經(jīng)濟數(shù)學微積分 第4版 教案 第3章 一元函數(shù)積分學

第3章一元函數(shù)積分學第3章不定積分、定積分及其應用本章知識結(jié)構導圖一、教學要求1、理解不定積分的概念及性質(zhì).2、掌握不定積分的基本公式.3、熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法.4、理解定積分的概念和性質(zhì).5、掌握變限積分的求導公式，熟練掌握定積分的N-L公式.6、熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法.7、了解反常積分和函數(shù)的定義，會計算反常積分.8、掌握利用元素法解決定積分的幾何應用.9、掌握定積分在經(jīng)濟學中的簡單應用.二、教學重、難點1、教學重點：不定積分的概念與性質(zhì)、換元積分法、分部積分法、定積分的概念與性質(zhì)、換元積分法、分部積分法、定積分的幾何應用、定積分在經(jīng)濟學中的簡單應用.2、教學難點：換元積分法、定積分的概念、反常積分和函數(shù)、定積分的幾何應用.三、教學內(nèi)容及課時劃分3.1不定積分的概念與性質(zhì)3課時3.2不定積分的換元積分法4課時3.3不定積分的分部積分法2課時3.4定積分的概念和性質(zhì)3課時3.5微積分基本定理2課時3.6定積分的換元積分法與分部積分法2課時3.7反常積分2課時3.8定積分的幾何應用與經(jīng)濟應用4課時習題課4課時計26課時§3.1不定積分的概念與性質(zhì)教學目的：1、了解原函數(shù)與不定積分的概念2、熟練掌握不定積分的性質(zhì)和基本積分公式.教學重難點：1、重點：原函數(shù)與不定積分的概念.2、難點：原函數(shù)的求法.教學課時：3教學過程：一、問題的引入我們有時需要解決與求導數(shù)（或微分）相反的問題,即已知函數(shù)的導數(shù)（或微分）,求其函數(shù)本身．例如，已知曲線在處切線的斜率是函數(shù)在該點的導數(shù)值,即．但是,如果已知某曲線在處的切線斜率為,求該曲線的方程,就是一個與求導數(shù)相反的問題．二、原函數(shù)與不定積分的概念【定義1】設函數(shù)定義在區(qū)間上,如果存在一個函數(shù)，對任意的,都有或那么稱為在上的一個原函數(shù).例如:,故是在上的一個原函數(shù);而,故是在上的一個原函數(shù)．然而,,等都是的原函數(shù),于是,需要考慮以下兩個問題:已知函數(shù)應具備什么條件才能保證它存在原函數(shù)？如果存在原函數(shù),那么它的原函數(shù)有幾個？相互之間有什么關系？【定理1】（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù),則在上一定存在原函數(shù)．如果函數(shù)是的一個原函數(shù),則有無限多個原函數(shù),且就是的所有原函數(shù)（稱為原函數(shù)族）.【定義2】若函數(shù)是的一個原函數(shù),則把的全體原函數(shù)稱為的不定積分,記作,即．其中叫積分號,叫被積函數(shù),叫被積表達式,叫積分變量．【例1】求．【解】由于,所以,是的一個原函數(shù),因此．【例2】計算不定積分．【解】因為,所以.【例3】求不定積分．【解】當時,,所以;當時,,所以,由絕對值的性質(zhì)有:,從而．【例4】求在平面上經(jīng)過點,且在任一點處的斜率為其橫坐標的三倍的曲線方程．【解】設曲線方程為,由于在任一點處的切線斜率,則有,即．又由于曲線經(jīng)過點,得,所以【例5】某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,每日生產(chǎn)的總成本的變化率（邊際成本）是,已知固定成本為元,求總成本．【解】因為,所以．又已知固定成本為萬,即當時,,因此有,從而有．即總成本是．三、不定積分的性質(zhì)【性質(zhì)1】或.【性質(zhì)2】或.【性質(zhì)3】（其中,即非零常系數(shù)可以移到積分號之前）.