小滑車倒擺系統(tǒng)

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

例

設(shè)有一個倒立擺安裝在馬達傳動車上，如圖2.4所示。倒立擺不是穩(wěn)定的，如果沒有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔迷谒厦?，它將隨時可能向任何方向傾倒。這里只考慮二維問題，即認為倒立擺只在圖2.5所示平面內(nèi)運動。控制力u作用于小車上。假設(shè)擺桿的重心位于其幾何中心A。試求該系統(tǒng)的運動方程式。

解：（1）設(shè)輸入作用力為u，輸出為擺角θ。（2）寫原始方程式。設(shè)擺桿中心A的坐標(biāo)為，于是

畫出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖2.5所示。oF圖2.5隔離體受力圖yMxllθAmgVVHHlcosθo圖2.4倒立擺系統(tǒng)yFxθmgllPMA第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型式中，J為擺桿圍繞重心A的轉(zhuǎn)動慣量。擺桿重心A

沿x軸方向運動方程為擺桿重心A

沿y軸方向運動方程為即（2.1）（2.2）即擺桿圍繞中心A點轉(zhuǎn)動方程為小車沿x軸方向運動方程式為（2.3）（2.4）方程（2.1）~（2.4）為車載倒立擺系統(tǒng)運動方程組。因為還有sinθ和cosθ項，所以為非線性微分方程組。中間變量不易相消。

把J的表達式代入，聯(lián)合幾個方程式得到如下的非線性方程組：設(shè)則有如下非線性狀態(tài)方程組：面對這樣的非線性問題，我們?nèi)绾翁幚砟兀?/p>

（比它簡單的問題如何解決？）線性問題如何處理？如何做線性問題的最優(yōu)控制？如何把最優(yōu)控制轉(zhuǎn)化為模糊控制？如何把非線性問題化成若干個線性問題？多個模糊控制如何綜合？線性問題的最有控制理論對于線性時不變（LTI）系統(tǒng)：反饋控制系統(tǒng)：假定有n

個傳感器，使全部狀態(tài)變量均可以用于反饋。（2）則有（3）輸出反饋采用（4）H為常數(shù)矩陣兩者比較：狀態(tài)反饋效果較好；輸出反饋實現(xiàn)較方便。線性二次型(LQ)最優(yōu)控制器的任務(wù)是設(shè)定Q、R、N設(shè)計出最優(yōu)控制器K（H）使線性二次型最優(yōu)控制指標(biāo)(代價函數(shù))：

最小由于線性二次型的性能指標(biāo)易于分析、計算、處理，可得到要求的代數(shù)結(jié)果，相角裕量的優(yōu)點，因而在控制系統(tǒng)的各個領(lǐng)域內(nèi)都得到了廣泛地重視和應(yīng)用。然而，線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)控制的閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)與加權(quán)系數(shù)矩陣Q和R之間存在著非常復(fù)雜的對應(yīng)關(guān)系，這就給加權(quán)矩陣的選擇帶來許多困難，目前普遍采用的仿真試湊法無疑限制了LQR設(shè)計方法在工程上的推廣應(yīng)用。采用試湊法獲得的最優(yōu)控制是“人工”意義下的最優(yōu)，而不是真正意義上的最優(yōu)。因而采用基于仿真(Matlab)的優(yōu)化方法求取最滿意解是解決這類問題的最佳途徑。

LQ和LQG最優(yōu)控制函數(shù)

函數(shù)名稱和典型輸入變元功能lqr(A,B,Q,R,N)連續(xù)系統(tǒng)的LQ調(diào)節(jié)器設(shè)計lqr2(A,B,Q,R,N)連續(xù)系統(tǒng)的LQ調(diào)節(jié)器設(shè)計dlqr(A,B,Q,R)離散系統(tǒng)的LQ調(diào)節(jié)器設(shè)計lqry(A,B,Q,R)系統(tǒng)的LQ調(diào)節(jié)器設(shè)計lqrd(A,B,Q,R,Ts)連續(xù)代價函數(shù)的離散LQ調(diào)節(jié)器設(shè)計最優(yōu)控制假設(shè)線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：尋求控制函數(shù)u(t)使得如下的二次目標(biāo)函數(shù)最?。焊鶕?jù)泛函分析的極值原理，可以得到最優(yōu)控制規(guī)律：例題設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)計最優(yōu)控制器KA=[0,1,0;0,0,1;-1,4,-6];B=[0,0,1]’;C=[1,0,0];D=0Q=diag([1,1,1]);R=1;K=lqr(A,B,Q,R)K1=K(1)Ac=A-B*K;Bc=B*K1;Cc=C;Dc=DStep（Ac,Bc,Cc,Dc）；最優(yōu)控制轉(zhuǎn)化為模糊控制最優(yōu)控制轉(zhuǎn)化為模糊控制的困難在于沒有一種好的辦法來“計算”出規(guī)則，其中的可變性太多了。有概念、推理規(guī)則、推理辦法、去模糊化辦法。1985年日本人Takagi-Sugeno提出了一種新的模糊推理方式：函數(shù)式模糊推理。為這種轉(zhuǎn)化找到了通路，kang完善了他們的想法。函數(shù)式模糊規(guī)則此種模糊規(guī)則有時又稱做“Sugeno”

