2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)16 特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精講）（解析版）7

考點(diǎn)16.特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精講）【命題趨勢(shì)】特殊的三角形重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形性質(zhì)與判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查，這部分知識(shí)需要學(xué)生扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)，并且會(huì)靈活運(yùn)用。在解答題中會(huì)出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定，這部分知識(shí)主要考查基礎(chǔ)?！局R(shí)清單】1：等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定（☆☆☆）1）等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。2）等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）。（2）等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”）。3）等腰三角形的判定：若某三角形有兩個(gè)角相等，那這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）。4）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形。5）等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形的三條邊相等；（2）三個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角都是60°；（3）等邊三角形（邊長(zhǎng)為a）的面積：。6）等邊三角形的判定：（1）三邊相等或三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。2：垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定（☆☆）1）垂直平分線(xiàn)的定理：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（或線(xiàn)段的中垂線(xiàn)）。2）垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。3）垂直平分線(xiàn)的判定：到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。3：勾股定理與逆定理及其應(yīng)用（☆☆）1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．2）勾股定理的逆定理：若三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．4：直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算（☆☆☆）1）直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．2）直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩個(gè)銳角互余；（2）直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3）直角三角形的判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；（3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）滿(mǎn)足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。4）直角三角形的面積公式：(其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長(zhǎng))?！疽族e(cuò)點(diǎn)歸納】1.等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒(méi)有明確是底還是腰，角沒(méi)有明是頂角還是底角，需要分類(lèi)討論。2.如果已知的兩邊沒(méi)有明確邊的類(lèi)型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類(lèi)討論，以免漏解?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定例1：（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷出的內(nèi)角是這個(gè)等腰三角形的頂角，再根據(jù)等腰三角形的定義求解即可得．【詳解】解：等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為，∴這個(gè)等腰三角形的底角是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形定義，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等．變式1.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點(diǎn)D在上，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)E，連接，則的度數(shù)是度．

【答案】65【分析】據(jù)題意可得，再根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等和三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴，∵，∴．故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．變式2.（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)D在邊上，連接，若為直角三角形，則的度數(shù)是．【答案】或【分析】由題意可求出，故可分類(lèi)討論①當(dāng)時(shí)和②當(dāng)時(shí)，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，，∴．∵為直角三角形，∴可分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，如圖1，

∴；②當(dāng)時(shí)，如圖2，綜上可知的度數(shù)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用等腰三角形的性質(zhì)和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解答．例2：（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于C，D兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作直線(xiàn)，交于點(diǎn)E，若，，則．

【答案】4【分析】利用圓的性質(zhì)得出垂直平分和，運(yùn)用勾股定理便可解決問(wèn)題.【詳解】解：根據(jù)題意可知，以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，∴垂直平分,即，∴，又∵在中，以A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于C，D兩點(diǎn)，其中，∴，在中，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和三角形的相關(guān)性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.變式1.（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）圖1為紅斑鐘螺，殼型為圓錐形．多分布在菲律賓、以及我國(guó)臺(tái)灣墾丁等區(qū)域．現(xiàn)有一個(gè)“鐘螺”小擺件，可近似看成圓錐形，圖2為其主視圖，其中，擺件的高度為．現(xiàn)要在上選取一個(gè)位置P安裝掛鉤，在該點(diǎn)與C之間布設(shè)導(dǎo)線(xiàn)，線(xiàn)路上安裝微型小彩燈，若掛鉤以及導(dǎo)線(xiàn)連接處等長(zhǎng)度損耗忽略不計(jì)，則最短線(xiàn)路，即的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，由題意可知，，，,由勾股定理得到，則，由得到，得到，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，則的最小值即為的長(zhǎng)，即的最小值為．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，