【性質(zhì)4】（即若干個函數(shù)代數(shù)和的不定積分,等于若干個函數(shù)不定積分的代數(shù)和）.四、不定積分的基本公式由于不定積分是導數(shù)的逆運算,由第二章的導數(shù)公式,我們得到以下基本積分公式:（1）（2）（3）（）（4）（5）（且）特別（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）【例6】求.【解】【例7】求.【解】有些函數(shù)看上去不能利用基本公式和性質(zhì)進行直接積分,但經(jīng)過化簡或恒等變形,也可以直接進行積分.【例8】求.【解】.【例9】求.【解】.【例10】求．【解】原式.【例11】求.【解】因為,所以.【例12】求．【解】因為,所以,原式.在以上函數(shù)的變形中,三角函數(shù)的恒等變換是比較靈活的,一定要先掌握好一些常用的三角恒等變換公式.【例13】求.【解】.有興趣的同學還可考慮:,等.五、小結(jié)本節(jié)學習了原函數(shù)的概念，不定積分的概念，不定積分的性質(zhì)，學習了幾個簡單的積分公式，并通過幾個例子熟悉積分公式的使用.六、作業(yè)習題3.1，1（1）（3）（5）（7）、2、3、4§3.2不定積分的換元積分法教學目的：1、理解換元積分法的基本思想；2、掌握不定積分的第一類換元積分法和第二類換元積分法，有理函數(shù)積分方法教學重、難點：1、重點：不定積分的第一類換元積分法、第二類換元積分法,有理函數(shù)的積分2、難點：有理函數(shù)的部分分式，不定積分的第二類換元積分法.教學課時：4教學過程：利用積分基本公式和性質(zhì)可以計算的不定積分只是一小部分,更多的需要用變量代換的思想，將不能利用基本積分公式的不定積分轉(zhuǎn)化為可以利用基本積分公式的形式，這種方法稱為換元積分法.具體有兩種類型：第一類換元積分法和第二類換元積分法.一、第一類換元積分法（湊微分法）【定理】若,則有,其中有連續(xù)的導數(shù).【證明】由于,則．令,原式=．運用該定理時，主要化為,所以這種換元積分法也稱為湊微分法．【例1】求（為常數(shù)）．【解】聯(lián)想公式原式．【例2】求．【解】聯(lián)想公式,原式．【例3】求．【解】因,原式．【例4】求.【解】因,又由于,原式.【例5】求.【解】因為,原式.【例6】求.【解】已知,原式.請思考:,.【例7】求.【解】因為,所以原式.請思考:,,.【例8】求.【解】因為,原式請思考:,.【例9】求.【解】原式【例10】求.【解】因為,所以原式.請思考:,,,.【例11】求.【解】原式=請考慮:,.【例12】求.【解】類似可得有理函數(shù)的積分按照分母中因式的情況，將真分式拆成以的所有因式為分母的簡單真分式之和，這種方法就稱為部分分式法.部分分式的目的在于方便利用基本積分公式進行積分.根據(jù)分母中因式的情況，真分式的部分分式的形式主要有兩種:當分母中含有因式時，部分分式所含的對應項為當分母中含有因式，其中時，部分分式所含的對應項為可以看到，部分分式中分母為一次因式的分子為常數(shù)，而分母為二次因式的分子為一次因式，其中分子中的待定系數(shù)可以通過分式相等求出.【例13】求【解】設，由分式相等，得,,于是所以【例14】求 【解】設由分式相等，得解得所以三、第二類換元法在第一類換元法中,作變換,把積分變成后再直接積分.而有些函數(shù)需要作以上相反的變換,令,把化成的形式以后再進行積分運算.【定理】設單調(diào)可導,且,又設具有原函數(shù),則有.1.根式代換當被積函數(shù)中含有的形式,我們可以直接令或【例15】求.【解】令,則,原式.【例16】求.【解】令（和的最小公倍數(shù)）,則,原式2.三角代換當被積函數(shù)中含有時,使用根式代換是無效的,為了去根號,我們采用三角代換.【例17】求.【解】令,則,,于是原式為了將變量還原成,按原變換作一輔助三角形則,,,原式一般常用的三角代換有下列三種:(1)被積函數(shù)中含有,令（)；(2）被積函數(shù)中含有,令（）；(3）被積函數(shù)中含有,令（）.