2024年新高考數學一輪復習-導數恒成立與有解問題

專題18導數恒成立與有解問題

一、【知識梳理】

【方法技巧】

1.分離參數法解決恒(能)成立問題的策略

(D分離變量.構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

(2)恒成立0432f(x)max；

aS廣(X)恒成立OaW廣(x)min；

a^f{x)能成立=己2廣(x)min；

aWF(X)能成立f{x)max.

2.根據不等式恒成立求參數范圍的關鍵是將恒成立問題轉化為最值問題,此類問題關鍵是對

參數分類討論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只

需找一個值或一段內的函數值不滿足題意即可.

3.含參不等式能成立問題(有解問題)可轉化為恒成立問題解決，常見的轉化有：

⑴必3X2^N,/*(Xl)>g(X2)=F(X)min>g(x)min.

⑵XfXlGM,弋X2WN,/(^1)>^(^2)min><g(^)max.

(3月矛1￡憶3X2GN,_f(xi)>g(E)Q_f(x)max>g(x)min.

⑷三荀￡憶YXzRN,f(^1)>g(X2)max>^(A)max.

4.在解決不等式恒(能)成立,求參數的取值范圍這一類問題時,最常用的方法是分離參數法,

轉化成求函數的最值，但在求最值時如果出現“也'型的代數式，就設法求其最值.“也'型

的代數式，是大學數學中的不定式問題，解決此類問題的有效方法就是利用洛必達法則.

洛必達法則

法則1若函數f(x)和g(x)滿足下列條件

(1)lim_f(x)=O及l(fā)img(x)=0；

x--ax-*-a

⑵在點a的某去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且H(x)W0；

一

(3)lim/〉那么lim:;=lim,}=A.

Lag(A)x-ag^X)x-ag(㈤

法則2若函數Ax)和g(x)滿足下列條件

(1)lim/*(分=8及l(fā)img{x}=00.

x-axfa

⑵在點a的某去心鄰域內，Ax)與g(x)可導且g，(x)N0；

/\f'(x)F”/f'(x)

(3)lim/)、=/，那么lim：/(［A)=lini

x-ag(A)x-a雙切x-ag(切

二、【題型歸類】

【題型一】分離參數法求參數范圍

【典例1】已知函數_f(x)=e"+&r-x.

⑴當3=1時，討論Ax)的單調性；

(2)當x20時，f{x}+1?求a的取值范圍.

【解析】(1)當a=l?時，f(x)=ex+x-x,x￡R,

ff(x)=e'+2x—1.

故當x￡(—8,0)時，f'(A)<0；

當(0,+8)時，f'(x)>0.

所以F(x)在(一8,0)單調遞減，在(0,+8)單調遞增.

⑵由F(x)N1f+l得，

e'+af—xN^d+l,其中xNO,

①當x=0時，不等式為121,顯然成立，此時adR.

②當x>0時，分離參數a,

x131

e-x-]

得32—2，

x

x131

e~2X~x~]

記g(x)=-------2---------------，

x

(X-2)\Qx—^x—x—1\

g'(x)=_-----------3----------.

1

X

令爾x)2-1(x〉0),

則〃(x)=e"—x—4,令〃(x)=e*—x—1,

H'(x)=e"一l〉0,

故〃(x)在(0,+8)上是增函數，

因此"(x)>〃(0)=0,故函數爾x)在(0,+8)上遞增,

.,"(X)>爾0)=0,即e"1—，』一x—1〉0恒成立,

故當xd(0,2)時，g'(x)>0,故￡)單調遞增;

當xG(2,+8)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減.

7_e2

因此，g⑸max=g(2)="，

綜上可得，實數a的取值范圍是

【典例2］已知函數F(x)=l+ln*

X

(1)若函數F(x)在區(qū)間(a,a+J上存在極值，求正實數a的取值范圍；

k

⑵如果當時，不等式F(x)一工20恒成立，求實數4的取值范圍.

x十1

【解析】(1)函數的定義域為(0,+8),

,/、1—1—InxInx

f'(x)=-----2——二一^^，

XX

令f'(x)=0,得x=l.

當x￡(0,1)時，f'(x)>0,f(x)單調遞增；

當x￡(l,+8)時，f'(x)V0,F(x)單調遞減.

所以x=l為函數F(x)的極大值點，且是唯一極值點，

所以0<a<l<a+^,

故;<a<l,即實數a的取值范圍為1)

(2)原不等式可化為當時，AW-(X+1)_(1+@X)恒成立,

(x+1)(1+lnx)

令g(x)=(xNl),

X

則g'(x)=

1+ln^+1+-x—(x+1)(1+lnx)

x.

xTnx

-X2?

