jù)長期觀察，某學(xué)校周邊早上6時到晚上18時之間的車流量y（單位：量）與時間t（單位：）滿足如下函數(shù)關(guān)系式：（為常數(shù)，）.已知早上8：30（即）時的車流量為500量，則下午15：30（即）時的車流量約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.441量 B.159量 C.473量 D.127量〖答案〗A〖解析〗由題意可得，可得，解得，所以，當(dāng)時，（量）.故選：A.5.如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角（）的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量，則稱有序?qū)崝?shù)對為向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，已知在該坐標(biāo)系下，向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得向量，，，因為，所以，所以.故選：A.6.已知某圓錐的底面積為，且它的外接球的體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.或C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗設(shè)該圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，圓錐的外接球的半徑為R，，；，，設(shè)圓錐底面圓心為，外接球球心為，如圖所示，則有，即，得，解得或，當(dāng)時，，此時圓錐的側(cè)面積為；當(dāng)時，，此時圓錐側(cè)面積為.故選：C.7.從2023年6月開始，浙江省高考數(shù)學(xué)使用新高考全國數(shù)學(xué)I卷，與之前浙江高考數(shù)學(xué)卷相比最大的變化是出現(xiàn)了多選題.多選題規(guī)定：在每題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對且沒有選錯的得2分.若某題多選題正確〖答案〗是BCD，某同學(xué)不會做該題的情況下打算隨機(jī)選1個到3個選項作為〖答案〗，每種〖答案〗都等可能（例如，選A，AB，ABC是等可能的），則該題得2分的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗隨機(jī)地填涂了1個或2個或3個選項，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14種涂法，

得2分的涂法為BC，BD，CD，B，C，D，共6種，

故能得2分的概率為．

故選：B．8.在四面體中，已知二面角為直二面角，，，，設(shè).若滿足條件的四面體有兩個，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗取中點為，連接，因為，，為中點，所以，且，因為平面，又二面角直二面角，所以平面，又平面，所以，在中，，由余弦定理得：，又，所以，即，設(shè)，即，滿足條件的四面體有兩個，所以有兩個正根，所以，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.如圖，在等邊正三棱柱中（注：側(cè)棱長和底面邊長相等的正三棱柱叫做等邊正三棱柱），，已知點E，F(xiàn)分別在線段和上，且滿足，若過，，三點的平面把等邊正三棱柱分成上下兩部分，則（）A.上半部分是四棱錐 B.下半部分是三棱柱C.上半部分的體積是 D.下半部分的體積是〖答案〗AD〖解析〗連接，如圖，對于A，以為頂點，面為底面，則上半部分是四棱錐，故A正確；對于B，因為下半部分的兩個底面并不平行，所以下半部分不可能是三棱柱，故B錯誤；對于C，記的中點為，連接，因為在等邊正三棱柱中，，所以是等邊三角形，所以，，，易知面，面，所以，又面，所以面，而，則，易知，，所以梯形的面積為，故，故C錯誤；對于D，易得，所以，故D正確.故選：AD.10.已知復(fù)數(shù)，設(shè)，當(dāng)取大于的一組實數(shù)、、、、時、所得的值依次為另一組實數(shù)、、、、，則（）A.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同 B.兩組數(shù)據(jù)的極差相同C.兩組數(shù)據(jù)的方差相同 D.兩組數(shù)據(jù)的均值相同〖答案〗BC〖解析〗因為，則，則，所以，，不妨設(shè)，則，對于A選項，值的中位數(shù)為，值的中位數(shù)為，且，A錯；對于B選項，值的極差為，值的極差為，且，故兩組數(shù)據(jù)的極差相同，B對；對于C選項，記，，值的方差為，值的方差為，故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，C對；對于D選項，由C選項可知，，D錯.故選：BC.11.如圖，在正方體中，點Q在線段上運動（包括端點），則（）A.直線與直線互相垂直B.直線與直線是異面直線C.