模糊規(guī)則”或“TSK模糊規(guī)則”。此種線性式模糊規(guī)則的優(yōu)點是其參數(shù)可以很容易地從數(shù)值型數(shù)據(jù)中鑒別出來；其缺點是相較于語意式模糊規(guī)則，此種模糊規(guī)則較不具有邏輯上的意義，因此較不容易將由人類專家所提供的語意式信息和從實驗中得到的數(shù)值型數(shù)據(jù)，整合起來用以建立函數(shù)模糊規(guī)則。前提：xisx0andyisy0模糊規(guī)則一：IfxisA1andyisB1

Thenzisf1(x,y)模糊規(guī)則二：IfxisA2andyisB2

Thenzisf2(x,y)令代表第i個模糊規(guī)則的權(quán)重，并且fi(x0,y0)為第i個模糊規(guī)則經(jīng)過推論后所得到的結(jié)果，最后利用“加權(quán)平均法”來去模糊化，整體最后的輸出z*為：

范例：函數(shù)式模糊規(guī)則(1)

Ifxissmall

Theny=2x

Ifxismedium

Theny=-x+3

Ifxislarge

Theny=x-1我們采用的是“加權(quán)平均法”來去模糊化。

如果我們在線性式的模糊規(guī)則中，使用(1)高斯函數(shù)作為隸屬度函數(shù)、(2)最大乘積合成于模糊推論、以及(3)加權(quán)式平均法來去模糊化，則Takagi-

Sugeno的線性式模糊規(guī)則的輸出就是：其中J

代表模糊規(guī)則數(shù)，以及代表第j

條模糊規(guī)則經(jīng)過推論后所得到的結(jié)果，亦即其中p

代表輸入變量的維度，以及明確輸入，而權(quán)重代表輸入變量對第j

條模糊規(guī)則的前鑒部的權(quán)重，可用下式求得：

其中代表對模糊集合的隸屬度，結(jié)合上兩式，我們可以導(dǎo)出一個多變量的非線性近似器(nonlinearapproximator)。事實上，若是要以一組線性式模糊規(guī)則作為通用近似器(universalapproximator)，在線性式模糊規(guī)則的后部中只需要一個常數(shù)項即可，只要保留此常數(shù)項，所導(dǎo)出的系統(tǒng)輸出為其中模糊規(guī)則的建立第一種也是最直接的方式就是經(jīng)由詢問人類專家而得。

1.人類專家往往無法完整地提供所有必需的語意式模糊規(guī)則，以致于規(guī)則庫的不完全。

2.其效果則深受(1)規(guī)則庫的完整與否，以及(2)所使用的隸屬度函數(shù)是否能正確地反應(yīng)出輸入/輸出變量間的模糊關(guān)系所影響。第二種取得語意式模糊規(guī)則的方式，則是經(jīng)由訓(xùn)練法則，將數(shù)值型資料（numericaldata）中取得模糊規(guī)則，此種作法往往牽涉如何分割輸入及輸出變量空間，以及如何建立模糊規(guī)則中前鑒部以及后鑒部之相對應(yīng)關(guān)系，這些方法所建立起來的模糊規(guī)則，可以依照輸入空間的切割方式分成兩類：