【例18】求.【解】令,則,,于是原式,再作輔助三角形,原式．【例19】求【解】當時，令（）,則,原式=,按變換,作輔助三角形原式．當時，令，原式=所以，原式=3.倒代換在被積函數(shù)的分母中如果含有，也常利用倒代換（即令）來消去分母中的變量因子.【例20】求.【解】令，則，于是當時，，當時，，所以4.其他代換【例21】求【解】設，則，，于是四、小結(jié)本節(jié)主要學習了不定積分的第一類換元積分法和第二類換元積分法，以及有理函數(shù)的積分.第二類換元法主要介紹了三種三角代換，即，與，分別適用于三類函數(shù)，與.在利用三角代換進行換元積分將積分變量還原為原積分變量時要借助于輔助三角形.五、作業(yè)習題3.22（1）（3）（5）（7）（9）（11）（15）2（18）（20）（23）（25）（30）（31）（32）§3.3不定積分的分部積分法教學目的：1、理解不定積分的分部積分法的思想2、掌握分部積分法方法及類型教學重難點：1、重點：不定積分的分部積分法2、難點：分部積分法中與的選取教學課時：2教學過程：一、分部積分法設具有連續(xù)的導數(shù),則由微分法有兩邊積分得或該方法主要作用是把左邊的不定積分轉(zhuǎn)化為右邊的不定積分,顯然后一個積分較前一個積分要容易,否則,該轉(zhuǎn)化是無意義的．如果被積函數(shù)僅為一種函數(shù)，可以直接運用分部積分公式計算.【例1】求【解】選，由公式【例2】求【解】選,由公式當被積函數(shù)是兩個不同類型函數(shù)的乘積時，需要將某個函數(shù)看成，而將另一個函數(shù)與自變量的微分結(jié)合成為，然后利用公式計算.使用分部積分法的常見題型中和的選取方法：(1)，，等，選；(2)，，等，選；(3)，等，和的選取任意.【例3】求．【解】選,,原式＝(利用上式結(jié)果)＝.【例4】求.【解】選,原式.【例5】求.【解】因為,所以選,原式【例6】求.【解】選,原式.【例7】求.【解】選,原式,同理,所以,移項后得,于是有.本題在運算過程中又出現(xiàn)待求的算式，稱這種方法為還原法.【例8】求【解】選，得移項得，所以有些不定積分運用單一的積分方法還不行，有時需要運用幾種積分方法.【例9】【解】設，則二、作業(yè)習題3.31（1）（3）（5）（7）（10）（15）(16)2§3.4定積分的概念和性質(zhì)教學目的：1、理解定積分的定義，掌握定積分的幾何意義和經(jīng)濟意義2、掌握定積分的性質(zhì)教學重、難點：1、重點：定積分的概念的形成和定積分的幾何意義，定積分的性質(zhì)2、難點：用定積分定義求定積分，定積分大小的估計、比較、定積分中值定理教學課時：3教學過程：在上一章,我們研究了積分學的第一類問題,即求原函數(shù)的問題．本章,我們將研究積分學中的第二類問題——定積分．定積分的概念最早是在研究平面圖形的面積、變速直線運動物體的運動距離以及變力做功等問題中產(chǎn)生的．一、問題的引入問題1:曲邊梯形的面積設在上連續(xù),我們稱由直線及曲線所圍的圖形為曲邊梯形的面積A（如圖）下面我們研究曲邊梯形面積的計算方法.（1）分割：將區(qū)間分割成個小區(qū)間并作垂線,把整個曲邊梯形分成幾個小的曲邊梯形（如圖）（2）近似：在上任取一點,用第個小矩形的面積近似表示第個小曲邊梯形的面積（3）求和：求曲邊梯形面積的近似值．當個區(qū)間分割都很細時,把個小矩形的面積之和作為的近似值:（3）取極限，求的實際值．取，當時,和式的極限存在,且與的取法及區(qū)間的分割無關,則稱此極限值為曲邊梯形的面積,即問題2：總產(chǎn)量的變化率為變化時的總產(chǎn)量．當總產(chǎn)量對時間的變化率（即邊際產(chǎn)量）為常量時,總產(chǎn)量等于變化率乘以時間.現(xiàn)在設總產(chǎn)量的變化率是時間的函數(shù),求時間從到的總產(chǎn)量．（1）分割：將時間區(qū)間分成幾個小區(qū)間,記其長度為,在上任取一點,則為時間段的生產(chǎn)量的近似值.（2）近似、求和：當分割越細,上式的近似程度就越好．