江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.計算的結(jié)果是（）A. B.1 C. D.i〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.已知甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，每天一人，則甲排在乙前面值班的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為甲、乙、丙三人在3天節(jié)日中值班，每人值班1天，所以3人值班的情況有:（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），共6種，其中甲排在乙前面值班有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），共3種，故甲排在乙前面值班的概率為.故選：C.3.設(shè)，是單位向量，若，則的值為（）A.1 B.0 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，是單位向量，且，所以，，所以.故選：A.4.為激發(fā)中學(xué)生對天文學(xué)的興趣，某校舉辦了“2022～2023學(xué)年中學(xué)生天文知識競賽”，并隨機抽取了200名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）A.直方圖中的值為0.035B.估計全校學(xué)生的平均成績不低于80分C.估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)約為60分D.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間的學(xué)生數(shù)為10〖答案〗B〖解析〗由頻率分布直方圖可得，故，故A錯誤；由頻率分布直方圖可得全校學(xué)生的平均成績估計為：，故B正確；前4組的頻率為，故全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的60百分位數(shù)大于，故C錯誤；區(qū)間對應(yīng)的頻率為，故對應(yīng)的人數(shù)為，故D錯誤.故選：B.5.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，整理可得，所以有，所以，所以，.故選：D.6.在長方體中，已知，，則和所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，在長方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，，所以和所成角等于與所成的角，在中，，，則，同理，，在中，由余弦定理得，，所以和所成角的余弦值為.故選：B.7.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)5的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.中位數(shù)為3，方差為1.2 D.平均數(shù)為2，方差為1.6〖答案〗D〖解析〗對于A項，若試驗結(jié)果為1，2，2，5，5，則滿足題意，故A項可以出現(xiàn)點數(shù)5；對于B項，若試驗結(jié)果為2，2，3，4，5，則滿足題意，故B項可以出現(xiàn)點數(shù)5；對于C項，若試驗結(jié)果為2，2，3，3，5，則平均數(shù)為，方差為滿足題意，故C項可以出現(xiàn)點數(shù)5；對于D項，若試驗結(jié)果中有5，則方差大于等于，故D項不可以出現(xiàn)點數(shù)5.故選：D.8.已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，正四面體，設(shè)點是底面的中心，點是的中點，連接，則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點在線段上，分別設(shè)為，則易知，，設(shè)球的半徑分別為，因為，根據(jù)重心定理可知，，，，，，，由可得，，即，解得，，所以，由可得，，即，解得，所以，球的體積為.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗拋擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)的等可能得結(jié)果為4個，其中包括“兩個正面”的結(jié)果為1個，所以；包括“兩個反面”的結(jié)果為1個，所以；包括“一正一反”的結(jié)果為2個，所以，所以，A項錯誤；B、C、D正確.故選：BCD.10.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A. B.C.向量與的夾角為 D.向量在上的投影向量為〖答案〗BD〖解析〗，所以，故A錯誤；，故B正確；，，，，故C錯誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD.11.在棱長為2的正方體中，為中點，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.三棱錐體積為C.線段最小值為 D.的取值范圍為〖答案〗BCD〖解析〗取、中點分別為、，連接、、、，，如下圖：為正方體，，，，，平面，平面，且，，平面平面，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），且平面，點在線段上（含端點），對于選項A：當(dāng)為時，，則與的夾角為，此時，則，則與不垂直，故A錯誤；對于選項B：為四邊形內(nèi)一點（含邊界），到平面的距離為2，三棱錐的體積為，故B正確；對于選項C：點在線段上（含端點），當(dāng)時，線段最小，，，在邊上的高為，則，則當(dāng)時，即，故C正確；對于選項D：為正方體，平面，平面，，為直角三角形，且直角為，，點在線段上（含端點），則當(dāng)最大時，即點為點時，此時，此時最小，為，當(dāng)最小時，即，此時，此時最大，為，則的取值范圍為，故D正確.故選：BCD12.設(shè)點是的外心，且（，），則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若是正三角形，則D.若，，，則四邊形的面積是17〖答案〗ACD〖解析〗對選項A：因為，則，，三點共線，且點是的外心，所以，所以為中點，所以是以為直角頂點的直角三角形，故A正確；對選項B：因為，則，，三點共線，易知是以為直角頂點的直角三角形，且為的中點，則，，故B錯；對選項C：因為是正三角形，則也是的重心，故，則，故C對；對選項D：因為，故在外，又，所以，又，，則，故D對.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)，，若為實數(shù)，則m的值為______.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，因為為實數(shù)，所以，解得.故〖答案〗為：.14.在中，，，則的值為______.〖答案〗1〖解析〗.故〖答案〗為：1.15.如圖，用，，三種不同元件連接成系統(tǒng)S，每個元件是否正常工作不受其他元件的影響.當(dāng)元件正常工作且，中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)S正常工作.已知元件，，正常工作的概率分別為0.6，0.5，0.5，則系統(tǒng)S正常工作的概率為______.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，都不能正常工作的概率為，所以，元件，中至少有一個正常工作的概率為，所以，元件正常工作且，中至少有一個正常工作的概率為，即系統(tǒng)S正常工作的概率為.故〖答案〗為：.16.已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的大小為，則，兩點之間的距離為______.〖答案〗〖解析〗過分別作則二面角的大小為，，，則，即兩點間的距離為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，.已知.（1）求A；（2）若，求周長的最大值.解：（1）在中，由已知結(jié)合正弦定理角化邊可得，整理可得，所以，又，所以.（2）方法一：由（1）知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，整理可得，所以，故的周長的最大值為12.方法二：由（1）知，所以，，記的周長為，則，由，，得，所以，又，所以當(dāng)時，.18.甲、乙、丙三人獨立地破譯某個密碼，甲譯出密碼的概率為，乙譯出密碼的概率為，丙譯出密碼的概率為，求：（1）其中恰有一人破譯出密碼的概率；（2）密碼被破譯的概率.解：（1）記密碼被甲、乙、丙3人獨立地破譯分別為事件A、、，則，，，，，，記“恰有一人破譯出密碼”為事件，由已知可得，.（2）記“密碼被破譯出”為事件，因為，所以.19.如圖，為了測量河對岸，兩點之間的距離，在河岸這邊取點，，測得，，，，.設(shè)，，，在同一平面內(nèi)，試求，兩點之間的距離.（結(jié)果保留根號）解：（1）在中，，，則，又，由正弦定理，得，中，，，則，在中，由余弦定理，得，所以，答：，兩點之間的距離為.20.如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為6的正方形，平面與平面的交線為.（1）證明：；（2）若平面平面，中邊上的高，，求該幾何體的體積.解：（1）因為是正方形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（2）連接，，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，同理可得平面，又，所以平面，因此，，分別為四棱錐和三棱錐的高，從而.21.已知函數(shù)的最大值為1.（1）求常數(shù)m的值；（2）若，，求的值.解：（1），當(dāng)，即時，，所以.（2）由（1）知，，由得，，所以，又，所以，所以，所以，，所以.22.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，平面，是的中點.（1）證明：；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求側(cè)面與側(cè)面所成二面角的大小.解：（1）因為平面，平面，所以，又因為是正三角形，是的中點，所以，又，平面，平面，所以平面.因為平面，所以.（2）取的中點，連接，，因為是中