河南省登封市外國語高級中學2025屆高一下數(shù)學期末檢測試題含解析

河南省登封市外國語高級中學2025屆高一下數(shù)學期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓，圓，分別為圓上的點，為軸上的動點，則的最小值為()A． B． C． D．2．若，，表示三條不重合的直線，，表示兩個不同的平面，則下列命題中，正確的個數(shù)是（）①若，，則②，，，則③若，，則④若，，則A．0 B．1 C．2 D．33．某小組由名男生、名女生組成，現(xiàn)從中選出名分別擔任正、副組長，則正、副組長均由男生擔任的概率為（）A． B． C． D．4．“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例,為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為,則第八個單音的頻率為()A． B． C． D．5．用數(shù)學歸納法時，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A． B．C． D．6．數(shù)列中，，則數(shù)列的極限值（）A．等于0 B．等于1 C．等于0或1 D．不存在7．若直線平分圓的周長，則的值為（）A．-1 B．1 C．3 D．58．已知直線過點，且在縱坐標軸上的截距為橫坐標軸上的截距的兩倍，則直線的方程為（）A． B．C．或 D．或9．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．10．如圖，在平行六面體中，M，N分別是所在棱的中點，則MN與平面的位置關系是（）A．MN平面B．MN與平面相交C．MN平面D．無法確定MN與平面的位置關系二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．無限循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)為________12．已知三棱錐P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的體積為__.13．已知x、y、z∈R,且，則的最小值為.14．在平面直角坐標系中，在軸、軸正方向上的投影分別是、，則與同向的單位向量是__________．15．直線與圓的位置關系是______.16．已知遞增數(shù)列共有項，且各項均不為零，，如果從中任取兩項，當時，仍是數(shù)列中的項，則數(shù)列的各項和_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點.（1）求證：平面PCD；（2）求證：.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，若，求的值域.19．已知向量，，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求向量與的夾角.20．已知平面向量（1）若，求；（2）若，求與夾角的余弦值.21．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，、、分別是棱、、的中點，且平面．（1）求證：平面；（2）求證：平面．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

求出圓關于軸的對稱圓的圓心坐標A，以及半徑，然后求解圓A與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求得的最小值，得到答案．【詳解】如圖所示，圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為,，半徑為3，由圖象可知，當三點共線時，取得最小值，且的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑之和，即，故選D．【點睛】本題主要考查了圓的對稱圓的方程的求解，以及兩個圓的位置關系的應用，其中解答中合理利用兩個圓的位置關系是解答本題的關鍵，著重考查了數(shù)形結合法，以及推理與運算能力，屬于基礎題．2、B【解析】

①根據(jù)空間線線位置關系的定義判定；②根據(jù)面面平行的性質(zhì)判定；③根據(jù)空間線線垂直的定義判定；④根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定．【詳解】解：①若，，與的位置關系不定，故錯；②若，，，則或、異面，故錯；③若，，則或、異面，故錯；④若，，則，故正確．故選：．【點睛】本題考查了空間線面位置關系，考查了空間想象能力，屬于中檔題．3、B【解析】

根據(jù)古典概型的概率計算公式，先求出基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔任包含的基本事件總數(shù)，由此能求出正、副組長均由男生擔任的概率．【詳解】某小組由2名男生、2名女生組成，現(xiàn)從中選出2名分別擔任正、副組長，基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔任包含的基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔任的概率為．故選．【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法。4、B【解析】

根據(jù)等比數(shù)列通項公式，求得第八個單音的頻率.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列通項公式可知第八個單音的頻率為.故選：B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的通項公式，考查中國古代數(shù)學文化，屬于基礎題.5、C【解析】

分別求出n＝k時左端的表達式，和n＝k+1時左端的表達式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式．【詳解】當n＝k時，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當n＝k+1時，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C．【點睛】本題考查用數(shù)學歸納法證明等式，分別求出n＝k時左端的表達式和n＝k+1時左端的表達式，是解題的關鍵．6、B【解析】

根據(jù)題意得到：時，，再計算即可.【詳解】因為當時，.所以.故選：B【點睛】本題主要考查數(shù)列的極限，解題時要注意公式的選取和應用，屬于中檔題.7、D【解析】

求出圓的圓心坐標，由直線經(jīng)過圓心代入解得.【詳解】解：所以的圓心為因為直線平分圓的周長所以直線過圓心，即解得，故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，屬于基礎題．8、D【解析】