再令力(x)=x—Inx(x21),

則3(A)=1--^0,

x

所以力(x)2/⑴=1,所以g'(x)>0,

所以g(x)為增函數，

所以g(x)2g⑴=2,

故72,即實數4的取值范圍是(-8,2].

【典例3]已知函數f{x)=(x—2)e'—.

(1)當a=0時，求曲線y=F(x)在點(0,HO))處的切線方程；

(2)當xN2時，_f(x)20恒成立，求a的取值范圍.

【解析】(1)當丁=0時,f(x)=1-2)e*,

廣(0)=(0—2)e°=-2,

f'(x)=(x—l)e:k=f'(0)=(0—1)e°=—1,

所以切線方程為y+2=—(x—0),

即x+y+2=0.

(2)方法一當xN2時，F(x)20恒成立，等價于當時，(x—2)e'-1ax2+zxN0恒成

立.

即住/一(x—2)e*在［2,+8)上恒成立.

當x=2時，0?aWO,所以a￡R.

當x>2時，~x~x>0f

所以aw(：—2)e'=紅恒成立.

12X

~X—X

設g(x)=旦，則g'(x)=2(x、l)e：

XX

因為x>2,所以g'(x)〉0,

所以g(x)在區(qū)間(2,+8)上單調遞增.

所以g(x)>g(2)=e)所以aWe)

綜上所述，a的取值范圍是(-8,1］.

方法二/(x)=(x—1)(e*一a),

①當aWO時，因為x》2,

所以x—1>0,e—a>0,所以f(x)>0,

則f(x)在［2,+8)上單調遞增，

f(x)>f(2)=0成立.

②當0<aWe。時，f'(x)20,

所以f(x)在［2,+8)上單調遞增，

所以f(x)與f(2)=0成立.

③當aAe?時，在區(qū)間(2,Ina)上，f'(jr)<0；

在區(qū)間(Ina,+8)上，f'(入)〉0,

所以/1(x)在(2,Ina)上單調遞減，在(Ina,+8)上單調遞增，f(x)20不恒成立，不符

合題意.綜上所述，a的取值范圍是(一8,el.

【題型二】分類討論法求參數范圍

【典例1】已知函數f(x)=lnx—ax,a￡R.

⑴求函數F(x)的單調區(qū)間；

(2)若不等式F(x)+dVO在(1,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

【解析】(1)函數/"(X)的定義域為(0,+8),F(X)=:一a.

①當aWO時，f'(x)>0恒成立，

則f(x)只有單調遞增區(qū)間是(0,+8).

②當己>0時，由/(x)>0,

得0<xV±

a

由「UX0,得x*；

所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,3),單調遞減區(qū)間是g,+8).

(2)F(x)+aV0在(1,+8)上恒成立，即Inx—a(x—1)V0在(1,+8)上恒成立.

設g(x)=lnX—H(X—1),x>0,則g，(x)=：—2注意到g(l)=0,

①當時，g'(入)<0在X￡(1,+8)上恒成立，

則g(x)在x￡(l,+8)上單調遞減，

所以g(x)Vg⑴=0,即時滿足題意.

②當OVwVl時，令H(入)>0,

得0VxV±

a

令g，(x)V0,得

a

則g(x)在(1,J上單調遞增，

所以當時，g(x)>g(l)=o,

即0<a<l時不滿足題意(舍去).

③當aWO時，g'(x)=-a>0,

則g(x)在(1,+8)上單調遞增，

所以當xe(l,+8)時,g(x)>g(l)=0,

即aWO時不滿足題意(舍去).

綜上所述，實數a的取值范圍是［1,+8).

【典例2］已知函數『(x)=(x+a—l)e",g{x)+ax,其中a為常數.

(1)當a=2時，求函數f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若對任意的xe［0,+8),不等式f(x)Ng(x)恒成立，求實數a的取值范圍.

【解析】(1)因為a=2,所以/U)=(x+l)e*,所以,(0)=1,

f'(x)=(x+2)e”,所以F(0)—2,

所以所求切線方程2x—y+l=0.

(2)令方(x)=f(x)一g(x),

由題意得力(x)min20在［0,+8)上恒成立，

因為力(x)=(a~1)ex—~x—ax,

所以〃(x)=(x+a)(e、一1).

①若則當x￡［0,+8)時，〃(工)20,所以函數力(x)在［0,+8)上單調遞增，

所以力(X)min=^(O)~a—\,

則a-1^0,得心1.

②若乃<0,則當［0,—己)時，h'(x)W0；

當［—a+8)時，H(x)20,

所以函數力(x)在［0,一力上單調遞減，在［―a+8)上單調遞增，

所以力(X)min=/?(—d),

又因為力(一a)V力(0)=a—ivo,所以不合題意.