存在點Q使得直線與直線所成的角為45°D.當(dāng)Q是線段的中點時，二面角的平面角的余弦值為〖答案〗ACD〖解析〗由面，面，則，又，，面，則面，由面，則，同理可證，由，面，故面，又面，則，且它們可能相交，A對，B錯；由正方體性質(zhì)易知：為等邊三角形，而Q在線段上運動（包括端點），所以直線與直線所成角的范圍為到之間（含端點值），又，所以存在點Q使得直線與直線所成的角為45°，C對；令正方體棱長為2，若Q與中點重合，分別為，連接，顯然，則，，故，，所以，，面，則面，面，故，，故為二面角的平面角，且，面面，面面，，面，所以面，面，則，故，銳二面角的余弦值為，D對.故選：ACD.12.如圖，在四邊形，點E、F、M、N分別是線段AD、BC、AB、CD中點，則（）A.B.C.當(dāng)點G滿足時，點G必在線段BD上D.當(dāng)點P在直線BD上運動，且當(dāng)最小時，必有〖答案〗ABC〖解析〗對于A選項，，，所以，同理，以上兩式相加得，所以A正確；對于B選項，連接，點E、M分別是線段AD、AB的中點，所以，同理，所以，則四邊形是平行四邊形，設(shè)與交于點，則為的中點，所以，，所以，所以B正確；對于C選項，因為，又，所以，所以，整理得，且，所以點在線段上，所以C正確；對于D選項，的中點為，因為，又不變，所以最小時取得最小值，當(dāng)時，最小，此時，即，所以D不正確.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.據(jù)浙江省新高考規(guī)則，每名同學(xué)在高一學(xué)期結(jié)束后，需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學(xué)已經(jīng)選擇了物理、化學(xué)兩門學(xué)科，還需要從生物、技術(shù)這兩門理科學(xué)科和政治、歷史、地理這三門文科學(xué)科共五門學(xué)科中再選擇一門，設(shè)事件“選擇生物學(xué)科”，“選擇一門理科學(xué)科”，“選擇政治學(xué)科”，“選擇一門文科學(xué)科”，現(xiàn)給出以下四個結(jié)論：①和是互斥事件但不是對立事件；②和是互斥事件也是對立事件；③；④.其中，正確結(jié)論的序號是______.（請把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都寫上）〖答案〗②④〖解析〗事件“選擇一門文科學(xué)科”，包含“選擇政治學(xué)科”，“選擇歷史學(xué)科”，“選擇地理學(xué)科”，所以事件“選擇政治學(xué)科”，包含于事件，故事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故①不正確；事件“選擇一門理科學(xué)科”，與事件“選擇一門文科學(xué)科”，不能同時發(fā)生，且必有一個事件發(fā)生，故和是互斥事件也是對立事件，故②正確；由題意可知，所以，故③不正確；事件“選擇生物學(xué)科”，與事件“選擇一門文科學(xué)科”，不能同時發(fā)生，故和是互斥事件，所以，故④正確.故〖答案〗為：②④.14.已知向量在向量上的投影向量為，則向量______.（寫出滿足條件的一個即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗向量在向量上的投影向量為，所以，則向量（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.若虛數(shù)是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個根，則的值等于______.〖答案〗〖解析〗因為虛數(shù)是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個根，所以也是實系數(shù)方程的一個虛數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，即；，所以.故〖答案〗為：.16.在三棱錐中，已知，，若點是線段延長線上的一動點，則直線與平面所成的角的正弦值的最大值為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)是直線與平面所成的角，設(shè)是平面與平面所成夾角，取中點，因為，所以，因為平面，所以平面，因為，，所以，所以，，所以，設(shè)，則，所以，因為，所以，所以，又因為平面，所以由最大角定理可知，，于是，當(dāng)時取得“＝”，滿足條件.故〖答案〗為:.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.17.已知向量、滿足：，，.（1）求；（2）若向量與共線，求實數(shù)的值.解：（1）設(shè)向量、的夾角為，由可得，因為，，則，可得，所以，，又因為，則，故.（2）由（1）可知，、不共線，因為與共線，所以存在實數(shù)，使得，即，所以，，解得.18.第十九屆亞運會將于2023年9月23日至10月8在中國杭州舉辦，為了了解我市居民對杭州亞運會相關(guān)信息和知識的掌握情況，某學(xué)校組織學(xué)生開展社會實踐活動，采用問卷的形式隨機(jī)對我市100名居民進(jìn)行了調(diào)查.