用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系教師版

第三章第4節(jié)向量在立體幾何中的應(yīng)用【學(xué)習(xí)主題】新授課【設(shè)計者】【課時安排】1個課時【學(xué)習(xí)目標(biāo)】基礎(chǔ)性目標(biāo)拓展性目標(biāo)3.我能挑戰(zhàn)性目標(biāo)5.我會求【學(xué)習(xí)重難點】重點：1．能用向量語言表述線線、線面、面面的平行、垂直關(guān)系．(重點)2．能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理．(重點)難點：能用向量方法解決立體幾何中的平行、垂直問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用，并培養(yǎng)學(xué)生的運算能力．(難點)【學(xué)法建議】【學(xué)習(xí)過程】（一）要求：（1）逐字逐句閱讀教材第121126頁，完成課本例題和練習(xí)后，思考并回答下列問題（寫出答案）在課本上圈出并記錄預(yù)習(xí)發(fā)現(xiàn)的問題。問題1：問題2：問題3：（二）預(yù)習(xí)自測1.設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面π1，π2的法向量分別為n1，n2.(1)線線垂直：l⊥m?a⊥b?a·b＝0.(2)線面垂直：l⊥π1?a∥n1?a＝kn1(k∈R)．(3)面面垂直：π1⊥π2?n1⊥n2?n1·n2＝0.2.設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面π1，π2的法向量分別為n1，n2.(1)線線平行：l∥m?a∥b?a＝λb(λ∈R)．(2)線面平行：l∥π1?a⊥n1?a·n1＝0.(lπ1)．(3)面面平行：π1∥π2?n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)．1.已知兩平面α，β的法向量分別為u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，則平面α，β的位置關(guān)系為________．【解析】∵u1·u2＝1×0＋0×2＋1×0＝0，∴u1⊥u2，∴α⊥β.【答案】α⊥β2.若a＝(1,2,3)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是()A．(0,1,2) B．(3,6,9)C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)【解析】∵(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a，a⊥α，∴(3,6,9)可作平面的一個法向量．【答案】B3.若直線l的方向向量是u＝(1,3,0)，平面α的法向量是v＝(－3,1,5)，則直線l與平面α的位置關(guān)系為________．【解析】∵u·v＝1×(－3)＋3×1＋0×5＝0，∴u⊥v，∴l(xiāng)α或l∥α.【答案】lα或l∥α【學(xué)習(xí)任務(wù)1】題型一用向量討論垂直問題如圖2-4-1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F(xiàn)，E1分別是棱AA1，BB1，A1B1的中點．求證：平面C1E1F⊥平面CEF.【精彩點撥】要證明兩個平面垂直，可證明這兩個平面的法向量垂直，轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量m，n，證明m·n＝0.【自主解答】以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)BC＝1，則C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，E1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2)).設(shè)平面EFC的法向量為m＝(a，b，c)，由eq\o(EF,\s\up12(→))＝(0,1,0)，eq\o(FC,\s\up12(→))＝(－1,0，－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(EF,\s\up12(→))＝0，,m·\o(FC,\s\up12(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝0，,－a－c＝0.))取m＝(－1,0,1)．同理平面C1E1F的法向量n＝(1,2,1)，因為m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，所以平面C1E1F⊥平面CEF.【課堂評價1】本例條件不變，求證：CF⊥平面C1EF.【證明】由例題可知，E(1,0,1)，F(xiàn)(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，所以eq\o(CF,\s\up12(→))＝(1,0,1)，eq\o(C1F,\s\up12(→))＝(1,0，－1)，eq\o(EF,\s\up12(→))＝(0,1,0)．所以eq\o(CF,\s\up12(→))·eq\o(C1F,\s\up12(→))＝1×1＋0×0＋1×(－1)＝0，eq\o(CF,\s\up12(→))·eq\o(EF,\s\up12(→))＝1×0＋0×1＋1×0＝0.所以eq\o(CF,\s\up12(→))⊥eq\o(C1F,\s\up12(→))，eq\o(CF,\s\up12(→))⊥eq\o(EF,\s\up12(→)).因為C1F∩EF＝F，所以CF⊥平面C1EF.【反思總結(jié)】應(yīng)用向量證明空間中垂直關(guān)系的基本策略(1)證明線線垂直只需證兩直線的方向向量垂直．設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a，b，則要證l1⊥l2，只需證a⊥b，即a·b＝0.(2)證明線面垂直①證明直線的方向向量與平面的法向量平行．②證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個不共線向量垂直．(3)證明面面垂直可證兩平面的法向量相互垂直．【學(xué)習(xí)任務(wù)2】題型二用向量討論平行問題例2已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E，F(xiàn)分別在DB，D1C上，且DE＝D1F＝eq\f(\r(2),3)a，求證：EF∥平面BB1C1C.【精彩點撥】由于EF平面BB1C1C，則只需求出直線EF的方向向量eq\o(EF,\s\up12(→))、平面BB1C1C的一個法向量，再證明二者數(shù)量積為0即可．【自主解答】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(a,3)，0))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)，\f(2a,3)))，故eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3)))，又n＝(0,1,0)顯然為平面BB1C1C的一個法向量，而n·eq\o(EF,\s\up12(→))＝(0,1,0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2a,3)))＝0，所以n⊥eq\o(EF,\s\up12(→))，顯然eq\o(EF,\s\up12(→))平面BB1C1C，∴EF∥平面BB1C1C.