綜上，實數,的取值范圍為［1,+8).

【典例3】已知函數_f(x)=ae'T—lnx+lna.

⑴當a=e時，求曲線尸f(x)在點(1,F(l))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

⑵若F(x)21,求己的取值范圍.

【解析】f(x)的定義域為(0,+8),/(x)=ae*T—l

X

(1)當a=e時，F(x)=e'—lnx+1,f'(1)=e—1,曲線y=F(x)在點(1,F(l))處的切線

方程為y~(e+1)=(e—l)(x—l),即y=(e—l)x+2.

直線尸(e—l)x+2在x軸，y軸上的截距分別為一:，2.

e—1

2

因此所求三角形的面積為一-

e—1

(2)當0〈水1時,f(D=a+ln水1.

當a=l時，F(x)=e'f—Inx,f'(x)=e'f一士當(0,1)時，f'(x)<0；

x

當x￡(l,+8)時，/(x)>0.所以當x=l時，Ax)取得最小值，最小值為/U)=L從而

f{x)：B*1.

當a>l時，f(x)=aei—Inx+lna^e'-'—In

綜上，a的取值范圍是［1,+8).

【題型三】等價轉化求參數范圍

【典例1】已知函數f(x)=ei一乃才+lnx(3￡R).

⑴若函數F(x)在x=l處的切線與直線3x—p=0平行，求a的值；

(2)若不等式_f(x)21nx—a+1對一切［1,+8)恒成立，求實數己的取值范圍.

【解析】(1)/(x)=e-—a+1，

：.f'⑴=2—a=3,

??3.—-1,

經檢驗a——\滿足題意，，己=一1,

(2)f(x)21nx—a+1可化為

e'f-ax+a—120,x>0,

令(P(^)=exi—ax~\~a~\,

則當X￡［l,+8)時，0(X)min2O,

xl

■:仃(jr)=e~—a9

①當aW：時,O'(x)>0,

???0(X)在［1,+8)上單調遞增，

0(X)min=0(1)=1一己+己一1=020恒成立，

??.HW，符合題意.

e

②當於一時，令6,(x)=0,得x=lna+1.

e

當(0,Ina+1)時，6’(T)<0,

當x￡(lna+l,+8)時，〃(X)>0,

:.。(才)在(0,Ina+1)上單調遞減,

在(Ina+lf+8)上單調遞增.

當In4+1W1,即時，O(x)在［1,+8)上單調遞增,

0(X)min=0(1)=020恒成立，

.".-<5^1符合題意.

e

當Ina+l〉L即a>l時，O(x)在［1,Ina+1)上單調遞減，在(Ina+L+8)上單調遞

增，

0(x)gn=0(Ina+1)<0(1)=0與0(x)>O矛盾.故a〉l不符合題意.

綜上，實數a的取值范圍為(-8,1],

【典例2】已知函數/'(x)=-ax'+lnx(aGR).

⑴討論f(x)的單調性；

(2)若存在xG(l,+8),f(力〉一a,求a的取值范圍.

【解析】(1)函數F5)的定義域為(0,+°0),

/、11—2ax

f(x)=—2ax+~=z------

xx

當aWO時，f(x)>0,則/'(x)在(0,+8)上單調遞增,

當a>0時，由/(x)=0,得x=-7=

72a

由下(x)〉0,

由f(x)<0,

于是有f(x)在OO|上單調遞減.

(2)由f{x)>—a,

得a(/一1)-111x<0,(1,+°°),

—Inx<0,jr2—1>0,

當aWO時，<3(y—1)—InT<0,滿足題意;

當時,

令g(a)=笈(、-1)—Inx(x>l),

o—1

g'(x)=------->0,g(x)在(1,+8)上單調遞增，則g(x)>g(l)=0,不符合題意,

X

當0〈水；時,

kg⑴=o,

則當(Ka與時，ElxG(1,+°°),g(x)<0,

綜上，a的取值范圍為J,3

【典例3]已知函數廣(x)=3—(a+2)x+alnx,

⑴當少2時，求函數Ax)的單調區(qū)間；

⑵若存在x￡[l,+8),使/*(x)〈〃成立，求實數己的取值范圍.

,/、，/、/、、、a2x—(a+2)x+a(2x—a)(x—1)

【解析】(1),?3>0,F(x)=2x—(己+2)+-=--------——-——---------——

XXX

1,

當f'(x)〉0時，0<x<l或x>~,

當/(x)<0時，l<x1,

；"(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),已+8

單調遞減區(qū)間為(1,fl.

