2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（廣東省卷）（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試（廣東省卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）

1.小戴同學(xué)的微信錢包賬單如圖所示，+5.20表示收入5.20元，下列說法正確的是

（）

賬單

①+5.20

②-1.00

A.-1.00表示收入1.00元B.-1.00表示支出1.00元

C.-1.00表示支出-1.00元D.收支總和為6.20元

【答案】B

【分析】明確“正”和“負(fù)”所表示的意義，有理數(shù)的加法逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】解：Y+5.20表示收入5.20元,

.,.-L00表示支出1.00元，故B正確，A,C不正確；

收支總和為+5.20+（-1.00）=+4.20,收入4.20元,故D不正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什

么是一對(duì)具有相反意義的量.在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另

一個(gè)就用負(fù)表示.

2.下列四個(gè)圖案中是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】這4個(gè)圖形各自沿著某條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，都是軸對(duì)

稱圖形.

【詳解】第二個(gè)，第四個(gè)是軸對(duì)稱圖形.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義,是解決此類問題的關(guān)鍵.

3.據(jù)中國新聞網(wǎng)消息，2023年我國將新建開通5G基站60萬個(gè)，總數(shù)將突破290萬個(gè)，

位居世界第一.將數(shù)據(jù)“290萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.9xl08B.2.9xlO6C.2.9xl04D.290x10”

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。xlO"的形式，其中1可。<10,〃為整數(shù).確定，的

值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，”的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，”是負(fù)數(shù).

【詳解】解:290萬=2900000=2.9x10%

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中

l<H<10,幾為整數(shù).解題關(guān)鍵是正確確定4的值以及九的值.

4.如圖，直線4〃，2,在3之間放置一塊直角三角板，使三角板的銳角頂點(diǎn)A,B

分別在直線4，上.若Nl=65。，則N2等于（）

A.115°B.65°C.26°D.25°

【答案】D

【分析】作由平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，悴CD///1,則N1=NACZ),

VI1//I2,

：.CD//h,

：.Z2=ZDCB,

???ZACD+ZDCB=90°,

???N1+N2=9O。，

VZ1=65°,

2

???N2=25。,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題

的關(guān)鍵.

5.化簡(jiǎn)但-工結(jié)果正確的是（）

aa

A.1B.aC.-D.一

aa

【答案】A

【分析】根據(jù)同分母分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：2?-1="匕1=1,故A正確.

aaa

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式加減，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式加減運(yùn)算法則，

準(zhǔn)確計(jì)算.

6.神奇的自然界處處隱含著數(shù)學(xué)美！生物學(xué)家在向日葵圓盤中發(fā)現(xiàn)：向日葵籽粒成螺

線狀排列，螺線的發(fā)散角是137.5。.我們知道圓盤一周為360。，360°-137.5°=222.5°,

137.5°+222.5°20.618.這體現(xiàn)了（）

A.軸對(duì)稱B.旋轉(zhuǎn)C.平移D.黃金分割

【答案】D

【分析】根據(jù)黃金分割數(shù)的近似值為0.618可直接得出答案.

【詳解】解：137.5。+222.5。。0.618,黃金分割數(shù)的近似值為0.618,

???體現(xiàn)了“黃金分割”.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是牢記黃金比的近似值為0.618.

7.如圖，電路圖有4只未閉合的開關(guān)，一個(gè)電源和一個(gè)小燈泡，已知電路圖上的每個(gè)

部分都能正常工作，任意閉合其中兩只開關(guān)，使得小燈泡發(fā)光的概率為（）

【答案】A

【分析】用所求情況數(shù)除以總情況數(shù)即可解答.

【詳解】由題意可知，共有六種情況，而小燈泡不發(fā)光的情況只有星、S4關(guān)閉時(shí),

...小燈泡發(fā)光的概率為，

6

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

2%—1>%+1

8.不等式組X+86-1的解集為（）

A.x>2B.x<3C.2<x<3D.x>3

【答案】D

【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集即可.

2x-1>x+1CD

【詳解】

尤+8-②

解①得：x>2

解②得：x>3

不等式組的解集為：x>3,

故選擇：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，解一元一次不等式組，先求出不等式組中

每一個(gè)不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大

小小大中間找，大大小小解不了（無解）.

