專題04勾股定理及其逆定理重難點題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

專題04勾股定理及其逆定理重難點題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一以弦圖為背景的勾股定理計算題題型二用勾股定理解三角形題型三勾股定理與網(wǎng)格問題題型四勾股定理與折疊問題題型五用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題題型六勾股定理逆定理的應(yīng)用題型七勾股定理逆定理的拓展題型八勾股定理的綜合應(yīng)用問題【經(jīng)典例題一以弦圖為背景的勾股定理計算題】知識點一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．?dāng)?shù)學(xué)小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時，首先看題目中有沒有具備這個條件，只有具有這個條件，才能利用勾股定理求第三條邊。（2）在應(yīng)用勾股定理時要注意它的變式：（3）應(yīng)用勾股定理時要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母表示，只有當(dāng)時，，若，則。（4）在實際問題中，若圖中無直角，可通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形。2.勾股定理的驗證方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．【例1】（2023秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在直線m上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是3，6，9，正放置的四個正方形的面積依次是，，，，則＝（

）A．6 B．6.5 C．7 D．8【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·浙江衢州·八年級校聯(lián)考期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，連接，交于點，如圖所示，若正方形的面積為，，則的值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7【變式2】（2023秋·重慶萬州·九年級?？计谀┤鐖D所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算徑》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形與四邊形均為正方形，點H是的中點，陰影部分的面積為60，則的長為___________．【變式3】（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將因式分解；【應(yīng)用】（2）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（），斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．【經(jīng)典例題二用勾股定理解三角形】【例2】（2023秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)校考期末）如圖，在邊長為6的等邊三角形的三邊上分別取點，，，使得，連接，，，若于點，則的周長為（）A． B． C．6 D．12【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，點E在的邊上，點A在內(nèi)部，，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【變式2】（2023秋·遼寧沈陽·八年級?？计谀┲本€與x軸、y軸分別交于點A、B，M是y軸上一點，若將沿折疊，點B恰好落在x軸上，則點M的坐標(biāo)為____________．【變式3】（2023秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谀┒x：如果一個三角形存在兩個內(nèi)角與滿足，那么稱這個三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．如圖，已知為“準(zhǔn)互余三角形”，并且．(1)若，求的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，若，求的長．【經(jīng)典例題三勾股定理與網(wǎng)格問題】【例3】（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級校考期末）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點上，則C點到AB的距離為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·山東濱州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，則到直線的距離為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上．（1）AB的長等于_____；（2）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在△ABC的內(nèi)部畫出點P，滿足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）_____．【變式3】（2023秋·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的三個頂點都在格點上．(1)____________；(2)請分別在圖1，圖2的正方形網(wǎng)格內(nèi)按下列要求畫一個格點三角形．①在圖1中，以為邊畫Rt（與不重合），使它與全等；②在圖2中，以為邊畫Rt，使它的一個銳角等于，且與不全等．【經(jīng)典例題四勾股定理與折疊問題】【例4】（2023秋·山東棗莊·八年級?？计谀┤鐖D，將三角形紙片沿AD折疊，使點C落在邊上的點E處．若，，則的值為（）A．20 B．22 C．24 D．26【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·廣東深圳·九年級深圳市寶安中學(xué)（集團）?？计谀┤鐖D，在中，，，點D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點A落在邊上，記為點F，如果，則的長為（

）A．3 B． C． D．【變式2】（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，，點是邊上的一個動點，點與是關(guān)于直線的對稱點，當(dāng)是直角三角形時，的長______．【變式3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．(1)若，則的度數(shù)為；(2)當(dāng)，的面積為時，的周長為（用含的代數(shù)式表示）；(3)若，，求的長．【經(jīng)典例題五用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】【例5】（2023秋·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期中）如圖，小蓓要趕上去實踐活動基地的校車，她從點A知道校車自點B處沿x軸向原點O方向勻速駛來，她立即從A處搭一輛出租車，去截汽車．若點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，汽車行駛速度與出租車相同，則小蓓最快截住汽車的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·北京·八年級統(tǒng)考期末）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME－7)的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形（如圖2所示）演化而成的．如果圖2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的長為（