由題意可知，，，，∴，∴，∴，即，解得，∴，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，則的最小值即為的長(zhǎng)，即的最小值為．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、勾股定理、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三角形”．若等腰△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”，底邊BC的長(zhǎng)為3，則腰AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】6【分析】分類(lèi)討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3∴AB=AC當(dāng)AB=AC=2BC時(shí)，△ABC是“倍長(zhǎng)三角形”；當(dāng)BC=2AB=2AC時(shí)，AB+AC=BC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時(shí)A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；所以當(dāng)?shù)妊鰽BC是“倍長(zhǎng)三角形”，底邊BC的長(zhǎng)為3，則腰AB的長(zhǎng)為6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關(guān)系，涉及分類(lèi)討論思想，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．例3：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，分別以A、B為圓心，大于的長(zhǎng)度為半徑作弧，交點(diǎn)分別為M、N，連接交于點(diǎn)D，下列說(shuō)法一定正確的是（）

A．是直角三角形 B．是等腰三角形C．是等腰三角形 D．是等腰三角形【答案】C【分析】根據(jù)作圖可知：點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意，得：點(diǎn)在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上，∴，∴是等腰三角形；故選項(xiàng)C一定正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查中垂線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定．熟練掌握中垂線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等，是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·廣東湛江·三模）如圖，在中，，，，和的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則的周長(zhǎng)為(

)A．9 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】本題考查角平分線(xiàn)的定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等角對(duì)等邊；根據(jù)角平分線(xiàn)的定義與平行線(xiàn)的性質(zhì)可得，得出，同理可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式，即可求解．【詳解】解：是的平分線(xiàn)，，，，同理可得，的周長(zhǎng)即為．故選：C．變式2．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，滿(mǎn)足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有0個(gè)；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè)．故共有3個(gè)點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫(huà)出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．例4：（2023·湖北荊門(mén)·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的中線(xiàn)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，連接．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】利用三線(xiàn)合一和等腰三角形的性質(zhì)，證出，再利用等邊對(duì)等角即可．【詳解】證明：為等邊的中線(xiàn)，，

，，【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，理解記憶相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)求解，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得答案．【詳解】解：∵是等邊的邊上的高，∴，∵，∴，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·安徽·中考真題）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC的中心，點(diǎn)P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線(xiàn)段OP長(zhǎng)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得△ABC中AB邊上的高和△PAB中AB邊上的高的值，當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，OP取得最小值，OP=CP-OC，過(guò)O作OE⊥BC，求得OC=，則可求解．【詳解】解：如圖，，，∴=====，∴，設(shè)△ABC中AB邊上的高為，△PAB中AB邊上的高為，則，，∴，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴，，∴點(diǎn)P在平行于AB，且到AB的距離等于的直線(xiàn)上，∴當(dāng)點(diǎn)P在CO的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，OP取得最小值，過(guò)O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等邊△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CP-OC=．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，弄清題意，找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．例5：（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以的速度沿向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)Q，以為邊作等邊三角形，使點(diǎn)A，D在異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng)s．

【答案】1【分析】當(dāng)點(diǎn)D落在上時(shí)，如圖，，根據(jù)等邊三角形，是等邊三角形，證明，進(jìn)而可得x的值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，由題意得，，

∵，∴，∵和是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P為等邊三角形的重心，D為一邊上的中點(diǎn)，如果這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，那么．【答案】【分析】本題主要考查了重心的概念，等邊三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)重心的概念得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出即可得到答案．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，等邊，，D為一邊上的中點(diǎn)，，，點(diǎn)P為等邊三角形的重心，．故答案為：．變式2.（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）如圖，為等邊三角形，在邊上分別任取一點(diǎn)，使得，連接相交于點(diǎn)，現(xiàn)有如下兩個(gè)結(jié)論：①；②若，則；下列判斷正確的是（）

A．①對(duì)，②對(duì) B．①對(duì)，②錯(cuò) C．①錯(cuò)，②對(duì) D．①錯(cuò)，②錯(cuò)【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到①正確；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)線(xiàn)段的和差得到，過(guò)作交于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到②正確．【詳解】解：在等邊中，，在與中，，，，，，，，，故①正確；是等邊三角形，，，，，，如圖，過(guò)作交于，