4

9.如圖，C,D是。上直徑A3兩側(cè)的兩點(diǎn).設(shè)NABC=25。，則ZBDC=（）

C.70°D.65°

【答案】D

【分析】先利用直徑所對(duì)的圓周角是直角得到/ACB=90。，從而求出NBAC,再利用同

弧所對(duì)的圓周角相等即可求出NBDC

【詳解】解：:C,。是。。上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn),

ZACB=90°,

'：ZABC=25°,

：.ZBAC=90°-25°=65°,

NBDC=NBAC=65°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，即直徑所對(duì)的圓周角是90。和同弧或等弧所對(duì)

的圓周角相等，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與推論，本題蘊(yùn)含了屬性結(jié)合的思想方

法.

10.已知二次函數(shù)>=2/+加.如圖，此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-4）,正方形

的頂點(diǎn)C、。在無軸上，A、8恰好在二次函數(shù)的圖象上，則圖中陰彩部分的面積之和為

（）

A.2B.4C.8D.18

【答案】C

【分析】先把函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)（0,-4）代入解析式求出機(jī)的值，再根據(jù)拋物線和正

方形的對(duì)稱性求出OD=OC,并判斷出S陰影=S矩形BCOE，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（〃，2"）5>0）,

把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出n的值得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求解即可.

【詳解】解：二次函數(shù)>+機(jī)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,-4）,

m=—4.

...二次函數(shù)的解析式是：y=2x2-4.

?.?四邊形ABC。為正方形和拋物線都是軸對(duì)稱圖型，且y軸為它們的公共對(duì)稱軸，

OD=OC,S陰影矩形BCOE，

設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為（〃,2"）（〃>0）,

:點(diǎn)B在二次函數(shù)y=2X2-4的圖象上，

/.In-2/j2-4,

解得：4=2,%=T（舍去），

.?.點(diǎn)2的坐標(biāo)為：（2,4）,

$陰=S矩形BCOE=2x4=8.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查不規(guī)則圖形的面積，求二次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)

的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，掌握割補(bǔ)法（面積和差運(yùn)算）是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）

11.分解因式：x2-16y2=.

【答案】（x+4y）（x-4y）

【分析】直接利用平方差公式進(jìn)行分解因式即可.

【詳解】解：x2-16y2=x2-（4y）2=（x+4y）（x-4y）,

故答案為：（x+4y）（^-4y）.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

12.計(jì)算：Jx（-727）=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)二次根式乘法法則計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=-$27=一眄=一3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則

6

y[a-y/b=yfab（tz>0,/?>0）是解題的關(guān)鍵.

13.已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距尤（m）滿足的關(guān)系式為y=圖,則當(dāng)近

X

視眼鏡為200度時(shí)，鏡片焦距為.

【答案】0.5m

【分析】令尸200,代入反比例函數(shù)，求得X的值即可，

【詳解】令y=200,

即:20（）1

x

解得：戶0.5,

故200度近視眼鏡鏡片的焦距為0.5米.

故答案為：0.5m.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函

數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式，本題已經(jīng)給出了解析式就使得難度大

大降低.

14.小亮借到一本72頁的圖書，要在10天之內(nèi)讀完，開始2天每天只讀5頁，在剩下

的時(shí)間里，小明每天至少要讀一頁.（假定小亮每天讀書頁數(shù)是整數(shù)）

【答案】8

【分析】設(shè)以后每天讀x頁，根據(jù)小明借到一本有72頁的圖書，要在10天之內(nèi)讀完,

開始2天每天只讀5頁，可列出不等式求解.

【詳解】解：設(shè)以后每天讀x頁，

2x5+00—2）尤上72,

x>7-.

4

故小明每天至少讀8頁才能讀完.

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵設(shè)出每天讀多少頁，以總頁數(shù)作為關(guān)系

式列不等式求解.