）A． B． C． D．3【變式2】（2023秋·全國·八年級階段練習(xí)）已知，在中，，高，則邊長為____________．【變式3】（2023秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）探究一：在平面直角坐標(biāo)系中探究的幾何意義例如：已知，，如果要求、兩點之間的距離，可以構(gòu)造如圖所示的直角三角形，則、之間的距離為______．結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面內(nèi)、兩點坐標(biāo)，則、兩點之間的距離等于因此，的幾何意義可以理解為點與點之間的距離．應(yīng)用一：的幾何意義可以理解為點與點______，______的距離和點與點______，______的距離之和．探究二：求代數(shù)式的最小值．解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點是軸上一點，則可以看成與點______，______的距離．可以看成點與點______，______的距離．所以原代數(shù)式的值可以看成線段與的長度之和，的最小值就是原代數(shù)式的最小值，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，則，因此求的最小值，只需求的最小值．而點、之間的所有連線中線段最短，所以的最小值為線段的長度．為此，構(gòu)造直角三角形，所以______．即的最小值為______．拓展：代數(shù)式的最小值為______．【經(jīng)典例題六勾股定理逆定理的應(yīng)用】知識點：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c，且a2+勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，即a2+b聯(lián)系：（1）兩者都與三角形三邊關(guān)系a2+b2.勾股數(shù)滿足關(guān)系a2+b常見的勾股數(shù)有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；【例6】（2023春·廣東茂名·八年級?？计谥校┤绻娜叿謩e為，且滿足，則的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）圖，在四邊形中，，，，且，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·遼寧本溪·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一塊四邊形花圃，，若在這塊花圃上種植花草，已知每種植需50元，則共需_____元．【變式3】（2023秋·福建泉州·八年級校考期末）如圖，四邊形為某工廠的平面圖，經(jīng)測量，，且．(1)求的度數(shù)；(2)若直線為工廠的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點處安裝一個攝像頭觀察車輛進出工廠的情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最遠距離為，求被監(jiān)控到的道路長度為多少？【經(jīng)典例題七勾股定理逆定理的拓展】【例7】（2023秋·河南洛陽·八年級偃師市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．在直角三角形中，已知兩邊長為3和4，則第三邊長為5B．三角形為直角三角形，三角形的三邊長為a，b，c，則滿足a2-b2＝c2C．以任意三個連續(xù)自然數(shù)為三邊長都能構(gòu)成直角三角形D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，則△ABC為直角三角形【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·黑龍江雞西·八年級階段練習(xí)）ΔABC的三邊長為4cm、5cm、6cm，則ΔABC的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能判定【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個三角形的三條邊的長，且最大，我們可以利用，，之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是，，，則最長邊是，，故由③可知該三角形是銳角三角形．（1）若一個三角形的三邊長分別是，，，則該三角形是__________；（2）若一個三角形的三邊長分別是，，，且這個三角形是直角三角形，則的值為__________；（3）帶一個三角形的三邊長，，，其中是最長邊長，則該三角形是__________三角形．【變式3】（2023秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）先觀察下列各組數(shù)，然后回答問題：第一組：，，；第二組：，，；第三組：，，；第四組：，，；（1）根據(jù)各組數(shù)反映的規(guī)律，用含的代數(shù)式表示第組的三個數(shù)；（2）如果各組數(shù)的三個數(shù)分別是三角形的三邊長，那么這個三角形是什么三角形？請說明理由；（3）如圖，，，，若，，為上列按已知方式排列順序的某一組數(shù)，且，，求的長．【經(jīng)典例題八勾股定理的綜合應(yīng)用問題】【例8】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，以的三邊為邊向外做正方形，正方形，正方形，連結(jié)，，作交于點，記正方形和正方形的面積分別為，，若，，則等于（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·四川資陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為邊的中點，交的延長線于點E，交于點F，平分交于點G．有以下結(jié)論：①；②；③；④若，，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2】（2023春·重慶南岸·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，，，，則的長為___________．【變式3】（2023秋·江蘇南京·八年級校考期中）某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：(1)幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為______；(2)代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式（）的最小值；(3)幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，最小值是______．【培優(yōu)檢測】1．（2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，平分，于，，，則的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2023春·全國·八年級開學(xué)考試）如圖，在中，，．平分交于點D，下列說法：①；②；③點D在的中垂線上；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，平分，垂直平分，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．4．（2023秋·天津南開·九年級南開翔宇學(xué)校?？计谀┤鐖D，是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則以下結(jié)論中錯誤的是（）．A． B． C． D．5．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，是等腰三角形，，，交于E，，則的值為（

）A．7 B． C．8 D．6．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┤鐖D，在等腰中，斜邊AB的長為4，D為AB的中點，E為AC邊上的動點，交BC于點F，P為EF的中點，連接PA，PB，則的最小值是（