1.均勻式切割法：此種方法有兩個主要缺點：（1）若輸入向量的維度很高時，會導(dǎo)致模糊規(guī)則的數(shù)目增長得很快；(2)如果輸入變量間的相關(guān)性(correlation)很高，將導(dǎo)致輸入空間被分割得相當(dāng)?shù)丶氈拢苑磻?yīng)出輸入變量間的相關(guān)程度。2.非均勻式切割法：我們其實可以直接切割整個模糊空間成許多個模糊集合，而不是在每一輸入維度上切割。這種方法雖然可以有效地降低所需的規(guī)則數(shù)目、以及反映出變量間的關(guān)連性，但付出的代價有二：（1）增加后續(xù)建模(modeling)工作的困難度（即規(guī)則數(shù)目的選定及隸屬度函數(shù)的參數(shù)之調(diào)整等工作）；（2）此種模糊規(guī)則較不易解讀。利用類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)特質(zhì)，想辦法從數(shù)值型數(shù)據(jù)中，借著鏈接值的調(diào)整，歸納出相關(guān)的輸入/輸出關(guān)系，然后，再從網(wǎng)絡(luò)的鏈接值中，提取出模糊規(guī)則來。均勻式切割法:If Then

或非均勻式切割法:If Then 模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊化類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)均勻式切割法:三種最典型的「模糊化類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)」分別為：(1)

適應(yīng)性網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的模糊推論系統(tǒng)(adaptivenetwork-basedfuzzyinferencesystem簡稱為ANFIS)。(2)模糊適應(yīng)性學(xué)習(xí)控制網(wǎng)絡(luò)(fuzzyadaptivelearningcontrolnetwork簡稱為FALCON)。(3)倒傳遞模糊系統(tǒng)(backpropagationfuzzysystem)。

基本上，這三種網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)中，第一層的隱藏層類神經(jīng)元，所執(zhí)行的是隸屬度函數(shù)值的運算（即兼容程度性的計算），接下來的類神經(jīng)元執(zhí)行『

且(AND)』的運算，以便獲得模糊規(guī)則的前部的權(quán)重，然后，有一層的類神經(jīng)元執(zhí)行『或(OR)』的運算，以便將所有模糊規(guī)則的前部的權(quán)重聯(lián)集起來，最后位于輸出層的類神經(jīng)元便執(zhí)行去模糊化的運算，以便提供明確的輸出值。非均勻切割法:模糊化多維矩形復(fù)合式類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(FuzzyHyperRectangularCompositeNeuralNetwork