⑵?.?存在xG[1,+8)使f(x)<a成立oa>f(x)M

由(1)可得，①當少2時,

aa2a

aX)min=F4aIaln2〈石,

即ln1—^<2,

令方=*O(Z)=ln,

112--力

0/(1

----(X

t2-2t\

，0(力在(1,2)上單調遞增,在(2,+8)上單調遞減,

.1.0(%)max=。⑵=1112—1〈2恒成立，

即當力2時，不等式恒成立；

i>"上單調遞減，在與

(另解：當a>2時，/<x)在+8上單調遞增,

,卜/(1)=-1—a〈a.)

②當aW2時，f(x)在xd[l,+8)上單調遞增,

F(x)min=f(l)=—a—l<a,a>-

綜合①②得，實數a的取值范圍為(一f+8).

【題型四】雙變量的恒(能)成立問題

>

【典例1】設/(x)=2+xlnx,g(x)=￡—才2一3.

x

(1)如果存在的，用￡[0,2],使得g(x1)一g(X2)2〃成立，求滿足上述條件的最大整數可

⑵如果對于任意的s,崖;，2,都有/<s)2g(力成立，求實數a的取值范圍.

【解析】(1)存在不，x2e[0,2],

使得g(xi)—g(x2)2〃成立，

等價于[g(Xl)—g(x2)]max》〃成立.

g'(x)=3x—2x=x(3x—2),

2

令g'(㈤=0,得x=0或x=~f

_85

?々3廠27，

又g(o)=-3,又2)=1,

???當[0,2]時，g(x)max=g(2)=1,

?,?滿足條件的最大整數〃為4.

1

2

⑵對任意的s,te2一有f(s)2g(力,

則HOmin2g(X)max.

由(1)知當XG2時，g(X)max=g(2)=1,

-1

2

當2-時,f(x)=；+xln61恒成立,

」

即a^x—xlnx恒成立.

令力(x)=x~xlnx,x^\―,2

:?h'(x)=1—2xlnx-x,

令0(x)=l—2xlnx—x,

O'(x)=-3—21nx<0,

-1

-2

3(x)在上單調遞減,

?

」2

又〃⑴=0,

1

-

當2時，h'(x)20,

當[1,2]時，h'(x)WO,

1

-

：?h(x)在2上單調遞增，在［1,2］上單調遞減,

???力(X)max=/?⑴=1,

故心1.

J實數N的取值范圍是［1，+8).

【典例2］已知函數f(x)="-l)(xeR),a為正實數.

e

(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；

(2)若Vz,不等式"(荀)一代加1〈1恒成立，求實數a的取值范圍.

【解析】(1)因為/~(x)=&')-D(XGR),

e

所以/5)=上口

(xdR),

e

因為a>0,所以令/''(x)〉0,得0〈水3；

令，(x)<0,得木0或x>3.

所以/'(x)的單調遞增區(qū)間為(0,3),單調遞減區(qū)間為(-8,0)和(3,+8).

(2)由⑴知第￡)在(0,3)上單調遞增,在(3,4)上單調遞減，

所以f(x)在［0,4］上的最大值是A3)=、.

e

又/(0)=—水0,/(4)=115e-4>0,

所以F(0)〈f(4),

所以F(x)在［0,4］上的最小值為r(0)=-a

若Vxi,x2^［0,4］,不等式|—/1(入2)］<1恒成立，

則需/1(X)max—F(X)min〈l在［0,4］上恒成立，即廣(3)—/(0)<1,

5閂P3

即F+水1,解得13.

e5十e

Q3

又a>0,所以0<a<—,—3.

故實數a的取值范圍為0,

【典例3】設f{x)=xe,g(x)=^x+x.

⑴令b(x)=f(x)+g(x),求方(x)的最小值；

⑵若任意xi,劉￡[-1,+°°),且矛1>如有血_f(xi)—_f(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求實

數"的取值范圍.

【解析】(1)因為尸(x)=f(x)+g(x)

=xex+^x+x,

所以#(x)=(x+l)(e'+l),

令尸(x)〉0,解得x>—1,

令"(x)<0,解得；K-l,

所以6x)在(一8,—1)上單調遞減，

在(-1,十8)上單調遞增，

11

---

故1)=2e

⑵因為任思矛1,彭￡[—L+8),且為>如

有力"(小)一f(>2)]>g51)—g(x2)恒成立，

所以mf(xi)—g(Xi)>mf(X2)—g(X2)恒成立，

令力(x)=MTx)—g(x)=%的'一；才2—x,xEi[—1,+°°),即只需力(x)在[―1,+8)上單調

遞增即可.