）A．3 B． C． D．7．（2023秋·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中校考期中）如圖，在中，的平分線交于點E，交于G，，連接交于點H、下列結(jié)論：①若將沿折疊，則點E一定落在上；②圖中有8對全等三角形；③；④若，則，上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023秋·重慶大渡口·八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰中，，，點和分別是和上兩點，連接，將沿折疊，得到，點恰好落在的中點處，與交于點，則折痕的長度為（）A． B． C． D．9．（2023秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊的邊長為8．P，Q分別是邊上的點，連接交于點O，，則＝_____；若＝5，則＝_____．10．（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰直角三角形，，是斜邊的中點，以點為頂點作等腰直角，分別交邊，于點，．若，，則的面積是______．11．（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰中，，，以為邊向上作等邊，點，分別是邊，上的動點，且，當(dāng)是直角三角形時，的長為______．12．（2023春·重慶江北·八年級重慶十八中?？计谥校┤鐖D，中，，，，將邊沿翻折，使點A落在上的點D處；再將邊沿翻折，使點B落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點E、F，則線段的長為____________．13．（2023秋·上海徐匯·八年級校聯(lián)考期末）如圖，點是的邊的中點，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點到直線的距離為_______14．（2023秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，于D，平分，交于G，，，則___________．15．（2023秋·江蘇常州·八年級常州市清潭中學(xué)?？计谥校╅L方形具有四個內(nèi)角均為直角，并且兩組對邊分別相等的特征，如圖，把一張長方形紙片折疊，使點C與點A重合，折痕為EF．(1)判斷和是否全等？并說明理由(2)若，求的長．16．（2023秋·河南鄭州·八年級校考期中）如圖所示，已知，平分，平分，．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．(3)在（1）（2）的條件下，若，，求的長．（用到的角度請盡量使用數(shù)字角表示）17．（2023春·甘肅蘭州·七年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，為等邊三角形，是軸上一個動點不與原點重合，以線段為一邊在其右側(cè)作等邊三角形．(1)求點的坐標(biāo)；(2)在點的運動過程中，的大小是否發(fā)生改變？如不改變，求出其大?。蝗绺淖?，請說出理由；(3)當(dāng)點在軸負半軸時，連接，當(dāng)，求點的坐標(biāo)．18．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，和都是等邊三角形，且點、、在一條直線上，連接，，點、分別是線段、上的兩個動點，完成以下問題．(1)發(fā)現(xiàn)問題：當(dāng)，時，的形狀是______．(2)類比探究：當(dāng)，時，（1）結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請舉出反例．(3)拓展應(yīng)用：若，，在、運動過程中，請直接寫出的面積的最小值．19．（2023秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊中，是的角平分線，為上一點，以為一邊且在下方作等邊，連接．(1)求證：．(2)延長至，為上一點，連接、，使，若時，求的長．20．（2023秋·福建漳州·八年級漳州實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，在中，過點A作直線的垂線，垂足為D．①若，，，求線段的長；②若，，，求線段的長；（2）如圖2，在中，，，過點A作直線的垂線，交線段于點D．將沿直線翻折后得到對應(yīng)的，連接，若，求線段的長．專題04勾股定理及其逆定理重難點題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一以弦圖為背景的勾股定理計算題題型二用勾股定理解三角形題型三勾股定理與網(wǎng)格問題題型四勾股定理與折疊問題題型五用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題題型六勾股定理逆定理的應(yīng)用題型七勾股定理逆定理的拓展題型八勾股定理的綜合應(yīng)用問題【經(jīng)典例題一以弦圖為背景的勾股定理計算題】知識點一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．?dāng)?shù)學(xué)小史：勾股定理是我國最早發(fā)現(xiàn)的，中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時，首先看題目中有沒有具備這個條件，只有具有這個條件，才能利用勾股定理求第三條邊。（2）在應(yīng)用勾股定理時要注意它的變式：（3）應(yīng)用勾股定理時要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母表示，只有當(dāng)時，，若，則。（4）在實際問題中，若圖中無直角，可通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形。2.勾股定理的驗證方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．【例1】（2023秋·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在直線m上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是3，6，9，正放置的四個正方形的面積依次是，，，，則＝（

）A．6 B．6.5 C．7 D．8答案:A分析：運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)，∵，∴，，∴，在與中，，∴（AAS），∴，∵，∴，即，同理，，則，則．故選：A．【點睛】此題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理．解決本題的關(guān)鍵是得到．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·浙江衢州·八年級校聯(lián)考期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，連接，交于點，如圖所示，若正方形的面積為，，則的值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7答案:B分析：先證明，則，所以兩三角形面積的差是中間正方形面積的一半，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得：，，則，整體代入計算即可；【詳解】∵正方形的面積為，∴，設(shè)，∵，∴，中，由勾股定理得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∵“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，則的值是；故選：B．【點睛】本題主要考查了“趙爽弦圖”，多邊形面積，勾股定理等知識點，首先要求學(xué)生正確理解題意，然后利用勾股定理和三角形全等的性質(zhì)解題．【變式2】（2023秋·重慶萬州·九年級?？计谀┤鐖D所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算徑》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形與四邊形均為正方形，點H是的中點，陰影部分的面積為60，則的長為___________．答案:10分析：由四邊形與四邊形均為正方形，點H是的中點，可知E、F、G分別為、

、

的中點，可推出陰影部分的四個直角三角形面積相等，每一個都為正方形EFGH面積的

，從而陰影部分總面積為正方形面積的3倍，即可得正方形面積為20，繼而得，由勾股定理可求得的長．【詳解】解：由四邊形

與四邊形均為正方形，點H是的中點，可知E、F、G分別為、

、

的中點，且，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，故答案為：10【點睛】本題考查勾股定理、趙爽弦圖、陰影部分的面積，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將因式分解；【應(yīng)用】（2）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（），斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．答案:（1）；（2）分析：（1）用分組分解法將因式分解即可；（2）先將因式分解，再求值即可；【詳解】解：（1）原式；（2）原式∵直角三角形的兩條直角邊長分別是a和，斜邊長是3，小正方形的面積是1，∴，∴原式．【點睛】本題主要考查因式分解的知識，熟練掌握因式分解的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二用勾股定理解三角形】【例2】（2023秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谀┤鐖D，在邊長為6的等邊三角形的三邊上分別取點，，，使得，連接，，，若于點，則的周長為（）A． B． C．6 D．12答案:B分析：先證明，得到等邊，設(shè)，則，解得x，在中，計算即可．【詳解】∵等邊三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，設(shè)，則，∵，解得，∴，∴的周長為，故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理，等邊三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，點E在的邊上，點A在內(nèi)部，，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④答案:D分析：利用“”證明，即可判斷①結(jié)論；利用全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，即可判斷②結(jié)論；利用全等三角形的性質(zhì)進行等角替換，即可判斷③結(jié)論；反復(fù)利用勾股定理即可判斷④結(jié)論．【詳解】解：，，，在和中，，，，①結(jié)論正確；，，，，，，，②結(jié)論正確；，，，，，，③結(jié)論正確；，，，，，④結(jié)論正確，結(jié)論正確的有①②③④，故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·遼寧沈陽·八年級?？计谀┲本€與x軸、y軸分別交于點A、B，M是y軸上一點，若將沿折疊，點B恰好落在x軸上，則點M的坐標(biāo)為____________．答案:或分析：設(shè)沿直線將折疊，點正好落在軸上的點，則有，而的長度根據(jù)已知可以求出，所以點的坐標(biāo)由此求出；又由于折疊得到，在直角中根據(jù)勾股定理可以求出，也就求出的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖1，設(shè)沿直線將折疊，點正好落在軸上的點，，，則有，又，，，故求得點的坐標(biāo)為：．再設(shè)點坐標(biāo)為，則，，即，，，如圖2，設(shè)，由折疊知，，，，，根據(jù)勾股定理得，，，故答案為：或．【點睛】本題綜合考查了翻折變換，題中利用折疊知識與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)校考期末）定義：如果一個三角形存在兩個內(nèi)角與滿足，那么稱這個三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．如圖，已知為“準(zhǔn)互余三角形”，并且．(1)若，求的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，若，求的長．答案:(1)(2)分析：（1）分為，為，為，求解．（2）過點A作垂足分別是D，A，交于點E，利用勾股定理，三角形外角性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）當(dāng)為時，則，故不成立；當(dāng)為時，∵，∴，故不成立；當(dāng)為，∵，∴，∴，故不成立；故，解得，∴．（2）過點A作垂足分別是D，A，交于點E，∵，，∴，，，∴，，，∵，∴，，∴．【點睛】本題考查了新定義問題，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三勾股定理與網(wǎng)格問題】【例3】（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級校考期末）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點上，則C點到AB的距離為（