為了方便統(tǒng)計分析，調(diào)查問卷滿分20分，得分情況制成如下頻率分布直方圖.（1）求x的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名居民調(diào)查問卷中得分的（i）平均值（各組區(qū)間的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表）；（ii）中位數(shù)（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.解：（1），所以.（2）（i）.（ii）因為，，所以中位數(shù)在8和12之間，設(shè)中位數(shù)是，所以，可得.19.如圖，在塹堵中（注：塹堵是一長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜解所得的幾何體，即兩底面為直角三角形的直三棱柱，最早的文字記載見于《九章算術(shù)》商功章），已知平面，，，點、分別是線段、的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.解：（1）證明：連接，因為且，故四邊形為平行四邊形，因為為的中點，則為的中點，又因為為的中點，所以，，因為平面，平面，所以平面.（2）取中點，由題意可知，所以，且，因為平面，平面，所以，又，所以，因為，、平面，所以平面，連接，則是直線與平面所成的角，由題意，同理可得，則，因為平面，平面，則，則，因為，，即直線與平面所成角的余弦值為.20.為了紀(jì)念中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之在圓周率上的貢獻(xiàn)，聯(lián)合國教科文組織第四十屆大會上把每年的3月14日定為“國際數(shù)學(xué)日”.2023年3月14日，某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，其中一項活動是數(shù)獨比賽（注：數(shù)獨是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，又稱九宮格）.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)入了最后決賽，進(jìn)行數(shù)獨王的爭奪.決賽規(guī)則如下：進(jìn)行兩輪數(shù)獨比賽，每人每輪比賽在規(guī)定時間內(nèi)做對得1分，沒做對得0分，兩輪結(jié)束總得分高的為數(shù)獨王，得分相同則進(jìn)行加賽.根據(jù)以往成績分析，已知甲每輪做對的概率為0.8，乙每輪做對的概率為0.75，且每輪比賽中甲、乙是否做對互不影響，各輪比賽甲、乙是否做對也互不影響.（1）求兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率；（2）求不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨王的概率.解：（1）設(shè)“甲第i輪做對”，設(shè)“乙第i輪做對”，設(shè)“兩輪比賽甲得i分”，設(shè)“兩輪比賽乙得i分”．.所以兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率為.（2）設(shè)“不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨王”.，，，，所以不進(jìn)行加賽甲就獲得數(shù)獨王的概率為.21.在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并求解（1）、（2）的〖答案〗.問題：在中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知.（1）求角C；（2）若點D滿足，且，求的面積的最大值.（注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.）解：（1）若選①：由正弦定理得，在中，，所以，即，所以，又，有，所以，由，得.若選②：由正弦定理得，在中，，所以即，所以，又，有，所以，由，得.（2）方法一：由，可得，兩邊平方可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，所以，所以.方法二：由角C余弦定理可得③，由結(jié)合余弦定理可得，整理得④，由③可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”，所以，所以即.22.如圖，在矩形ABCD中，，，M是線段AD上的一動點，將沿著BM折起，使點A到達(dá)點的位置，滿足點平面且點在平面內(nèi)的射影E落在線段BC上.（1）當(dāng)點M與端點D重合時，證明：平面；（2）求三棱錐的體積的最大值；（3）設(shè)直線CD與平面所成的角為，二面角的平面角為，求的最大值.解：（1）當(dāng)點M與端點D重合時，由可知，由題意