故力/(x)=(x+1)(混一1)20在[-1,+8)上恒成立，故加2上而士1We,故w2e,

ee

即實數力的取值范圍是[e,+8).

【題型五】洛必達法則

【典例1】已知函數f(x)=(x+1)ln(x+l).若對任意x>0都有_f(x)>ax成立，求實數a

的取值范圍.

【解析】方法一令。(x)=F(x)—ax=(x+1)ln(x+l)—ax(x>0),

則O/(x)=ln(x+l)+1一2，

VJT>0,.\lnU+l)>0.

⑴當1一己2。即aWl時，O'(T)>0,

???0(x)在(0,+8)上單調遞增，

又0(0)=0,

???0(才)>0恒成立，故HWI滿足題意.

(2)當1—水0,即〃>1時，令O'(x)=0,Wx=ea~]—l,

：.x^(0,/T—l)時，6,(x)<0；

(ea-1—1,+8)時，0,(x)>0,

???0(x)在(0,e—-1)上單調遞減，在(/T—1,+8)上單調遞增，

,0(X)min=?！?)<0(0)=0與0(X)>0恒成立矛盾，故@>1不滿足題意.

綜上有wWl,故實數a的取值范圍是(一8,1].

方法二(0,+8)時，(x+1)ln(x+l)>ax恒成立，

即a〈(x+l)?(x+D恒成立.

令g(x)=(x+D;x+l)(x〉。),

(x)=I*+D

令k{x)=x—ln(jr+l)(jr>0),

，A(x)在(0,+8)上單調遞增.

?，?A(x)〉A(0)=0,

x—ln(^r+l)>0恒成立，

???/(x)>0,故g(x)在(0,+8)上單調遞增.

由洛必達法貝！J知limg(x)=lim^-^=lim[ln(^+l)+1]=1,

0x-,-OX^-*0

???aWl,故實數a的取值范圍是(一8,1].

【典例2】已知函數f(x)=x(e"—l)—af(a￡R).

(1)若Ax)在x=—1處有極值，求a的值.

(2)當x>0時，f(x)20,求實數a的取值范圍.

【解析】⑴/(x)=e-1+xe'—2ax

=(x+1)Q—lax—X,

依題意知f'(―1)=28一1=0,「,石=；?

(2)方法一當x>0時,f(x)20,

即x(e"—1)—ax^O,

即ex—\—ax^Q,

令O(x)=e"—l—ax(x>0),貝！J0(x)min2O,

6,(A)=ex—a.

①當aWl時，O'(x)=e"—GO,

:.0(才)在(0,+8)上單調遞增，

O(x)>。(0)=0,

???aWl滿足條件.

②當打>1.時，若0〈x〈lna,則6,(x)<0,

若x>ln2則0，(x)>0.

，。(才)在(0,Ina)上單調遞減，在(Ina,+8)上單調遞增,

O(x)min=0(lna)=a—1—alna20.

令g(a)=a—1—alna(a>l),

:?g，(a)=1—(1+lna)=—Ina<0,

???g(a)在(1,+8)上單調遞減.

Jg?<g⑴=0與g{a)20矛盾，

故。>1不滿足條件，

綜上，實數a的取值范圍是(-8,1].

方法二當x>0時,f{x}20,

即x(e'—l)~ax^0,

即e"—1—HX20,

即

X1

P—I

即aW——恒成立，

x

X1

P—I

令力(X)=-------(￡>0),

X

.h,7xeV-l)+l

??n\X)—2,

x

令k{x)=e*(x—1)+1(x>0),

.\k'(x)=e'?x>0,

.,.A(x)在(0,+8)上單調遞增,.??A(x)〉A(0)=0,

:?H(T)>0,

??"(x)在(0,+8)上單調遞增.

QX--1

由洛必達法則知，lim為(x)=lim-------=lime'=l,

x—0X-0XA--0

，aWl.

故實數a的取值范圍是(一8,1].

三、【培優(yōu)訓練】

1

【訓練一】已知為函數f(x)=x'lnX的極值點.

(1)求a的值;

(2)設函數g(x)二，若對VxP(O'+8),皿GR,使得廣⑸-久加川，求發(fā)的取值范

圍.

【解析】⑴/(x)=axFx+x一

=y-1(alnx+1),

卜1=0，解得a=2,

當a=2時，f(x)=x(21nx+1),函數F(x)在［。，福)上單調遞減,

+°°上單

調遞增,

1

所以X：為函數F(x)=x"nX的極小值點，因此a=2.

(2)由(1)知/1(x)min={/=—函數g(x)的導函數/(x)=4(1一x)e-“.