）A． B． C． D．答案:D分析：連接、，利用割補法求出，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)C點到的距離為h，根據(jù)，即可求出h的值．【詳解】解：如圖，連接、，，，設(shè)C點到的距離為h，∵，∴．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．也考查了三角形的面積和二次根式的運算．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·山東濱州·八年級校考階段練習(xí)）如圖在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，則到直線的距離為（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)小正方形的邊長為1，利用勾股定理求出，由正方形面積減去三個直角三角形面積求出三角形面積，利用面積法求出邊上的高即可．【詳解】解：如圖，為邊上的高，∴，∵，，∴，解得．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，以及三角形的面積，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上．（1）AB的長等于_____；（2）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在△ABC的內(nèi)部畫出點P，滿足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）_____．答案:

見解析分析：（1）利用勾股定理即可解決問題；（2）如圖AC與網(wǎng)格相交，得到點D、E，取格點F，連接FB并且延長，與網(wǎng)格相交，得到M，N，G．連接DN，EM，DG，DN與EM相交于點P，點P即為所求．【詳解】解：（1）故答案為：（2）如圖AC與網(wǎng)格相交，得到點D、E，取格點F，連接FB并且延長，與網(wǎng)格相交，得到M，N，G．連接DN，EM，DG，DN與EM相交于點P，點P即為所求．理由：平行四邊形ABME的面積：平行四邊形CDNB的面積：平行四邊形DEMG的面積=1：2：3，△PAB的面積=平行四邊形ABME的面積，△PBC的面積=平行四邊形CDNB的面積，△PAC的面積=△PNG的面積=△DGN的面積=平行四邊形DEMG的面積，∴S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3．【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計、勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，求出△PAB，△PBC，△PAC的面積，屬于中考?？碱}型．【變式3】（2023秋·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，的三個頂點都在格點上．(1)____________；(2)請分別在圖1，圖2的正方形網(wǎng)格內(nèi)按下列要求畫一個格點三角形．①在圖1中，以為邊畫Rt（與不重合），使它與全等；②在圖2中，以為邊畫Rt，使它的一個銳角等于，且與不全等．答案:(1)；(2)①見解析；②見解析．分析：（1）根據(jù)勾股定理求出的長即可；（2）①如圖1，根據(jù)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等作圖即可；②由圖可知，為直角三角形，則求作必為直角三角形，只需證明所作的三角形與已知三角形對應(yīng)邊長不相等且有一組對邊平行即可．【詳解】（1）故答案為：（2）如圖1，即為所求，如圖2，即為所求，理由如下：由第一個圖可知，，∴，∵，，，∴為直角三角形，且，又∵，，，∴，∴為直角三角形，且，∴與不全等，∴即為所求．【點睛】本題考查了作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖：應(yīng)用與設(shè)計作圖主要把簡單作圖放入實際問題中．首先要理解題意，弄清楚題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．【經(jīng)典例題四勾股定理與折疊問題】【例4】（2023秋·山東棗莊·八年級校考期末）如圖，將三角形紙片沿AD折疊，使點C落在邊上的點E處．若，，則的值為（）A．20 B．22 C．24 D．26答案:C分析：根據(jù)折疊，可得，，，根據(jù)勾股定理可得，，根據(jù)，求解即可．【詳解】解：根據(jù)折疊，可得，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，在中，根據(jù)勾股定理，得，∴，∵，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了折疊問題，勾股定理等，熟練掌握折疊變換是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·廣東深圳·九年級深圳市寶安中學(xué)（集團）?？计谀┤鐖D，在中，，，點D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點A落在邊上，記為點F，如果，則的長為（