，，，，，，故②正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．例6：（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)在內(nèi)部，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：．使得是等邊三角形．【答案】或或或者【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)定理和等邊三角形的判定即可得到結(jié)論．【詳解】解：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，若添加條件：或者，則是等邊三角形；若添加條件：，則是等邊三角形；若添加條件：，，，，，是等邊三角形；故答案為：或或或者．變式1．（2022·浙江嘉興·中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請(qǐng)幫他在橫線(xiàn)上____填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件．【答案】（答案不唯一）【分析】利用等邊三角形的判定定理即可求解．【詳解】解：添加，理由如下：為等腰三角形，，為等邊三角形，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的判斷定理．變式2．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且（1）尺規(guī)作圖：作的平分線(xiàn)AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)基本作圖—角平分線(xiàn)作法，作出的平分線(xiàn)AF即可解答；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)得到并求出，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)得出，從而得到EF為中位線(xiàn)，進(jìn)而可證，，從而由有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，AF平分，（2）∵，且，∴，，∵，，∴，∴，∴，又∵AF平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴又∵∴為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖和等腰三角形性質(zhì)以及與三角形中點(diǎn)有關(guān)的兩個(gè)定理，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線(xiàn)合一定理、直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半以及三角形中位線(xiàn)定理．例7：（2024·福建福州·?？家荒＃┤鐖D，是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且．

(1)尺規(guī)作圖：作出將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到（不要求寫(xiě)作法，但需保留作圖痕跡）；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)，連接，即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出，，，證明為等邊三角形，證明為直角三角形，得出，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得到的，如圖所示：

（2）解：如圖，連接，∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得到的，∴，，，∴為等邊三角形，∴，，在中，，∴為直角三角形，且，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)．變式1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)首次落在斜邊上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為.

【答案】【分析】首先證明是等邊三角形，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴是等邊三角形，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，含直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．變式2．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)N，使CN=AM，連接MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H．(1)求證：MP=NP；(2)若AB＝a，求線(xiàn)段PH的長(zhǎng)（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)0.5a．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MQCN，證明即可；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)推出AH=HQ，則PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．(1)如下圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MQCN，∵為等邊三角形，MQCN，∴，則AM=AQ，且∠A=60°，∴為等邊三角形，則MQ=AM=CN，又∵M(jìn)QCN，∴∠QMP=∠CNP，在，∴，

則MP=NP；(2)∵為等邊三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，

又由（1）得，，則PQ=PC，∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的判定，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．核心考點(diǎn)2.垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定例8：（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考二模）如圖，在中，．(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點(diǎn)E，使得（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）作的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)E即可；（2）結(jié)合（1）利用三角形的外角定義即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)E即為所求；（2）∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法．變式1．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在中，是鈍角，則該三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)可能在下圖中的（

）

A．M點(diǎn) B．N點(diǎn) C．O點(diǎn) D．P點(diǎn)【答案】A【分析】作出其中兩條邊的垂直平分線(xiàn)即可判斷．【詳解】解：∵三角形三邊垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，∴作出其中兩條邊的垂直平分線(xiàn)即可即可判斷交點(diǎn)位置，如圖，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，熟練掌握垂直平分線(xiàn)的作法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）閱讀以下尺規(guī)作圖的步驟：（1）作射線(xiàn)，在射線(xiàn)上截??；（2）分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)、；（3）作直線(xiàn)交于點(diǎn)；（4）在直線(xiàn)上截取；（5）連接，。則可以說(shuō)明的依據(jù)是（

）

A．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等B．角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等C．等腰三角形的“三線(xiàn)合一”D．平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直【答案】A【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟可得直線(xiàn)垂直平分，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得．【詳解】解：由尺規(guī)作圖的步驟可知，直線(xiàn)垂直平分，則（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖、以及性質(zhì)，熟練掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵．例9：（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，作直線(xiàn)，交邊于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由作圖可得：為直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)，從而得到，則，再由三角形外角的定義與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由作圖可得：為直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂線(xiàn)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則．