簡稱為FHRCNN是執(zhí)行非均勻式切割法的一種典型模糊化類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。適應(yīng)性網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的模糊推論系統(tǒng)我們令模糊系統(tǒng)只有二個輸入變量，x,y、一個輸出變量，z；因此，我們可以將函數(shù)式模糊規(guī)則（Sugeno模糊規(guī)則）表示如下：模糊規(guī)則模糊規(guī)則適應(yīng)性網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的模糊推論系統(tǒng)第一層：第一層的類神經(jīng)元執(zhí)行輸入與相關(guān)模糊集合的「兼容程度性」之運算，計算如下：第二層：第二層的類神經(jīng)元標(biāo)示為Π，執(zhí)行的式模糊規(guī)則的「權(quán)重」計算，計算如下：第三層：第三層中的類神經(jīng)元標(biāo)示為N，執(zhí)行的是將權(quán)重正規(guī)化運算，計算如下：第四層：第四層的類神經(jīng)元執(zhí)行的是，每個模糊規(guī)則之后鑒部該執(zhí)行多少之運算，計算如下：第五層：第五層只有單一個類神經(jīng)元，標(biāo)示為Σ，計算前一層中類神經(jīng)元輸出值的總合，以作為最后網(wǎng)絡(luò)的輸出值：經(jīng)由上述的說明可知，適應(yīng)性網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的模糊推論系統(tǒng)(ANFIS)和以函數(shù)式模糊規(guī)則所組成之模糊系統(tǒng)是等效的。其實，網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該安排成幾層的結(jié)構(gòu)，以及每一層中的類神經(jīng)元所執(zhí)行的運算，都是可以視其需要而加以改變的，只要每一層中的類神經(jīng)元所執(zhí)行的運算都是有意義的模塊化函數(shù)即可。由于模糊推理本身不具備自學(xué)習(xí)功能，其應(yīng)用受到了很大限制，而人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)又不能表達模糊語言，實際上類似一個黑箱，缺少透明度，所以不能很好地表達人腦的推理功能。而基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊推理系統(tǒng)ANFIS(AdaptiveNetwork-basedFuzzyInferenceSystem)則可將二者有機地結(jié)合起來，既能發(fā)揮二者的優(yōu)點，又可彌補各自的不足。模糊控制系統(tǒng)原來有一個很明顯的缺點，這就是它缺乏有效的學(xué)習(xí)機制。自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊控制系統(tǒng)的優(yōu)異之處在于可以用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)機制補償模糊控制系統(tǒng)原有的缺點。MATLAB的模糊工具箱中與ANFIS設(shè)計建模相關(guān)的函數(shù)有anfis,anfisedit,genfis1，anfis功能：利用自適應(yīng)神經(jīng)算法進行模糊系統(tǒng)的訓(xùn)練（參數(shù)學(xué)習(xí)）。格式：[fismat1,error1,stepsize]＝anfis(trnData)[fismat1,error1，stepsize]＝anfis(trnData,fismat)[fismat1,error1，stepsize]＝anfis(trnData,fismat,trnOpt,dispOpt)[fismat1,error1,stepsize,fismat2,error2]＝anfis(trnData,trnOpt,dispOpt,chkData)[fismat1,error1，stepsize,fismat2,error2]＝anfis(trnData,fismat,trnOpt,dispOpt,chkData)[fismat1,error1，stepsize,fismat2,error2]＝anfis(trnData,fismat,trnOpt,dispOpt,chkData,optMethod)說明：該函數(shù)是用于Sugeno型模糊系統(tǒng)的參數(shù)訓(xùn)練的最主要的程序。它使用混合學(xué)習(xí)算法來確定模糊推理系統(tǒng)的參數(shù)，采用的是最小二乘和梯度下降結(jié)合的算法來訓(xùn)練FIS系統(tǒng)的隸屬度函數(shù)參數(shù)，使得系統(tǒng)能夠模擬給定的模擬數(shù)據(jù)。此函數(shù)通過一個可選的參數(shù)可以用來進行模型的有效性確認。參數(shù)fismat1為學(xué)習(xí)完成后得到的對應(yīng)最小均方根誤差的模糊推理系統(tǒng)矩陣；errorl為訓(xùn)練的均方根誤差向量；stepsize為訓(xùn)練步長向量。當(dāng)指定檢驗數(shù)據(jù)后，輸出向量為五維參數(shù)向量，參數(shù)fismat2為對檢驗數(shù)據(jù)具有最小均方根誤差的模糊推理系統(tǒng)error2為檢驗數(shù)據(jù)對應(yīng)的最小均方根誤差向量。trnData為用于訓(xùn)練學(xué)習(xí)的輸入輸出數(shù)據(jù)矩陣。該矩陣的每一行對應(yīng)一組輸入輸出數(shù)據(jù)，其中最后一列為輸出數(shù)據(jù)。fismat是用于指定初始的模糊推理系統(tǒng)參數(shù)（包括隸屬度函數(shù)類型和參數(shù)）的矩陣，該矩陣可使用函數(shù)fuzzy通過模糊推理系統(tǒng)編輯器生成，也可使用函數(shù)genfis1由訓(xùn)練數(shù)據(jù)直接生成。參數(shù)trnOpt為一個五維向量，其各個分量的定義如下：trnOpt(1):訓(xùn)練的次數(shù)，缺省為10trnOpt(2)：期望誤差，缺省為0;trnOpt(3)：初始步長，缺省為0.01；trnOpt(4)：步長遞減速率，缺省為0.9；trnOpt(5)：步長遞增速率，缺省為1.1。

參數(shù)dispOpt用于控制訓(xùn)練過程中MATLAB命令窗口的顯示內(nèi)容，共有四個參數(shù)，分別定義如下：dispOpt(1)：顯示ANFIS的信息，缺省為1；dispOpt(2)顯示誤差測量，缺省為1dispOpt(3):顯示訓(xùn)練步長，缺省為1dispOpt(4)顯示最終結(jié)果，缺省為1chkData,該參數(shù)為一個與訓(xùn)練數(shù)據(jù)矩陣有相同列數(shù)的矩陣，用于提供檢驗數(shù)據(jù)。函數(shù)最后一個可選的參數(shù)是optMethod,指明網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法，可以取1和0。當(dāng)取1時選用(hybrid)混合算法，取0時采用反向傳播算法(backpropagation),缺省時采用hybrid算法，也就是最小二乘的方向傳播算法。函數(shù)genfis1利用anfis函數(shù)進行模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法建模，除了給定系統(tǒng)期望的輸入輸出數(shù)據(jù)之外，還必須提供一個初始模糊推理系統(tǒng)(anfis函數(shù)的第二個輸入?yún)?shù)fismat),否則anfis函數(shù)會自動調(diào)用genfis1來按照給定的輸入輸出數(shù)據(jù)生成一個缺省的系統(tǒng)。在程序里使用genfis1函數(shù)的作用是先根據(jù)一定的專家經(jīng)驗給出一個系統(tǒng)的大致結(jié)構(gòu)。這個過程有時是非常重要的。