）A．3 B． C． D．答案:D分析：根據(jù)題意可得，，方法1：作于G，設(shè)，則，在中，，，問題隨之得解；方法2：如圖2，作于，設(shè)，則，，，在中，，，問題隨之得解．【詳解】∵在中，，，∴，，∵，∴，方法1：如圖1，作于G，∵在中，，，∴，∵，則，設(shè)，則，在中，，，即．方法2：如圖2，作于，設(shè)，則，，，在中，，，即．故選：D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識，掌握折疊的性質(zhì)并靈活運用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，，點是邊上的一個動點，點與是關(guān)于直線的對稱點，當(dāng)是直角三角形時，的長______．答案:1或分析：分兩種情形：，，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖中，當(dāng)時，設(shè)，，，，，由翻折的性質(zhì)可知，，在中，，，，．如圖中，當(dāng)時，設(shè)．過點作交的延長線于點，則四邊形是矩形，，，在中，，，解得或舍棄，，綜上所述，的值為：或．【點睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式3】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．(1)若，則的度數(shù)為；(2)當(dāng)，的面積為時，的周長為（用含的代數(shù)式表示）；(3)若，，求的長．答案:(1)；(2)(3)分析：（1）根據(jù)折疊可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計算出，進而得到；（2）根據(jù)的面積可得，進而得到，再在Rt中，，再把左邊配成完全平方可得，進而得到的周長．（3）根據(jù)折疊可得，設(shè)，則，再在RtB中利用勾股定理可得，再解方程可得的值，進而得到的長；【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)可知：，又，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵的面積為，∴，∴，∵在Rt中，由勾股定理可得：，∴，∴，∴，∵，∴，即的周長為，故答案為：（3）解：把沿直線折疊，使與重合，∴，設(shè)，則，在Rt中，，即，解得．【點睛】此題主要考查了圖形的翻折變換、勾股定理，完全平方公式，關(guān)鍵是掌握勾股定理，以及折疊后哪些是對應(yīng)角和對應(yīng)線段．【經(jīng)典例題五用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】【例5】（2023秋·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期中）如圖，小蓓要趕上去實踐活動基地的校車，她從點A知道校車自點B處沿x軸向原點O方向勻速駛來，她立即從A處搭一輛出租車，去截汽車．若點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，汽車行駛速度與出租車相同，則小蓓最快截住汽車的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案:C分析：如圖，假設(shè)小蓓與汽車在D點相遇，過點A作，則小蓓的行進路線為，設(shè)，則，，在中，利用勾股定理求出，再根據(jù)得出關(guān)于x的方程，解方程求出x即可得到相遇點的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，假設(shè)小蓓與汽車在D點相遇，過點A作，∵點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，∴，，，設(shè)，則，，在中，，∴，∵汽車行駛速度與出租車相同，∴，∴，即，解得：，∴D點坐標(biāo)為，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，能夠根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·北京·八年級統(tǒng)考期末）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME－7)的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形（如圖2所示）演化而成的．如果圖2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的長為（

）A． B． C． D．3答案:C分析：OA1=1，根據(jù)勾股定理可得，，找到的規(guī)律，即可計算OA8的長．【詳解】解：∵OA1=1，∴由勾股走理可得，，……，∴．故選：C．【點睛】本題考查了勾臉定理的靈活運用，本題中找到的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·全國·八年級階段練習(xí)）已知，在中，，高，則邊長為____________．答案:7或5分析：根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，分別考慮當(dāng)高AD在內(nèi)部和外部的情況，再用勾股定理求解．【詳解】如圖：當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時，∵，，∴，，∴BC=6+1=7；如圖：當(dāng)AD在△ABC外部時，∵，，∴，，∴BC=6-1=5；故答案為：7或5【點睛】本題主要考查了用勾股定理求三角形的邊，熟練地掌握勾股定理的內(nèi)容，根據(jù)題意進行分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·山東青島·九年級統(tǒng)考期末）探究一：在平面直角坐標(biāo)系中探究的幾何意義例如：已知，，如果要求、兩點之間的距離，可以構(gòu)造如圖所示的直角三角形，則、之間的距離為______．結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面內(nèi)、兩點坐標(biāo)，則、兩點之間的距離等于因此，的幾何意義可以理解為點與點之間的距離．應(yīng)用一：的幾何意義可以理解為點與點______，______的距離和點與點______，______的距離之和．探究二：求代數(shù)式的最小值．解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點是軸上一點，則可以看成與點______，______的距離．可以看成點與點______，______的距離．所以原代數(shù)式的值可以看成線段與的長度之和，的最小值就是原代數(shù)式的最小值，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，則，因此求的最小值，只需求的最小值．而點、之間的所有連線中線段最短，所以的最小值為線段的長度．為此，構(gòu)造直角三角形，所以______．即的最小值為______．拓展：代數(shù)式的最小值為______．答案:

；

，

，

，

；

，

，

，

分析：探究一：利用勾股定理求解即可；應(yīng)用一：利用勾股定理，數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可；探究二：利用數(shù)形結(jié)合的思想，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解決最短問題；拓展：模仿例題解決問題即可．【詳解】解：探究一：．故答案為：；應(yīng)用一：的幾何意義可以理解為點與點的距離和點與點的距離之和．故答案為：，，，；探究二：建立平面直角坐標(biāo)系，點是軸上一點，則可以看成與點的距離．可以看成點與點的距離．所以原代數(shù)式的值可以看成線段與的長度之和，的最小值就是原代數(shù)式的最小值，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為，則，因此求的最小值，只需求的最小值．而點、之間的所有連線中線段最短，所以的最小值為線段的長度．為此，構(gòu)造直角三角形，所以．即的最小值為；故答案為：，，，，，；拓展：，欲求的最小值，相當(dāng)于在軸上取一點，使得點到，的距離和最?。鼽c關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，此時的值最小，最小值的長．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．【經(jīng)典例題六勾股定理逆定理的應(yīng)用】知識點：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c，且a2+勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，即a2+b聯(lián)系：（1）兩者都與三角形三邊關(guān)系a2+b2.勾股數(shù)滿足關(guān)系a2+b常見的勾股數(shù)有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；【例6】（2023春·廣東茂名·八年級?？计谥校┤绻娜叿謩e為，且滿足，則的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12答案:A分析：將原式整理得出，計算出，判斷出為直角三角形，即可求出．【詳解】解：，，，，又，，為直角三角形，，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的非負性，勾股定理的逆運用，解題的關(guān)鍵是求出的值．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）圖，在四邊形中，，，，且，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．答案:B分析：連接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的長，在三角形ACD中，利用勾股定理的逆定理判斷得到三角形ACD為直角三角形，兩直角三角形面積之和即為四邊形ABCD的面積．【詳解】解：連接AC，如圖，在Rt△ABC中，AB=1，BC=1，根據(jù)勾股定理得：，在△ACD中，CD=2，，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD為直角三角形，則四邊形ABCD的面積．故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·遼寧本溪·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一塊四邊形花圃，，若在這塊花圃上種植花草，已知每種植需50元，則共需_____元．答案:1800分析：連接，則在直角中，已知根據(jù)勾股定理可以計算，又因為，所以為直角三角形，四邊形的面積為和面積之和．【詳解】解：連接，在中，，（m），在中，根據(jù)勾股定理得，∴∴的面積為，的面積為，∴四邊形面積，∴種植花草共需花費元．故答案為：1800．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，考查了勾股定理逆定理判定直角三角形的應(yīng)用，本題中判定是直角三角形并計算其面積是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·福建泉州·八年級?？计谀┤鐖D，四邊形為某工廠的平面圖，經(jīng)測量，，且．(1)求的度數(shù)；(2)若直線為工廠的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點處安裝一個攝像頭觀察車輛進出工廠的情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最遠距離為，求被監(jiān)控到的道路長度為多少？答案:(1)(2)分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，進而利用勾股定理逆定理解答即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】（1）解：連接，，是等腰直角三角形，，，，在中，，是直角三角形，，；（2）過點作于，作點關(guān)于的對稱點，連接，由軸對稱的性質(zhì)，得：，，由（1）知，，，是等腰直角三角形，，，被監(jiān)控到的道路長度為．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、軸對稱的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七勾股定理逆定理的拓展】【例7】（2023秋·河南洛陽·八年級偃師市實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．在直角三角形中，已知兩邊長為3和4，則第三邊長為5B．三角形為直角三角形，三角形的三邊長為a，b，c，則滿足a2-b2＝c2C．以任意三個連續(xù)自然數(shù)為三邊長都能構(gòu)成直角三角形D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，則△ABC為直角三角形答案:D分析：根據(jù)直角三角形的判定進行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、應(yīng)為“直角三角形中，已知兩直角邊的邊長為3和4，則斜邊的邊長為5”，故不符合題意；B、應(yīng)為“三角形是直角三角形，三角形的直角邊分別為b，c，斜邊為a，則滿足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合題意；C、比如：邊長分別為3，4，5，有32+42=25=52，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出三個角分別為15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和判定，注意在敘述命題時要敘述準(zhǔn)確．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023春·黑龍江雞西·八年級階段練習(xí)）ΔABC的三邊長為4cm、5cm、6cm，則ΔABC的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能判定答案:A分析：先分析三角形是直角三角形的情況，通過比較第三邊平方確定三角形形狀.【詳解】解：當(dāng)邊長為4cm、5cm的兩邊為直角三角形的直角邊時，由勾股定理可知42+52=41>36=62可知當(dāng)?shù)谌厼?cm時，三角形為銳角三角形.故應(yīng)選A【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答時是要通過數(shù)形結(jié)合分析當(dāng)?shù)谌呅∮谛边厱r三角形形狀的變化趨勢.【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個三角形的三條邊的長，且最大，我們可以利用，，之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若，則該三角形是直角三角形；②若，則該三角形是鈍角三角形；③若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是，，，則最長邊是，，故由③可知該三角形是銳角三角形．（1）若一個三角形的三邊長分別是，，，則該三角形是__________；（2）若一個三角形的三邊長分別是，，，且這個三角形是直角三角形，則的值為__________；（3）帶一個三角形的三邊長，，，其中是最長邊長，則該三角形是__________三角形．答案:

銳角三角形

或

鈍角分析：（1）直接利用定義結(jié)合三角形三邊得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x的值；（3）直接利用已知結(jié)合三邊關(guān)系得出答案．【詳解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是銳角三角形，故答案為：銳角三角形；（2）∵這個三角形是直角三角形，當(dāng)x為斜邊，∴52+122=x2，∴x=13，當(dāng)12是斜邊，則52+x2=122，解得：x=，綜上所述：x=13或．故答案為：13或；（3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0，∴a2＞b2+c2，∴該三角形是鈍角三角形．【點睛】此題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正確進行相關(guān)計算是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）先觀察下列各組數(shù)，然后回答問題：第一組：，，；第二組：，，；第三組：，，；第四組：，，；（1）根據(jù)各組數(shù)反映的規(guī)律，用含的代數(shù)式表示第組的三個數(shù)；（2）如果各組數(shù)的三個數(shù)分別是三角形的三邊長，那么這個三角形是什么三角形？請說明理由；（3）如圖，，，，若，，為上列按已知方式排列順序的某一組數(shù)，且，，求的長．答案:（1），，；（2）直角三角形，見解析；（3）分析：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)勾股定理判斷即可；（3）根據(jù)題意可得出，，，在根據(jù)勾股定理計算即可；【詳解】（1）∵第一組：，，；第二組：，，；第三組：，，；第四組：，，；，∴第組：，，．（2）直角三角形；證明：為正整數(shù)，．以，，為三邊的三角形是直角三角形．（3），，為上列按已知方式排列順序的某一組數(shù)，這組數(shù)為第九列：，，，即，，．，．，，．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和找規(guī)律，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八勾股定理的綜合應(yīng)用問題】【例8】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，以的三邊為邊向外做正方形，正方形，正方形，連結(jié)，，作交于點，記正方形和正方形的面積分別為，，若，，則等于（

）A． B． C． D．答案:A分析：作出如圖輔助線，根據(jù)平分，即可得出．再根據(jù)正方形和正方形的面積之比為，即可得到，進而利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點P作，交的延長線于點M，作，交的延長線于點N，由題可得，，∴，又∵，∴，即平分，又∵，，∴，∵正方形和正方形的面積分別為，，且，，∴正方形的面積，∴正方形和正方形的面積之比為，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及角平分線的性質(zhì)的運用，解決問題的難點是利用角平分線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)，將的值轉(zhuǎn)化為的值．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·四川資陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為邊的中點，交的延長線于點E，交于點F，平分交于點G．有以下結(jié)論：①；②；③；④若，，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案:D分析：先判斷出，進而得出①②的結(jié)論；先判斷出，進而判斷出（AAS），得出，即可得出③的結(jié)論；先求出，進而求出，最后用勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】解：∵，平分，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴，故①正確；在與中，，∴（ASA），故②正確；延長交于，∵平分，，∴，平分，∵，∴，∴，在與中，，∴（AAS），∴，即，∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴，故③正確；在中，，∴，∵平分，∴，∴，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∴，故④正確，故選：D．【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線求出是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·重慶南岸·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，，，，則的長為___________．答案:分析：作交的延長線于點，連接，證明，再根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】如圖所示，作交的延長線于點，連接．∵，，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，，∴∴在中，可得：．所以，的長為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，正確作輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·江蘇南京·八年級?？计谥校┠嘲嗉壴谔骄俊皩④婏嬹R問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最小．解法：如圖1，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：(1)幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為______；(2)代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式（）的最小值；(3)幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，最小值是______．答案:(1)(2)5(3)分析：（1）作點E關(guān)于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為P，且的最小值為，進行求解即可；（2）構(gòu)造圖形如圖所示：，，AP=x，于A，于B，則，將代數(shù)式的最小值，轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題，進行求解即可；（3）作點關(guān)于直線的對稱點，作于，交于，連接，由將軍飲馬模型和垂線段最短，可知：的最小值即為：，進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，作點E關(guān)于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為P，且的最小值為，作交的延長線于F，交于點D，∵，，是的中點，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值，故答案為：；（2）構(gòu)造圖形如圖所示：，，AP=x，于A，于B，則；∴代數(shù)式的最小值就是求的值，作點關(guān)于的對稱點，過作交的延長線于E．則，，∴；∴所求代數(shù)式的最小值是5；（3）如圖：作點關(guān)于直線的對稱點，作于，交于，連接，由將軍飲馬模型和垂線段最短，可知：的最小值即為：；則，，∴，∴為等邊三角形，∵，∴，∴，即：的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查利用軸對稱解決線段和的最小值問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．理解并掌握將軍飲馬模型，是解題的關(guān)鍵．【培優(yōu)檢測】1．（2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，平分，于，，，則的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3答案:D分析：先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后計算，根據(jù)勾股定理即可得答案．【詳解】解：∵平分，，，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．2．（2023春·全國·八年級開學(xué)考試）如圖，在中，，．平分交于點D，下列說法：①；②；③點D在的中垂線上；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:C分析：根據(jù)，，平分，可得，從而得到，故①正確；然后設(shè)，可得，由勾股定理可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，故②錯誤；再由，可得，從而得到點D在的中垂線上，故③正確；可得到，故④正確，即可．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，故①正確；設(shè)，∵，，∴，∴，∵，，∴，即，故②錯誤；∵，∴，∴點D在的中垂線上，故③正確；∴，故④正確；故選：C【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的判定等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，平分，垂直平分，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．答案:C分析：先利用直角三角形的兩個銳角互余可得，再利用角平分線的定義可得，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得，進而可得，最后可得，再在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，從而利用角平分線的性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】解：，，平分，，垂直平分，，，，，，∴，在中，，∴，∴，，平分，，，，故選：C．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·天津南開·九年級南開翔宇學(xué)校?？计谀┤鐖D，是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則以下結(jié)論中錯誤的是（）．A． B． C． D．答案:D分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，則，；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，，，再根據(jù)勾股定理，三角形的面積，即可．【詳解】∵是等邊三角形，∴，，∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，∴，∴，∴A正確；∴等邊三角形，∴，∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴B正確；過點作于點，∴，，∴，∴，∴，∴，∴C正確；∵是直角三角形，∴，∴D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查三角形和旋轉(zhuǎn)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的運用．5．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，是等腰三角形，，，交于E，，則的值為（