【答案】/10度【分析】由，，求得，根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)、等邊對(duì)等角和直角三角形的兩銳角互余求得．【詳解】解：∵，，∴，∵是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于、兩點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作的弧恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，連接，若，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】連接，由題意得，直線(xiàn)是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，，

，，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，作圖基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．例10：（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)是．

【答案】4【分析】由可得，由是的垂直平分線(xiàn)可得，從而可得．【詳解】解：∵，∴，∵是的垂直平分線(xiàn)，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)分別與邊相交于點(diǎn)D，E，連接．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．9 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】由作圖可知直線(xiàn)為邊的垂直平分線(xiàn)，再由得到，則可知三點(diǎn)在以為圓心直徑的圓上，進(jìn)而得到，由勾股定理求出即可．【詳解】解：由作圖可知，直線(xiàn)為邊的垂直平分線(xiàn)，∵∴，∵，∴，∴三點(diǎn)在以為圓心直徑的圓上，∴，∵，∴∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)和勾股定理，解答關(guān)鍵是熟練掌握常用尺規(guī)作圖的作圖痕跡，由作圖過(guò)程得到新的結(jié)論．變式2．（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是的垂直平分線(xiàn).若，，則的周長(zhǎng)是.

【答案】13【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】解：是的垂直平分線(xiàn)．，，的周長(zhǎng)，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心考點(diǎn)3.勾股定理與逆定理及其應(yīng)用例11：（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶(hù)不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶(hù)高、廣、邪各幾何？這段話(huà)的意思是：今有門(mén)不知其高寬：有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺：豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺：斜放，竿與門(mén)對(duì)角線(xiàn)恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門(mén)高是尺．【答案】8【分析】設(shè)門(mén)高尺，則竿長(zhǎng)為尺，門(mén)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為尺，門(mén)寬為尺，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)門(mén)高尺，依題意，竿長(zhǎng)為尺，門(mén)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為尺，門(mén)寬為尺，∴，解得：或（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．變式1.（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數(shù)，則（用含的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到，為直角邊，為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到的值．【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，為直角邊，為斜邊，，，得到，，，是大于1的奇數(shù)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚，為直角邊，為斜邊是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為．（杯壁厚度不計(jì)）

【答案】10【分析】如圖（見(jiàn)解析），將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長(zhǎng)為，，，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)——最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．變式3.（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，小紅家購(gòu)置了一臺(tái)圓形自動(dòng)掃地機(jī)，放置在屋子角落（書(shū)柜、衣柜與地面均無(wú)縫隙）．在沒(méi)有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能自動(dòng)從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺(tái)掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，則圖中的x至少為（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：）．

【答案】【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題．【詳解】解：如圖過(guò)點(diǎn)A、B分別作墻的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)C，則，，在中，，即∵這臺(tái)掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，∴這臺(tái)掃地機(jī)的直徑不小于長(zhǎng)，即最小時(shí)為，解得：（舍），，∴圖中的x至少為，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例12：（2022·湖南永州·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識(shí)地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則______．【答案】3【分析】根據(jù)題意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，結(jié)合圖形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根據(jù)題意，設(shè)AF=DE=CH=BG=x，則AE=x-1，在Rt?AED中，，即，解得：x=4（負(fù)值已經(jīng)舍去），∴x-1=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，一元二次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．變式1.（2023·廣東東莞·校聯(lián)考二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查規(guī)律型：圖形變化類(lèi)，由特殊情況總結(jié)出一般規(guī)律，先用勾股定理求出第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而找到與之間的關(guān)系，依次類(lèi)推，得出規(guī)律，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，同理，，∴，∴，故選：A．變式2．（2023·浙江溫州·?？级＃┰凇端聫R難題》書(shū)中，有這樣一道題：五個(gè)正方形ABCD，CEFG，F(xiàn)HMN，GNPQ，DGST如圖所示排列，其中點(diǎn)A、B、E、H、M共線(xiàn)，可得結(jié)論：正方形CEFG與的面積相等．若正方形CEFG與的面積之和為120，則正方形DGST與正方形GNPQ面積之和為（