根據(jù)題意，分直線是否經(jīng)過原點2種情況討論，分別求出直線的方程，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線分2種情況討論：①當直線過原點時，又由直線經(jīng)過點，所求直線方程為，整理為，②當直線不過原點時，設直線的方程為，代入點的坐標得，解得，此時直線的方程為，整理為．故直線的方程為或.故選：D．【點睛】本題考查直線的截距式方程，注意分析直線的截距是否為0，屬于基礎題．9、B【解析】

先計算向量夾角，再利用投影定義計算即可.【詳解】由向量，，則，，向量在向量方向上的投影為.故選：B【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標表示以及向量數(shù)量積的幾何意義，屬于基礎題.10、C【解析】

取的中點，連結，可證明平面平面，由于平面，可知平面.【詳解】取的中點，連結，顯然，因為平面，平面，所以平面，平面，又，故平面平面，又因為平面，所以平面.故選C.【點睛】本題考查了直線與平面的位置關系，考查了線面平行、面面平行的證明，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用無窮等比數(shù)列求和的方法即可.【詳解】.故答案為：【點睛】本題主要考查了無窮等比數(shù)列的求和問題,屬于基礎題型.12、6【解析】

如圖所示,取PB的中點O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝12PB，OC＝12PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O為外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝2，PB＝6，∴外接球的半徑R＝∴V球＝43πR3＝4π3×(62)3＝6點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法:(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．13、【解析】試題分析：由柯西不等式，，因為.所以，當且僅當，即時取等號.所以的最小值為.考點：柯西不等式14、【解析】

根據(jù)題意得出，再利用單位向量的定義即可求解.【詳解】由在軸、軸正方向上的投影分別是、，可得，所以與同向的單位向量為，故答案為：【點睛】本題考查了向量的坐標表示以及單位向量的定義，屬于基礎題.15、相交【解析】

由直線系方程可得直線過定點，進而可得點在圓內(nèi)部，即可得到位置關系.【詳解】化直線方程為，令，解得，所以直線過定點，又圓的圓心坐標為，半徑，而，所以點在圓內(nèi)部，故直線與圓的位置關系是相交.故答案為：相交.【點睛】本題考查直線與圓位置關系的判斷，考查直線系方程的應用，屬于基礎題.16、【解析】

∵當時，仍是數(shù)列中的項，而數(shù)列是遞增數(shù)列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案為.點睛：本題主要考查了數(shù)列的求和，解題的關鍵是單調(diào)性的利用以及累加法的運用，有一定難度；根據(jù)題中條件從中任取兩項，當時，仍是數(shù)列中的項，結合遞增數(shù)列必有，，利用累加法可得結果.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解析】

（1）取的中點，證出，再利用線面平行的判定定理即可證出.（2）利用線面垂直的判定定理可證出平面，再根據(jù)線面垂直的定義即可證出.【詳解】如圖，取的中點，連接，E為PB中點，，且，又，，，,為平行四邊形，即，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）由平面ABCD，所以，又因為，，所以，，平面，又平面，.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，要證線面平行，需先證線線平行；要證異面直線垂直，可先證線面垂直，此題屬于基礎題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）將已知函數(shù)轉化為，結合周期的公式，即可求解；（2）利用三角函數(shù)的圖象變換，求得，再結合三角函數(shù)的性質(zhì)，即求解.【詳解】（1）因為，所以的最小正周期；（2）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象對應的解析式為，由知，，所以當即時，取得最小值；當即時，取得最大值1，因此的值域為.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，以及正項型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.19、（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐標表示可構造方程求得結果；（2）利用向量夾角公式可求得，進而根據(jù)向量夾角的范圍求得結果.【詳解】（1），解得：（2）又【點睛】本題考查平面向量共線的坐標表示、向量夾角的求解問題；考查學生對于平面向量坐標運算、數(shù)量積運算掌握的熟練程度，屬于基礎應用問題.20、（1）（2）【解析】

（1）由題可得，解出，，進而得出答案．（2）由題可得，，再由計算得出答案，【詳解】因為，所以，即解得所以（2）若，則所以，，，所以【點睛】本題主要考查的向量的模以及數(shù)量積，屬于簡單題．21、（1）見解析；（2）見解析