①當k>0時，

當xVl時，g'(x)>0,g(x)在(一8,1)上單調遞增;

當M>1時，g'(x)V0,g(x)在(1,+8)上單調遞減,

對Vxi@(0,+8),三上2=—"，使得g(x2)=g—e；V—IV—(Wxi),符合題意.

②當4=0時，g(x)=0,對有f(x)—g(x2)<0,不符合題意.

③當aV0時,

當xVl時，g'(x)V0,g(x)在(一8,1)上單調遞減;

當x>l時，g'(x)>0,g(x)在(1,+8)上單調遞增,

k

g(X)min=g(D=一,

e

若對"不￡(0,+°°),3A2^R,使得—g(就20,只需gJLnWAx)

解得kW—1.

綜上所述，A￡(—8,—1U(0,+°°).

【訓練二】已知函數『x)=b-x.

⑴若曲線P=F(x)在點(0,MO))處切線的斜率為1,求/U)的單調區(qū)間;

⑵若不等式廣(x)2ea，lnx-對x￡(0,e］恒成立，求女的取值范圍.

【解析】⑴/(x)=ab—1,則/(O)=a—1=L即片2.

:?f(x)=2e2%—1,令/(x)=0,得x=一42.

當求一」產時，f'(x)<0；

當x>-12時,f'(分>0.

故F(x)的單調遞減區(qū)間為(一8,一野，單調遞增區(qū)間為(一野，+8)

⑵由f{x}2e"lnjr-ax,xR(0,e］,

即a/—x》e''(lnx—1),有生^

ex

故僅需■,：―121nx—1即可.

ex

設函數g(x)，；T,

則Ine：―等價于巧》.

ex

,/、2—Inx

?"(x)=-j—,

???當x￡(0,e］時，g，(x)>0,則g(x)在(0,e］上單調遞增,

:.當三￡(0,e］時,g(e邙2g(x)等價于

即恒成立.

X

1nx

設函數爾x)=——，xe(0,e］,

X

11r>v11

貝！J力，(x)=-----2—三0,即力(x)在(0,e］上單調遞增，???力(x)max=/?(e)=—，貝!1石2-即可,

xee

，a的取值范圍為：，+8).

1——a

【訓練三】設函數F(x)=—Jf+ax—lnjr(aeR).

⑴當石=1時，求函數F(x)的極值；

a—1

(2)若對任意石￡(4,5)及任意xi,上2仁［1,2］,恒有一不加+ln2>"(XI)—_f(x2)|成立，求實

數必的取值范圍.

【解析】(1)由題意知函數Ax)的定義域為(0,+8).

x-］

當a=l時，_f(x)=x—lnx,f'(x)=l-—=----，

xx

當時，f'(x)<0,f(x)單調遞減，

當x>l時，f'(x)>0,F(x)單調遞增，

???函數f(x)的極小值為f(l)=l,無極大值.

⑵由題意知f'(x)=a)x+a—~

x

(1(x-￡}1)

=，

X

當(4,5)時，1—a<—3,OvJj；,

所以在區(qū)間［1,2］上，ff(x)W0,則/*(x)單調遞減，Hl)是Ax)的最大值，"2)是/'(x)的

最小值.

OQ

IF(xi)—f(x2)|W_f(l)—廣(2)~+ln2.

a—

???對任意(4,5)及任意xi,[1,2],恒有一屋z+ln2>|/1(荀)一代生)|成立,

a—1,a.3,/0a—3

.?.『z+ln2>---+ln2,得勿>R

.a—3221

Vae(4,5),

：?信①,故實數7的取值范圍是

Ip

【訓練四】設函數f(x)=——二，g(x)=a(f—D—Inx(aGR,e為自然對數的底數).

xe

⑴證明：當x>l時，廣(入)>0；

⑵討論g(x)的單調性；

⑶若不等式f(x)<g(x)對x￡(l,+8)恒成立，求實數a的取值范圍.

【解析】(1)證明：/<x)=Jr-,

xe

令令x)=ex~i~x,則sf(x)=e"T—l,

當x〉l時，s，(x)>0,所以s(x)在(1,+8)上單調遞增，又s(l)=0,所以s(x)>0,

從而當x>l時，f{x)>0.

/、，/、12加一1,、

(2)g(父=2ax-=------(￡>0),

xx

當aWO時，gf(x)<0,g(x)在(0,+8)上單調遞減,

當.3>0時，由W(x)=0得x=J第

g'(x)<0,g(x)單調遞減,

+8時，H(x)〉0,g(x)單調遞增.

(3)由(1)知,當x>l時，f{x}>0.

