第10講 函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?2024-2025年新高一暑假自學課（學生版）

第10講函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值1.理解函數(shù)的單調(diào)性及其意義，明確增函數(shù)、減函數(shù)的圖象特征；2.能根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并能利用定義進行證明；3.理解函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義，會求一些簡單函數(shù)的最值.1函數(shù)單調(diào)性的概念(1)增函數(shù)和減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，區(qū)間D∈I:如果?x1,x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1如果?x1,x2∈D，當x1<x2時，都有fx1(2)單調(diào)性如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性．區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間．2單調(diào)性概念的拓展①若y=f(x)遞增，x2>x②若y=f(x)遞增，fx2≥f(y=f(x)遞減，有類似結(jié)論！3判斷函數(shù)單調(diào)性的方法①定義法②數(shù)形結(jié)合③性質(zhì)法增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；但增函數(shù)×增函數(shù)不一定是增函數(shù)，比如y=x，y=x-2均是增函數(shù)，而y=x(x-2)不是.④復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、(2)同增異減設(shè)函數(shù)u=g(x)(x∈A)的值域是M，函數(shù)y=f(u)(u∈M)若y=fu,u=g(x)在各自區(qū)間單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間若y=f(u),u=g(x)在各自區(qū)間單調(diào)性不同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間A上遞減.4函數(shù)的最值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)?x∈I，都有fx≤M；(2)?x那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.(最小值類似定義)

【題型一】函數(shù)單調(diào)性的理解相關(guān)知識點講解(1)增函數(shù)和減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，區(qū)間D∈I:如果?x1,x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1如果?x1,x2∈D，當x1<x2時，都有fx1(2)單調(diào)性如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性．區(qū)間D叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間．解釋1先從初中學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性去理解；【例1】說下函數(shù)y=x22x1,x2的三個特征一定要予以重視．函數(shù)單調(diào)性定義中的x1,x2有三個特征：一是任意性，即任意取【典題1】若函數(shù)fx在區(qū)間1,3和3,5上均為增函數(shù)，則函數(shù)fx在區(qū)間1,5上(

)A．一定是增函數(shù) B．沒有單調(diào)性C．不可能是減函數(shù) D．存在減區(qū)間【典題2】下列說法正確的是(

)A．若x1,x2∈I，當x1<B．函數(shù)fx=xC．函數(shù)fx=-D．函數(shù)fx=變式練習1.已知y=fx的圖象如圖所示，則該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(

A．[-1,3] B．[-1,2]和[4,5]C．[-1,2] D．-3,-1和2,42.已知函數(shù)fx的定義域為0,16，則“f13>f2”是“函數(shù)fx在區(qū)間0,16上單調(diào)遞增A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件3.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，那么(

)A．f(3)>f(2)>f(1) B．f(3)>f(1)>f(2)C．f(1)>f(2)>f(3) D．f(2)>f(3)>f(1)4.若函數(shù)fx是R上的嚴格減函數(shù)，則下列不等式一定成立的是(

)A．fa2>fC．fa2+1【題型二】利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性相關(guān)知識點講解定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的解題步驟(1)任取x1,x(2)作差fx(3)變形(通常是因式分解和配方)；(4)定號(即判斷差f(x1)(5)下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)．【典題1】已知函數(shù)fx=2(1)判斷函數(shù)fx(2)若f(2m-1)>f(1-m)，求實數(shù)m的取值范圍．變式練習1.已知函數(shù)fx=x(1)求函數(shù)fx(2)用定義證明函數(shù)fx在1，【題型三】求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間【典題1】函數(shù)f(x)=x-2x-1(A．在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增 B．在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減C．在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增 D．在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減【典題2】函數(shù)y=2--x2+4x的單調(diào)遞增區(qū)間是A．[0,4] B．(-∞,2] C．[0,2] D．[2,4]變式練習1.列函數(shù)中，在1,+∞上為增函數(shù)的是(

)A．y=x-22 B．y=x-1 C．y=2.函數(shù)gx=x?x-1+1A．-∞，12 B．12，13.函數(shù)y=2x+3x-2的單調(diào)區(qū)間是(A．-∞,+∞ B．-∞,0 C．-∞,2,2,+∞ D4.函數(shù)f(x)=x2-2x-3的單調(diào)遞增區(qū)間是A．(-∞,1] B．[3,+∞) C．(-∞,-1] D．[1,+∞)【題型四】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【典題1】函數(shù)fx=ax2-2a-1x+3在區(qū)間A．0,12 B．0,12 C．【典題2】若函數(shù)fx=x2+2ax+3,x≤1ax+1,x>1A．-3,-1 B．-C．-1,0 D．-3,0變式練習1.如果函數(shù)fx=ax2+2x-3在區(qū)間(-∞A．a(chǎn)>-14 BC．-14≤a<02.已知函數(shù)y=x2-ax+10在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是A．6,+∞ B．-∞,193 C3.已知函數(shù)fx=-x2-ax-5,x≤1axA．-∞,-2 B．-∞,0 C．【題型五】求函數(shù)的最值相關(guān)知識點講解一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)?x∈I，都有fx≤M；(2)?x那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.(最小值類似定義)簡單來說，最大值和最小值分別是函數(shù)圖像中最高點和最低點的函數(shù)值.【例1】下圖為函數(shù)y=f(x)，x[-4,7]【典題1】已知：f(x)=x-1-x，則(A．f(x)max=2，f(x)無最小值 B．f(x)minC．f(x)max=1,f(x【典題2】已知fx為二次函數(shù)，且f0=3(1)求fx(2)若x∈t,t+2，試求y=f變式練習1.若-6≤x≤3，則(3-x)(x+6)的最大值為(

)A．814 B．92 C．322.函數(shù)fx=2x-1x+1，x∈A．54 B．32 C．1 D3.函數(shù)y=x-2+2x-2的最小值為A．0 B．1 C．32 D．4.若函數(shù)fx的值域是12，3，則函數(shù)FA．12，3 B．[2，1035.已知函數(shù)fx滿足fx+2=(1)求fx(2)求a的值，使gx在區(qū)間-5,5上的最小值為-1【A組基礎(chǔ)題】1.已知函數(shù)f(x)=-xx+2x，則下列結(jié)論正確的是(A．遞增區(qū)間是(0,+∞) B．遞減區(qū)間是(-∞,-1)C．遞增區(qū)間是(-∞,-1) D．遞增區(qū)間是(-1,1)2.已知函數(shù)fx=x2-kx+1在2,5上具有單調(diào)性，則A．2,5 B．4,10C．-∞,4∪3.已知函數(shù)fx=4x22x2A．0,2 B．0,2 C．0,2 D．0,24.已知函數(shù)f(x)=x2-a,x≥00,x<0，則滿足f(a)>f-aA．18,+∞ B．18,15.函數(shù)fx=-22x+16.已知函數(shù)fx(1)試用單調(diào)性定義判斷fx在1,2(2)求函數(shù)fx在1,27.已知函數(shù)fx(1)若a=4，判斷fx在2,+(2)設(shè)函數(shù)gx=4x+3x+1，若對任意x1∈1,2，總有【B組提高題】1.設(shè)a＞0，b＞0，若a2+2a=b2A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．2a＞3b D．3a＞4b2.若函數(shù)f(x)=x2+2x+a