）A．7 B． C．8 D．答案:B分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等式的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，∴，故選：B．【點睛】此題參考直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，證得是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┤鐖D，在等腰中，斜邊AB的長為4，D為AB的中點，E為AC邊上的動點，交BC于點F，P為EF的中點，連接PA，PB，則的最小值是（

）A．3 B． C． D．答案:C分析：求兩條線段和最小問題，由得出點的運動路徑后，再由牧人飲馬問題的方法做出對稱點化折為直即可得到的最小值．【詳解】解：連接、，是等腰直角三角形，在中，為的中點，同理點在的垂直平分線上運動，作關(guān)于垂直平分線的對稱點，的最小值為，為中點，，在中故選：C【點睛】本題考查了以等腰直角三角形為背景的最短路徑問題，找出的運動路徑是解決問題的關(guān)鍵．7．（2023秋·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中校考期中）如圖，在中，的平分線交于點E，交于G，，連接交于點H、下列結(jié)論：①若將沿折疊，則點E一定落在上；②圖中有8對全等三角形；③；④若，則，上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案:C分析：由，得，由，得，先證明，得，則垂直平分，再證明，得，若將沿折疊，則點E一定落在上，可判斷①正確；可證明，得，則垂直平分，可知與互相垂直平分，則，可列舉出原圖中的9對全等三角形，可判斷②錯誤；連接，則，得，可推導(dǎo)出，再證明，則，可判斷③正確；作于點L，則，由，得，則，再證明，則，于是求得，則，可判斷④正確，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴點A、點E都在的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴若將沿折疊，則點E一定落在上，故①正確；∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴垂直平分，∴與互相垂直平分，∴，在原圖中，這四個三角形全等，就可組成6對全等三角形，還有，再加上前面證明的，上述的全等三角形已達到9對，超過8對，故②錯誤；連接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故③正確；作于點L，則，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，故④正確，故選：C．【點睛】此題重點考查全等三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求多邊形的面積等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線并且證明有關(guān)的三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·重慶大渡口·八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰中，，，點和分別是和上兩點，連接，將沿折疊，得到，點恰好落在的中點處，與交于點，則折痕的長度為（）A． B． C． D．答案:C分析：在Rt中，求出，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，求得，在中，求出，過點怍于點，則，設(shè)，則，在Rt中，，可求，在Rt中，，可求，則．【詳解】解∶由折疊可知，，等腰Rt中，，，是的中點，，在Rt中，，，設(shè)，則，在中，，，，在Rt中，，過點作于點，，，設(shè)，則，在Rt中，，在Rt中，，，，，故選∶C．【點睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊的邊長為8．P，Q分別是邊上的點，連接交于點O，，則＝_____；若＝5，則＝_____．答案:

7分析：由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)可得，由外角的性質(zhì)可求出，過點A作于D，求出和的長，由勾股定理可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，在與中，，∴，∴，∴，∴；過點A作于D，∵，是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案為：，7．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰直角三角形，，是斜邊的中點，以點為頂點作等腰直角，分別交邊，于點，．若，，則的面積是______．答案:25分析：連接，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出，求出，根據(jù)證，可推出的長，根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出和，根據(jù)三角形的面積公式求出即可.【詳解】連接∵等腰直角三角形,∵D為的中點，平分,,在和中,根據(jù)勾股定理得：得面積是：故答案為：25．【點睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識點，構(gòu)造三角形，證出是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰中，，，以為邊向上作等邊，點，分別是邊，上的動點，且，當(dāng)是直角三角形時，的長為______．答案:或分析：連接EF，當(dāng)時，延長交于M，延長交于N．首先證明，，，根據(jù)，構(gòu)建方程解決問題即可，當(dāng)時，方法類似．【詳解】連接，當(dāng)時，延長交于，延長交于N．∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，同法可證，，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∴．當(dāng)時，同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．12．（2023春·重慶江北·八年級重慶十八中?？计谥校┤鐖D，中，，，，將邊沿翻折，使點A落在上的點D處；再將邊沿翻折，使點B落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點E、F，則線段的長為____________．答案:分析：由折疊可知可得，知，根據(jù)，，用面積法可得，由勾股定理得，即得，故．【詳解】解：由折疊可知，，，，，，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【點睛】本題考查圖形的折疊，熟練掌握勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·上海徐匯·八年級校聯(lián)考期末）如圖，點是的邊的中點，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點到直線的距離為_______答案:分析：連接，延長交于點G，作于點H，如圖所示，由折疊的性質(zhì)及中點性質(zhì)可得三角形為直角三角形，且G為中點，從而，由勾股定理可得的長，再根據(jù)，即，從而可求得的長．【詳解】解：連接，延長交于點G，作于點H，如圖所示，由折疊的性質(zhì)可得：，則為的中垂線，∴，∵D為中點，∴，∴，∵，即，∴，即，在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，點到直線的距離，直角三角形的判定、勾股定理、線段中垂線的判定，解決本題的關(guān)鍵是利用面積相等求相應(yīng)線段的長．14．（2023秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，于D，平分，交于G，，，則___________．答案:####4.2分析：連接，先證明，得，再計算和的長，根據(jù)面積法可得的長，由勾股定理計算的長，最后由線段的差可得結(jié)論．【詳解】如圖，連接，