當HWO,X>1時,g(x)=a(f—1)—In水0,

故當f(x)〈g(x)在區(qū)間(1,+8)內恒成立時，必有-0.

1」1

當tz°〈水5時，市>1，

g(x)在[，出上單調遞減,

<g⑴=0,而，所以此時〃x)〈g(x)在區(qū)間

(1,+8)內不恒成立.

當時，令力(x)=g(x)—f(x)(x21),

當X>1時，〃(x)=2ax—工+二一e->x—2+二一

XXXXXXX

因此，力(X)在區(qū)間(1,+8)上單調遞增,

又又1)=0,

所以當x>l時，力(x)=g(x)—F(x)>0,

即f(x)<g(x)恒成乂.

綜上，a的取值范圍為

【訓練五】F(x)=xe\g(x)=~x+x.

(1)令分(x)=F(x)+g(x),求C(x)的最小值；

⑵若任意xi,劉￡[-1,+°°),且為>如有力"(矛1)—_f(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求實

數力的取值范圍.

【解析】(1)因為/(x)=F(x)+g(x)=xe、+；V+x,

所以#(x)=(x+l)(e'+l),

令F(x)>0,解得入>一1,

令尸(x)<0,解得水一1,

所以分(x)在(一8,—1)上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增.

故尸(入)?^=尸(一1)=一<一±

2e

(2)因為任意不，X2￡[—1,+°°),且矛1>如有而"(荀)一_f(x2)]>g(xi)—g(*2)恒成立，

所以mf(xi')—gkx、〉mf(x。一儀加恒成立.

h{x}=mf^x)-g{x)=mxQ—~x—x,[—L+°°),

即只需證爾X)在[-1,+8)上單調遞增即可.

故力'(x)=(x+1)(廢"一1)20在[―1,+8)上恒成立，

故必三二，而且We,故必2e,

ee

即實數力的取值范圍是[e,+8).

【訓練六】f^X)=XQX,g{x)+x.

⑴令尸(x)=f(x)+g(x),求尸(x)的最小值；

⑵若任意Xi,至￡[-1,+8),且荀>如有加f(xi)—f(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求實

數力的取值范圍.

【解析】(1)因為網X)=f(x)+g(x)=xe'+(x2+x,

所以/(x)=(x+L)(e*+l),

令尸(x)〉0,解得x〉一l,

令尸'(x)<0,解得x〈一1,

所以6x)在(-8,—1)上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增.

故F(x)min=F(-1)=—.一’.

2e

⑵因為任意xi,X2^[―L+°°),且汨>如

有力[F(X1)一廣(入2)]>g(xi)—gG)恒成立，

所以"(xi)—g(xj一點加恒成立.

h^x)=mf{x}~g{x)=mxex—^x—x,[—1,+°°),

即只需證力(x)在[—1,+8)上單調遞增即可.

故H(x)=(x+1)(雁”-1)20在[―1,+8)上恒成立，

故必22，

e

而二We,故勿2e,

e

即實數力的取值范圍是[e,+°°).

四、【強化測試】

【解答題】

1.已知函數f(x)=(x+1)ln(x+l).若對任意x>0都有f(x)>ax成立，求實數a的取值

范圍.

【解析】法一令0(x)=f(x)—ax

=(x+1)ln(x+l)—ax(x>0),

則O'(x)=ln(x+l)+1—a,

,：x>0,.?」n(x+l)>0.

(1)當1—a20,即aWl時，O'(x)>0,

...0(x)在(0,+8)上單調遞增，

又。(0)=0,

。(x)>0恒成立，故aWl滿足題意.

(2)當l-a<0,即a>l時，

令O'(x)=0,得*=尸|—1,

，xe(0,e'T-1)時，O'(x)<0；

xG(e"T—1,+8)時,<p'(x)>0,

.??0(x)在(0,ei—1)上單調遞減，在(e"T—1,+8)上單調遞增，

，0(x)Hin=0(e"T-1)<。(0)=0與0(x)>O恒成立矛盾，故a>l不滿足題意.

綜上有aWl,

故實數a的取值范圍是(一8,1].

法二xC(0,+8)時，(x+1)ln(x+l)>ax恒成立，

(x+1)In(x+1)

即a<,恒成立.

x

./、(x+1)In(x+1)/八、

令g(x)=-------------；-------------(X>。)，

x—In(x+D

()2

???/XX

令/(x)=x—ln(x+l)(x>0),

,/、1X

:"kw=1-^+T=I+T>0,

；.A(x)在(0,+8)上單調遞增.

，A(x)>A(0)=0,

ln(x+l)>0恒成立,

：.g'(x)>0,故g(x)在(0,+8)上單調遞增.