【課堂評價2】在正方體AC1中，O，M分別為DB1，D1C1的中點，證明：OM∥BC1.【證明】如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為2，則O(1,1,1)，M(0,1,2)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，eq\o(OM,\s\up12(→))＝(－1,0,1)，eq\o(BC1,\s\up12(→))＝(－2,0,2)，∴eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC1,\s\up12(→))，∴eq\o(OM,\s\up12(→))∥eq\o(BC1,\s\up12(→))，∴OM∥BC1.【反思總結(jié)】1．證明線面平行常用的方法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．2．證明面面平行常用的方法：(1)利用上述方法證明平面內(nèi)的兩個不共線向量都平行于另一個平面；(2)證明兩個平面的法向量平行．【學(xué)習(xí)任務(wù)3】題型四立體幾何中的向量方法探究1如何確定直線的方向向量？【提示】在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．解題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，且可以參與向量運算或向量的坐標(biāo)運算．探究2平面的法向量有何特征？【提示】(1)給定一點A和一個向量a，那么，過點A，以向量a為法向量的平面是完全確定的．(2)一個平面的法向量有無數(shù)多個，任兩個都是共線向量．探究3一個平面的法向量不唯一，在求法向量時，要注意什么？【提示】求解過程中，方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0,n·b＝0))有無數(shù)組解，利用賦值法，只要給x，y，z中的一個變量賦一特值(常賦值－1,0,1)，即可確定一個法向量，賦值不同，所求法向量不同，但(0,0,0)不能作為法向量．探究4用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟有哪些？【提示】空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”是：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系；(3)把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義．例3如圖2-4-2，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，點O，D分別是AC，PC的中點，且OA＝OP，OP⊥平面ABC.求證：OD∥平面PAB.【精彩點撥】法一：證明eq\o(OD,\s\up12(→))與平面PAB的法向量垂直．法二：證明OD與面PAB內(nèi)某一直線平行．【自主解答】法一：因為AB＝BC，O為AC的中點，所以O(shè)B⊥AC，OA＝OB＝OC，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA＝a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0,0，a)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))，所以eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，\f(a,2))).設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PA,\s\up12(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up12(→))＝0.))由于eq\o(PA,\s\up12(→))＝(a,0，－a)，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－a，a,0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－az＝0，,－ax＋ay＝0.))令z＝1，得x＝y(tǒng)＝1，所以n＝(1,1,1)，所以eq\o(OD,\s\up12(→))·n＝－eq\f(a,2)＋eq\f(a,2)＝0，所以eq\o(OD,\s\up12(→))⊥n，因為OD不在平面PAB內(nèi)，所以O(shè)D∥平面PAB.法二：因為O，D分別是AC，PC的中點，所以eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CO,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up12(→))－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up12(→))，所以eq\o(OD,\s\up12(→))∥eq\o(AP,\s\up12(→))，即OD∥AP，OD平面PAB，PA面PAB，所以O(shè)D∥平面PAB.【課堂評價3】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝3，|AD|＝4，|AA1|＝2，點M在棱BB1上，且|BM|＝2|MB1|，點S在DD1上，且|SD1|＝2|SD|，點N，R分別為A1D1，BC的中點．求證：MN∥RS.【證明】法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則根據(jù)題意得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0，\f(4,3)))，N(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(2,3))).所以eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3))).eq\o(RS,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，2，\f(2,3)))，eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(RS,\s\up12(→))，所以eq\o(MN,\s\up12(→))∥eq\o(RS,\s\up12(→))，因為M?RS，所以MN∥RS.法二：設(shè)eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up12(→))＝c，則eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(MB1,\s\up12(→))＋eq\o(B1A1,\s\up12(→))＋eq\o(A1N,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)c－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(RS,\s\up12(→))＝eq\o(RC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12