功能：采用網(wǎng)格分割方式生成初始Sugeno型模糊推理系統(tǒng)。格式：fismat＝genfis1(data)fismat＝genfis1(data,numMFs,inmftype,outmftype)說明：該函數(shù)是用于建立一個初始Sugeno型模糊系統(tǒng)以供函數(shù)anfis訓(xùn)練使用，使用的是網(wǎng)格分割法。

在輸入?yún)?shù)中，data為給定的輸入／輸出的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集合。當(dāng)有n個輸入?yún)?shù)時，data是n+1列的矩陣，其中前n列是輸入的變量，最后一列是對應(yīng)的輸出。參數(shù)numMFs：為一個整數(shù)向量，用于指定輸入變量的隸屬度函數(shù)個數(shù)，可以用一個數(shù)值表示所有輸入變量具有相同數(shù)目的隸屬度函數(shù)。如果是向量，則分別指明每一個輸入變量的隸屬度函數(shù)個數(shù)。參數(shù)mfType：用于指定隸屬度函數(shù)的類型，為字符串?dāng)?shù)組（分別指明輸入變量的隸屬度類型）或是單個字符串（所有變量使用同種隸屬度函數(shù)類型）。參數(shù)Outmftype：用于指定輸出（MATLAB的自適應(yīng)神經(jīng)模糊模型只支持一個輸出變量）的隸屬度函數(shù)類型，取值可以是“

constant”或“

linear”。fismat為生成的模糊推理系統(tǒng)矩陣。例4.2建立一個模糊推理系統(tǒng)，對輸入數(shù)據(jù)集(x=(0:0.1:10),y＝sin(2*x)./exp(x/5))進行模擬，即根據(jù)一組100點數(shù)據(jù)用模糊推理機制來構(gòu)造（模擬）函數(shù)Y。x=[0:0.1:10];y=sin(2*x)./exp(x./5);trnData=[x'y'];numMFs=5;%5條隸屬度函數(shù)mfType='gaussmf';%采用高斯型隸屬度函數(shù)，也可以選用其他種類的隸屬度函數(shù)epoch_n=20;%訓(xùn)練的次數(shù)in_fismat=genfis1(trnData,numMFs,mfType);out_fismat=anfis(trnData,in_fismat,epoch_n);plot(x,y,'o',x,evalfis(x',out_fismat),'k');legend('TrainingData','ANFISOutput');有了模糊推理學(xué)習(xí)系統(tǒng)有了原始的被控系統(tǒng)如何把兩者聯(lián)系起來？解決“學(xué)習(xí)什么”的問題?。?！如果是線性系統(tǒng)，如何控制？最優(yōu)控制理論！不是線性的如何？局部線性化?。?！把非線性問題化為線性問題函數(shù)在工作點附近展開，取到一階近似。Matlab已經(jīng)為我們做好了。函數(shù)：一個點不行，必須在多個點做線性化，做最優(yōu)控制1.劃分的模糊空間2.用上述的每個離散狀態(tài)空間點X1,X2,…，Xn來線性化線性車棒模型，選擇合適的LQR控制參數(shù)Q，R，N，設(shè)計出線性最優(yōu)控制器K1,K2,…，Kn

。其中Q，R，N可以取為相同，也可以按需要選擇不同的值，這里為了簡便，選擇相同的值。3.自學(xué)習(xí)模糊控制器向K1,K2,…，Kn

學(xué)習(xí)。1空間劃分在每一個狀態(tài)上均勻劃分％函數(shù)order.mfunctionh=order(x)l=length(x);％計算輸入變量個數(shù)ll=prod(x)：h=[]：％計算總數(shù)據(jù)點數(shù)N＝n1xn2xn3xn4fori