15.如圖：MAASC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,把邊長(zhǎng)分別為耳，巧，工3，…當(dāng)

的w個(gè)正方形依次放在AABC中：第一個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別放在的各邊

上；第二個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別放在R/AAZ；陷的各邊上，…其他正方形依次放

入，則第2022個(gè)正方形的邊長(zhǎng)尤2022為

B

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，同理求得其它正方形

的邊長(zhǎng)，觀察規(guī)律即可求得第w個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】解：設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是

VPXNX//AC,RM、〃BC,

△BP、N1~ABAC,△APXMX-AABC,

則^^=弛=工，

'ACAB2

同理得到震=誓=玉，

nCAD

兩式相加得到A&=1,

解得占=(,

同理求得：

第二個(gè)的邊長(zhǎng)是無2=，]，

第三個(gè)的邊長(zhǎng)是鼻=[2],

8

?“發(fā)

<2?022

故答案為：!.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，考查了學(xué)生的觀察歸納

能力.解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

三、解答題(一)(本大題共3小題，第16題10分，第17、18題個(gè)7分，共24分)

16.(1)計(jì)算：加+至一2nx3+5后

4

(2)已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,6)和(-4,-9),求這個(gè)函數(shù)的解析式.

【答案】(1)372+273-^：(2)y=2.5x+l

【分析】(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，先算乘除，在算加減，要合并同類二次根式，計(jì)算即

可，

(2)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式.

【詳解】⑴原式=30+26-半x1

572

=372+273--；

10

⑵設(shè)一次函數(shù)的解析式為>=依+》,

2k+b=6

-4左+b=-9

k=2.5

解得

b=l

所以一次函數(shù)的解析式為y=2.5x+l.

【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟記用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

17.為保護(hù)耕地，某地需要退林還耕1500畝.已知甲施工隊(duì)每天退林還耕的畝數(shù)是乙

施工隊(duì)的1.2倍；若單獨(dú)完成退林還耕任務(wù)，甲施工隊(duì)會(huì)比乙施工隊(duì)少用5天.求甲、

乙兩隊(duì)每天完成退林還耕多少畝.

【答案】甲隊(duì)每天退林還耕60畝，乙隊(duì)每天退林還耕50畝

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意“單獨(dú)完成退林還耕任務(wù)，甲施工隊(duì)會(huì)

比乙施工隊(duì)少用5天”列出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)乙隊(duì)每天退林還耕x畝，根據(jù)題意得

1500=1500

--------5=-------.

x1.2.x

解得x=50.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是原方程的解.

甲隊(duì)每天退林還耕的畝數(shù)是1.2x50=60（畝）.

答：甲隊(duì)每天退林還耕60畝，乙隊(duì)每天退林還耕50畝.

18.如圖，為了測(cè)量河流某一段的寬度，在河北岸選了一點(diǎn)A,在河南岸選了相距100m

的8,C兩點(diǎn).現(xiàn)測(cè)得Z4BC=60。，/ACB=45。，求這段河流的寬度（結(jié)果精確到0.1m）.

【答案】63.4m

【分析】過A作于。，根據(jù)/ABC=60。，NAC2=45。即可求出2￡＞、CD與

AO關(guān)系，根據(jù)BC=100m,可以求得的長(zhǎng)度.

【詳解】解：過A作AD_L3C于￡）,

在R3AD2中，ZB=60°,

：.ZBAD^30°,

.?.8C=AZ>tan30o=走AZ),

3

在RtZkAOC中，ZC=45°,

ACD=AD,又BC=100m,

：.BD+CD=—AD+AD=100.

3

解得AD?63.4m.

答：這段河的寬約為63.4米.

10

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)建直角三角形，利用三角

函數(shù)求解.

四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）

19.如圖，已知YABCD,AC為對(duì)角線.

（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，過點(diǎn)。作AC的垂線，交AC于點(diǎn)E；（不要求寫作法，保留作

圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若NACB=30。，AD=4,求點(diǎn)。到線段AC的距離.

【答案】（1）見解析；（2）點(diǎn)。到線段AC的距離是2,見解析.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作AC的垂線如圖；

①任意取一點(diǎn)P,使該點(diǎn)和點(diǎn)。在對(duì)角線AC的兩側(cè)；②以點(diǎn)。為圓心，QP的長(zhǎng)為半

徑作弧，交對(duì)角線AC于尸，G兩點(diǎn)；③分別以點(diǎn)RG為圓心，大于［EG的長(zhǎng)為半徑

作弧，在點(diǎn)P的同側(cè)交于點(diǎn)”；④過點(diǎn)。、”作直線，交AC于點(diǎn)E,直線DE即為所

求作的垂線.