）A．270 B．300 C．320 D．350【答案】B【分析】如圖，過(guò)作交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)與K，交NF的延長(zhǎng)線(xiàn)與J，證明可得同理：可得證明再結(jié)合勾股定理可得：，從而可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)與K，交NF的延長(zhǎng)線(xiàn)與J，∵正方形ABCD，HMNF，同理：正方形CEFG與的面積相等，正方形CEFG與的面積之和為120，正方形CEFG為60，由勾股定理可得：故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作出合適的輔助線(xiàn)構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．例13：（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在△ABC中，，，，則______________．【答案】或【分析】畫(huà)出圖形，分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論即可．【詳解】解：情況一：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH為等腰直角三角形，∴,在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，∴．情況二：當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示：由情況一知：，，∴．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是能將△ABC分成銳角三角形或鈍角三角形分類(lèi)討論．變式1.（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且平分的周長(zhǎng)，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，利用勾股定理求出，進(jìn)而利用等面積法求出，則可求出，再由平分的周長(zhǎng)，求出，進(jìn)而得到，則由勾股定理得．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，∵在中，，∴，∵，∴，∴，∵平分的周長(zhǎng)，∴，即，又∵，∴，∴，∴，故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，．連接，在和上分別截取，使．分別以點(diǎn)E和點(diǎn)F為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G．作射線(xiàn)交于點(diǎn)H，則線(xiàn)段的長(zhǎng)是．

【答案】/【分析】過(guò)H作于Q，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理列方程求解．【詳解】解：設(shè)，

過(guò)H作于Q，在矩形中，，∴，由作圖得：平分，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，有，即：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則的最小值為．

【答案】【分析】由折疊性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴當(dāng)、、B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)時(shí)，取最小值，最小值即為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系，熟練掌握勾股定理、折疊的性質(zhì)及三角不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例14：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐主題：制作無(wú)蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫(huà)出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫(xiě)出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系；(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；（2）證明是等腰直角三角形即可.【詳解】（1）解：（2）證明：連接，

設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則，，，為等腰直角三角形，∵，∴為等腰直角三角形，，故【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．變式1.（2023·浙江紹興·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，過(guò)的某個(gè)頂點(diǎn)將該三角形剪成兩個(gè)小三角形，再將這兩個(gè)小三角形拼成，若與不全等，則這條剪痕的長(zhǎng)可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊問(wèn)題，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且．根據(jù)題意可得這條剪痕可能是或邊的中線(xiàn)．分別根據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)以及勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖，中，，，，，是直角三角形，且．過(guò)的某個(gè)頂點(diǎn)將該三角形剪成兩個(gè)小三角形，再將這兩個(gè)小三角形拼成，與不全等，這條剪痕可能是或邊的中線(xiàn)．如果這條剪痕是邊的中線(xiàn)，那么，，，；如果這條剪痕是邊的中線(xiàn)，那么，，，；這條剪痕的長(zhǎng)可能為．故選：C．核心考點(diǎn)4.直角三角形的性質(zhì)及計(jì)算例15：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問(wèn)題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則度．

【答案】//．【分析】根據(jù)矩、宣、欘的概念計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可知，矩，欘宣矩，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計(jì)算；解題的關(guān)鍵是新概念的理解，并正確計(jì)算．變式1.（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角的大面小，需將轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與相等的角是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：與互余，與互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．【詳解】由示意圖可知：和都是直角三角形，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時(shí)，．

【答案】【分析】根據(jù)公式求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．例16：（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，．

(1)在斜邊上求作線(xiàn)段，使，連接；（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