2024年高二數(shù)學(xué)專項練習(xí)：倍角、半角公式

2024年高二數(shù)學(xué)專項練習(xí)倍角、半角公式

考綱導(dǎo)讀

1.會用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)倍角、半角公式，了解它們的

內(nèi)在聯(lián)系。

2.解決比較簡單的應(yīng)用問題，體會換元思想、方程思想的運用。

知識要點

復(fù)習(xí)和黃角的三角函數(shù)公式

sin(a+/?)=sinacos0+cosasinf3

sin(a-/?)=sinacos(3-cosasin0

cos(or+4)=cosacosj3-sinasin(3

cos(a-P)=cosacos/?+sinasin(3

典型例題分析

例1、求證下列等式成立：

(1)sin2cr=2sinq?cosa；

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2。-1=1-2sin2a.

八2tana

(3)tan2a=------------

1-tana

/,、.a1-coscr

(4)sin2—=-----------

22

1+COS6Z

(5)cos2—

22

a1-coscr

(6)tan2—=-----------

21+coscr

/_、asinal-cosa

(7)tan—=----------=—；-------

21+cosasina

(8)々sinA+bcosA=J/+〃sin(A+。),

ab

其中cos^=sin夕=

1a1+/yla2+b2

例2、求值：

(1)已知sin(C-')=3,求cos(6一生).

12256

(2)已知sin(a+a)=相，求sin2a.

例3、已知/(x)=sin2%+2sinxcosx+3cos2x,求:

(1)/(x)的最大值以及取得最大值的自變量的集合；

(2)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

平面向量基本定理及坐標(biāo)運算

一、知識要點：

1.平面向量基本定理

2.平面向量的坐標(biāo)表示

3.平面向量的坐標(biāo)運算

4.向量共線(平行)

二、典型例題

例1.如圖，在AABC中，OA=a,OB=b,BE：EA=1：2,E是Q4中點,

線段0E與6歹交于點G,試用基底@力表示:

B

(1)OE；⑵BF-,(3)OG.

解析：

例2.已知平面上三點坐標(biāo)為A(—2,1),3(—1,3),。(3,4),求。點坐標(biāo),

使得這四個點成為平行四邊形的四個頂點。

解析：

例3.已知四個點為4(1,0),3(4,3),。(2,4),。(0,2),試判斷四邊

形A3CD的形狀。

解析：

例4.如圖，已知點A(4,0),3(4,4),C(2,6),

求AC與08的交點尸的坐標(biāo)。

解析：

三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

、知識要點

1、分析近幾年的高考試題，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容一般不低于一大一

小，占15-20分，試題內(nèi)容主要有兩方面：其一是考查三角函數(shù)的性

質(zhì)和圖像變換，尤其是三角函數(shù)的最大值、最小值和周期；其二是考查

三角函數(shù)式的恒等變形及應(yīng)用。

2、三角形是三角函數(shù)的主要應(yīng)用場所，特別是三角形的內(nèi)角和定理、

正弦定理、余弦定理幾乎每年都有考察。

二.典型例題

例1.若AABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c滿足（a+b>—c?=4,

且C=60°,則ab的值為（）

A.-B.8—C.1D.—

33

例2.定義在R上的偶函數(shù)滿足<x+2）=/（x）且八尤）在［-3,—2］上是減

函數(shù)，又a、P為銳角三角形的兩內(nèi)角，則（）.

A、y（sina）/cosP）B、y（sina）〈y（cosp）

C、y（sina）/sinB）D、y（cosa）V/（cosP）

例3.設(shè)AABC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,

且cosA=—,cos3=,A=3,則c=

例4.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,6,

C成等差數(shù)列.

(I)若6=V13,a=3,求c的值；

(II)設(shè)f=sinAsinC,求才的最大值.

例5.函數(shù)/(x)=6cos2g^+Gsin(yx—3(。＞0)在一個周期內(nèi)的

圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且

AA5C為正三角形.

(I)求。的值及函數(shù)/(無)的值域；

(II)若/(%)=竽，且x°e(―?$,求f(x0+1)的值.

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

一、知識要點

1.平方關(guān)系：sin2cir+cos2a=1

sina

2.商數(shù)關(guān)系：tana=----

cosa

3.倒數(shù)關(guān)系：tana-cota=1,sincrcsca=l,cosa?seca=l

二、典型例題

3

例題1.已知：sinq=-1，。為第三象限角，求a的其它三角函數(shù)值

解析：

發(fā)展變化：去掉"a為第三象限角”的條件；

注意：已知某角的三角函數(shù)值，求它的其余三角函數(shù)值時要注意角所在

的象限，這主要是在使用sina=±A/1-COS2a.cosa=±A/l-sin2a時,

要根據(jù)角a所在的象限恰當(dāng)選定根號前的正負(fù)號。

例題2.已知：tan8+cot8=2,求：

(1)sinPcosg的值；(2)sin8+cos8的值；

(3)sincos9的值；(4)sin。及cos。的值

解析：

發(fā)展變化：已知sine+cos?=',求sinacos。等

2

例題3.已知：tan=--,求：

2

/、sin0+cos0

(1)-----------；

sin6-3cos。

/、l+2sin8cose

(2)----------—；

sin2^-cos20

22

(3)2sin^-3sin6^cos^-5cos0o

解析:

例題4.化簡:

，l-2sin6cos6

(1),0-^2k7i\kGZ；

sin0-cos0

1-cos46^-sin40

(2)(3)Vl-sin22-A/1-COS22

1-cos66^-sin60

cos6*A/1-COS201+sin。1一sin。

(4)(5)

^/1-sin20sin?1一sin。，1+sin。

解析:

注意：化簡的基本要求：盡量減少角的種數(shù)、盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)、

盡量化為同角同名等，其它思想還有異次化同次、高次化低次、化弦或

化切、化和差為乘積、化乘積為差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等。

例題5.證明恒等式

⑴W-sm到⑵寒冷福

解析：

正、余弦定理及解三角形

一、知識要點

1、正、余弦定理的證明及應(yīng)用

2、三角形是三角函數(shù)的主要應(yīng)用場所，解三角形是高考的重要題型。

二、例題分析

例1.在△ABC中，AB=2,AC=3,ABBC=1,貝U8C=()

A.^3B.巾C.2吸D.^23

例2.在△ABC中，已知通?啟=3函?病.

(1)求證：tanB=3tanA；

(2)若cosC=5，求A的值.

例3.△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊長，a=43,

b=桓,l+2cos(5+C)=0,求邊BC上的高.

例4.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,已知cos2C=-工