（2）解答的關(guān)鍵是：①理解點(diǎn)D到線段AC的距離是點(diǎn)D到線段AC的垂線段的長(zhǎng)度，

即為線段DE的長(zhǎng)度;②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出NR4C；③利用銳角三角函數(shù)求解.

解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

AD//BC,

：.ZDAC=ZACB=30°.

由（1）知

...在RfAADE中，DE=ADsinZDAC=2,

即點(diǎn)。到線段AC的距離是2.

20.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

(1)直接寫出43的長(zhǎng)為;

⑵請(qǐng)用無刻度的直尺畫圖：在格點(diǎn)上找點(diǎn)E,連接8E,使垂足為H；

(3)/ABC是直角嗎？判斷并說明理由.

【答案】(1)26

(2)見解析

(3)NABC是直角，理由見解析

【分析】(1)運(yùn)用勾股定理求解即可；

(2)如圖，可證明，AGDsEFB得NG4T>=NEEB,由NFEB+NAEB=90。得

ZEAH+ZAEH=90°,推出NAHE=90。，從而可得結(jié)論；

(3)運(yùn)用勾股定理逆定理可判斷ABC是直角三角形，可得出NABC=90。

【詳解】(1)由勾股定理得：AB=74T727=2A/5-

故答案為：2小

(2)如圖所示：點(diǎn)E即為所求;

(3)ZABC是直角，理由如下：

如上圖，連接AC,AC2=32+42=25,

又A3?=4?+2?=20,BC2=1+4=5,

/.AB2+BC2=AC2,

/.ZABC=90°,

.../ABC是直角.

12

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握書店同時(shí)也看見解答本題的關(guān)鍵.

21.甲，乙兩名隊(duì)員參加訓(xùn)練，每人射擊10次的成績(jī)分別被制成下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖：

乙隊(duì)員射擊訓(xùn)練成績(jī)

平均成績(jī)環(huán)眾數(shù)/環(huán)中位數(shù)/環(huán)方差/環(huán)2

甲a771.2

乙7bC4.6

⑴寫出表格中a,b,c的值：a=,b=,c=

（2）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，你會(huì)選擇誰參加比賽，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）7,6,6.5

（2）派甲參賽，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、中位數(shù)的定義分別計(jì)算即可解決問題；

（2）甲選手的穩(wěn)定性較好，乙選手得高分的可能性較大，所以從保名次上說，應(yīng)該派

甲選手；從爭(zhēng)取更高的名次來說，應(yīng)該派乙選手（答案不唯一）.

【詳解】（1）。=15+6+6+7+7+7+7+8+8+9）=7（:環(huán)）；

乙的成績(jī)從小到大排列：3,5,6,6,6,7,8,9,10,10,

：.b=6（環(huán)）。=叱=6.5（環(huán)）.

2

故答案為：7,6,6.5；

（2）應(yīng)派甲選手參賽.

理由:由上一問可知，從眾數(shù)來說，甲選手高于乙選手；從中位數(shù)來說，甲選手好于乙

選手；從方差來說，甲選手的穩(wěn)定性較好；

綜合以上情況，應(yīng)該派甲選手參賽.

【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、平均數(shù)、中位數(shù)、方差等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）

22.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以每

秒1cm的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)P、

Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B、C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，設(shè)兩點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，回答下列問題：

（1）如圖1,當(dāng)t為幾秒時(shí)，APBQ的面積等于5cm2?

（2）如圖2,當(dāng)t=1.5秒時(shí)，試判斷ADPQ的形狀，并說明理由；

（3）如圖3,以Q為圓心，PQ為半徑作。Q.在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t值，

使。Q正好與四邊形DPQC的一邊所在的直線相切？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

【答案】（1）1秒或5秒；（2）ADPQ的形狀是直角三角形.（3）①t=0或t=-18+126；

?0<t<6.s/13-18.

【詳解】試題分析：（1）由題意可知PA=t,BQ=2t,從而得至IIPB=6-t,BQ=2t,然后

根據(jù)APQB的面積=5cm2列方程求解即可；

339

（2）由t=5,可求得AP=],QB=3,PB=-,CQ=9,由勾股定理可證明DQ?+PQ2=PD2,

由勾股定理的逆定理可知ADPQ為直角三角形；

（3）①當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合，此時(shí)圓Q與PD相切；當(dāng)。

Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時(shí)，由圓的性質(zhì)可知QC=QP,然后依據(jù)勾股定理

列方程求解即可；

②先求得。Q與四邊形DPQC有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值，然后可確定出t的取值范圍.

