河南省名校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期5月高考模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省名校聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期5月高考模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由指數(shù)函數(shù)的值域可得，解不等式得，所以.故選：B．2.已知某學(xué)校高三年級甲、乙、丙三個班級人數(shù)分別為40，30，50，學(xué)校計劃采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法在三個班級中評選優(yōu)秀學(xué)生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為（）A16 B.30 C.24 D.18〖答案〗C〖解析〗甲、乙、丙三個班級人數(shù)比為，由分層隨機抽樣，三個班級優(yōu)秀學(xué)生名額分別為8，6，10，所以高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為人.故選：C3.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為底面半徑，所以底面周長，又圓錐母線長，所以圓錐側(cè)面積．故選：A．4.已知橢圓的右焦點為，短軸長為，點在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（）A.3 B.4 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗依題意，橢圓短軸長為，得，則，又的最大值是最小值的3倍，即，所以，所以，則其焦距為.故選：D5.設(shè)為數(shù)列的前項和，若，則（）A.4 B.8 C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時，，所以，整理得，所以.故選：B．6.若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，又，即，則，所以，故故選：D7.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為在上單調(diào)遞增，所以，又定義域上單調(diào)遞增，所以，而在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選:A8.已知為雙曲線的左焦點，為左支上的點，為右頂點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)的焦距為，則，由，可知，設(shè)的右焦點為，則，由余弦定理得，整理得，所以，離心率為，故A正確.故選：A．二、選擇題9.在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別為，，若，則可能是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，則，可知，即，若，則，整理得所以或，對比選項可知ACD正確，B錯誤.故選：ACD．10.已知為函數(shù)的極值點，則（）A.B.是偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ABC〖解析〗為函數(shù)的極值點，，由可得，A選項正確；由于，所以是偶函數(shù)，B選項正確；、，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項正確；由于的正負(fù)未知，所以在區(qū)間的單調(diào)性不確定，D選項錯誤，故選：ABC．11.已知圓臺的上下底面半徑分別為1，2，高為，為下底面圓的一條直徑，為上底面圓的一條弦，且，則（）A.圓臺的體積為B.圓臺的母線與下底面所成角為C.當(dāng)，，，不共面時，四面體的外接球的表面積為D.的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，圓臺體積為，A選項正確；對于B選項和C選項，先做出軸截面：根據(jù)幾何關(guān)系，可知圓臺的母線與下底面所成角為，B選項錯誤；對C選項，當(dāng)與異面時，外接球的軸截面大圓剛好是圓臺軸截面的外接圓，由幾何關(guān)系得出，即下底面圓心剛好為四面體的外接球球心，則外接球半徑為2，表面積為，C選項正確.對選項D，需建立空間直角坐標(biāo)系，由，可知，不妨設(shè)，，則，所以，所以，D選項正確.故選：ACD三、填空題12.的展開式中，的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）〖答案〗6〖解析〗，的展開式通項為，的展開式通項為，，令，得，所以的系數(shù)為．故〖答案〗為：613.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，若為中點，則______．〖答案〗〖解析〗由余弦定理，，將代入解得，因，所以，所以．故〖答案〗為：14.已知函數(shù)點，在曲線上（在第一象限），過，的切線相互平行，且分別交軸于，兩點，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗易知，設(shè)，則，設(shè)切線斜率為，則，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的最小值為．故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù)，且在處的切線方程是．（1）求實數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1）因為，所以，又在處的切線方程為，所以，，解得，．（2）由（1）可得定義域為，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則在處取得極小值，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因此極小值為，無極大值．16.甲、乙兩個班級之間組織乒乓球友誼賽，比賽規(guī)則如下：①兩個班級進(jìn)行3場單打比賽，每場單打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分；②若其中一隊累計分達(dá)到6分，則贏得比賽的最終勝利，比賽結(jié)束；③若單打比賽結(jié)束后還未能決出最終勝負(fù)，則進(jìn)行一場雙打比賽，雙打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分．已知每場單打比賽甲班獲勝的概率為，每場比賽無平局，不同場次比賽之間相互獨立．（1）求進(jìn)行雙打比賽的概率；（2）設(shè)隨機變量為比賽場次，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)進(jìn)行雙打比賽為事件A，甲班前3場獲勝2場為事件，乙班前3場獲勝2場為事件，所以，所以，所以．所以進(jìn)行雙打比賽的概率為；（2）的可能取值為3，4，，由（1）可知，，的分布列為：34，所以的數(shù)學(xué)期望為．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，且．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：由題意，則，因為，所以，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因為平面，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：如圖，以A為原點，分別為軸，軸正方向，在平面內(nèi)過點A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點（不位于軸左側(cè)）到軸的距離為．（1）求點的軌跡方程；（2）若圓與點的軌跡有且僅有一個公共點，求的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)取最大值，且時，過作圓的兩條切線，分別交軸于兩點，求面積的最小值．解：（1）設(shè)，則，所以，兩邊平方可得，整理得，所以點的軌跡方程C為；（2）依題意，聯(lián)立圓與，可得，解得或，由于僅有一個公共點，所以，解得，所以最大值為2；（3）不妨設(shè)，顯然，則直線，直線，依題意直線PA與圓相切，所以，整理可得，同理可得，顯然，所以a，b為關(guān)于的一元二次方程的兩根，所以，則，則面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最小值為32．19.已知為單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列，給定整數(shù)，若存在不全為0的，使得，則稱為階維表示數(shù)．（1）若，求的通項公式，判斷2024是否為3階3維表示數(shù)，并說明理由；（2）已知，是否存在，使得同時是0階維表示數(shù)，1階維表示數(shù)，…，階維表示數(shù)．若存在，求出；若不存在，請說明理由．解：（1）由于，因此的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是等差數(shù)列，且公差均為4，又因為，，