由洛必達法則知

但g(x)=七5m(x+i)

x

=r，［ln(x+l)+1］=1,

???aWl,故實數a的取值范圍是(一8,1］.

2.設函數f{x}=ax—xYx\x—(2己-1)^+乃一1(a￡R).若對任意的［1,+°°),f{x}20

恒成立，求實數2的取值范圍.

【解析】f'(x)=2ax—1—Inx—(2a—1)

=2a(x—1)—Inx,

令g(x)=f(x)=2a(x—1)—Inx,

…，/、12ax-1

則g(x)=2a-—=---------,

XX

令H(X)=0,得x=；,

①若aWO,貝UH(x)<0,

則F(x)在［1,+8)上單調遞減，

：.f'(x)Wf，(1)=0.

；?f(x)在［L+°°)上單調遞減，

f{x)^/(D=0,不滿足題意.

②若則;Wl,

2La

當xd(o,g時，g'(x)<o,

當xe七，+8)時，g'(x)>0,

：.f'(x)在［1,+8)上單調遞增，

：.f(x)2F⑴=0,，f(x)在［1,+8)上單調遞增，

.?"(x)》fa)=o,滿足題意.

③若0VEV1，則;>1,當L白I時，g'(x)vo,

22aL乙a)

當丫金島，+8)時，g'(x)>0,

：.f'(X)在(I，力上單調遞減，

在七，+8)上單調遞增，

又f(1)=0,.?.當xG(l,時，f(x)<0,

.?"(x)單調遞減，.."(x)<AD=0.不滿足題意.

綜上，3的取值范圍為

3.已知f{x)=alnx+x~^x,g(x)=(a—2)x,若存在照￡e,使得f(x。Wg(Ab)

成立，求實數a的取值范圍.

【解析】由F(xo)Wg(xo),

得(照一In照)22器一2照，

記/(x)=x—Inx(x>0),

則尸，(x)=3(x>0),

X

...當0<x<l時，F'(x)<0,b(x)單調遞減；

當x>l時，F'(x)>0,戶(x)單調遞增.

...尸(*)>尸(D=l>o,

、/一2劉

??a?z.

Ao-InXQ

x-2x「1

記G\x)—q，一，e,

x-InxLe

則夕(x)=

(2x—2)(x—Inx)—(x—2)(x—1)

(x-Inx)2

(x—1)(x—21nx+2)

(x-Inx)2

1

V^ee,

_e

.,.2—21nx=2(1—Inx)20,

jr—2Inx+2>0,

???當1)時，G'(x)<0,G(x)單調遞減；當x￡(l,e)時，G'(x)>0,G(x)單調遞

增.

G(x)min=G(l)=-1,

??G^X)min——1,

故實數》的取值范圍為［—1，+8).

4.已知函數F(x)=萬一E+l)x+血nx+勿，f'(x)為函數_f(x)的導函數.

⑴討論Ax)的單調性；

⑵若x/(X)—F(x)20恒成立，求"的取值范圍.

【解析】⑴F(X)=LE+1)/1*+喝(廠")"T),

XXX

①當勿WO,x￡(o,1)時，/(x)〈0,F(x)單調遞減；

當x￡(l,+8)時，f'(x)〉0,Ax)單調遞增.

②當0〈欣1,(0,4時，f'(x)>0,f(x)單調遞增；

當(m,1)時，f'(x)<0,f{x)單調遞減；

當x￡(l,+8)時，f(才)>0,/<x)單調遞增.

③當勿=1,(0,+8)時，f(x)20,Hx)單調遞增.

④當0>1,x￡(0,1)時，f'(x)>0,廣(x)單調遞增；

當(1,4時，fl(x)<0,F(x)單調遞減；

當(勿，+8)時，f'(x)〉0,F(x)單調遞增.

(2)由題意知xf'(x)-f{x}20恒成立，

即萬一血nx20恒成立，

2

???萬2血nx.

當x=l時，—^mlnx恒成立，

殳

當￡>1時，----2例

21nx

當0〈水1時，----W力.

21nx

2

人/\x

令名⑸=不’

…M21nx—1)

則夕3=2(lnxf，

當0〈水1時，g'(x)〈0,

g(x)單調遞減且g(x)<0,

勿20.

當x>l時，令g，(x)=0,得x=拉,

???當1<X〈/時，g'(T)<0,g(x)單調遞減,

當x>/時，w(x)>0,g(x)單調遞增，

；?g(x)2g(#)=e，,"We.

綜上知0W勿We.

5.已知函數F(x)=x(旌、-1).

⑴當〃=1時，求函數Ax)的圖象在(1,*1))處的切線方程；

(2)當x>0時，f^x)^x~