試題解析：（1）??,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PA=t,BQ=2t,

；.PB=6-t,BQ=2t.

VAPBQ的面積等于5cm2,

11

/.-PB*BQ=-x（6-t）*2t.

14

—(6—?)?2/=5.

解得：tl=l,t2=5.

答：當(dāng)t為1秒或5秒時(shí)，APBQ的面積等于5cm2.

(2)ADPQ的形狀是直角三角形.

33

理由：?.,當(dāng)t=一秒時(shí)，AP=—,QB=3,

22

39

/.PB=6-CQ=12-3=9.

3585

在RtAPDA中，由勾股定理可知：PD2=DA2+PA2=122+(-)2=—.

24

117

同理：在RtAPBQ和RtADCQ中由勾股定理可得：DQ2=117,PQ2=—.

???117+匕卓

44

.\DQ2+PQ2=PD2.

所以ADPQ的形狀是直角三角形.

(3)①(I)由題意可知圓Q與AB、BC不相切.

(II)如圖1所示：當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合.

.?.ZDPQ=90°.

；.DP_LPQ.

；.DP為圓Q的切線.

(III)當(dāng)。Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時(shí)，如圖2所示.

由題意可知：PB=6-t,BQ=2t,PQ=CQ=12-2t.

在Rt/kPQB中，由勾股定理可知：PQ2=PB2+QB2,即(6-t)2+(2t)2=(12-2t)2.

解得：ti=-18+12^/3,t2=-18-12^/3（舍去）.

綜上所述可知當(dāng)t=0或t=-18+12后時(shí)，OQ與四邊形DPQC的一邊相切.

②（I）當(dāng)t=0時(shí)，如圖1所示：OQ與四邊形DPQC有兩個(gè)公共點(diǎn)；

（II）如圖3所示：當(dāng)圓Q經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，。（2與四邊形DPQC有兩個(gè)公共點(diǎn).

由題意可知：PB=6-t,BQ=2t,CQ=12-2t,DC=6.

由勾股定理可知：DQ2=DC2+CQ2=62+(12-2t)2,PQ2=PB2+QB2=(6-t)2+(2t)2.

VDQ=PQ,

；.DQ2=PQ2,即62+(12-2t)2=(6-t)2+(2t)2.

整理得：t2+36t-144=0.

解得：ti=6-18,t2=-6^/13-18(舍去).

.?.當(dāng)0Vt<6jm-18時(shí)，OQ與四邊形DPQC有三個(gè)公共點(diǎn).

考點(diǎn)：1、三角形的面積公式，2、勾股定理,3、勾股定理的逆定理

23.在ABC中，CA=CB,NACB=o.點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn).連

接AP，將線段轉(zhuǎn)繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得到線段。尸，連接AD,BD,CP.

B

備用圖

⑴觀察證明如圖1,當(dāng)夕=60。時(shí)

①猜想BD與CP的數(shù)量關(guān)系為,并說明理由.

②直線8。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是

（2）類比猜想

如圖2,當(dāng)夕=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫出器的值及直線與直線C尸相交所成的小角的度數(shù)

⑶解決問題

16

當(dāng)夕=90。時(shí)，若點(diǎn)E,尸分別是C4,CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線E尸上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C,

AD

P,〃在同一直線上時(shí)器的值,

【答案】⑴①1；②60。

⑵卷=0；45。

(3)2+0或2-夜

【分析】(1)觀察猜想：由“SAS”可證AC4P三ABAD,可得PC=BD,ZACP=ZABD,

即可求解；

(2)類比探究：通過證明APAC,可得"C4=NDBA,吟=*=叵,即

2/1C-

可求解；

(3)分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)。在線段尸C上時(shí)，延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于H.證明

4/)=0。即可解決問題；②當(dāng)點(diǎn)P在線段C￡＞上時(shí)，同法可證：R4=DC解決問題.

【詳解】(1)解:AC=BC,ZACB=60。，

AABC是等邊三角形，

:.ZCAB=60°,AC=AB,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ZAPD=60。，AP=PD,

AAPZ)是等邊三角形，

:.ZPAD=60°=ZCAB,AP=AD,

,\ZCAP=ZBAD,