（3）取極限：取，當時,上式的極限存在,且與區(qū)間的分割和的取法無關,我們就稱該極限值為中的總產(chǎn)量,即從上面兩個問題看出,雖然它們是兩個截然不同的問題,但解決問題的方法和計算形式都是想同的,即都是一個和式的極限．二、定積分的定義【定義】設函數(shù)在上有界,在之間任意插入個分點,把分成個小區(qū)間,即記為第個小區(qū)間的長度,在小區(qū)間上任取一點,作和式．記,若當時,極限存在,且與分點及的取法無關,我們就稱在區(qū)間上是可積的,并把該極限值稱為在上的定積分,記作．即:其中,稱為被積函數(shù),稱為積分變量,稱為被積表達式,為積分區(qū)間,為積分下限,為積分上限,稱為積分號．【注】1.定積分的結(jié)果是一個數(shù)值,這個數(shù)值的大小只與被積函數(shù)及區(qū)間有關,與區(qū)間的分法及的取法無關.2.定積分與積分變量用什么字母也無關,即3.定積分定義中，積分下限總是小于積分上限.從數(shù)學的角度看，這種限制沒有必要.為了以后計算的方便，現(xiàn)對和兩種情況作如下補充規(guī)定：1）當時，；2）當時，.這樣，無論的大小關系如何，都有意義.3.定積分存在的條件設在上有定義,若下列條件之一成立,則在上可積:（1）在上連續(xù);（2）在上只有有限間斷點,且有界;三、定積分的幾何意義與經(jīng)濟意義1.定積分的幾何意義由定義,在上當非負時,在幾何上表示曲線與直線、及軸所圍曲邊梯形的面積．而在上,當時,在上與軸圍的圖形在軸的下方,定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值．在上當要變號時,定積分的幾何意義為:介于軸,曲線及直線之間的各部分面積的代數(shù)和．2.定積分的經(jīng)濟意義如果已知某一經(jīng)濟量的變化率為,則其定積分表示的是在這一階段的經(jīng)濟總量的變化量．如設總收入關于產(chǎn)量的變化率為,則的意義是:當產(chǎn)量從變化到時的總收入的變化量．【例1】求由曲線所圍成平面圖形的面積.【解】由定積分的幾何意義知只需計算即可因為在上連續(xù),由定理2,在上可積.將分成等份,于是各分點為,各小區(qū)間的長度為,取,從而.此時,所以,由定義1四、定積分的性質(zhì)假設函數(shù)在所考慮的區(qū)間上可積．【性質(zhì)1】,特別地有.【性質(zhì)2】被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面,即【性質(zhì)3】兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分,等于它們定積分的代數(shù)和,即【性質(zhì)4】設,則有該性質(zhì)稱之為對積分區(qū)間的可加性．利用性質(zhì)1,可以證明:無論的位置如何,上式都成立．【性質(zhì)5】若在上,,則．【推論1】若在上,恒有,則.【性質(zhì)6】設在上有最大值和最小值,則有．上式稱之為定積分的估值不等式．【性質(zhì)7】（定積分中值定理）若在上連續(xù),則在上至少有一點,使得下式成立:【例2】比較積分值和的大小.【解】設，，，在[0,1]上單調(diào)遞增，，所以，∴【例3】估計的值.【解】在上單調(diào)遞增，最大值，最小值即【例4】估計的值.【解】分析：先求最大、最小值——求駐點（）二、小結(jié)1.重述定積分的定義；注意定義的兩個“任意”；涉及對連續(xù)變量的累積，一般采用分割，近似求和，取極限的方法進而歸結(jié)到求定積分.2.掌握定積分的幾何意義.3.熟練掌握定積分的性質(zhì)及其應用.三、作業(yè)習題3.42（1）（3）、3、5（1）（3）（5）、6（1）（3）§3.5微積分基本定理教學目的：1、掌握積分上限的函數(shù)及其導數(shù)2、掌握微積分基本公式及其應用教學重點、難點：1、重點：微積分基本公式的應用2、難點：積分上限函數(shù)的導數(shù)教學課時：2教學過程：一、變上限的定積分與原函數(shù)存在定理【定義】設在上可積,則對任意的,在上可積,于是,存在,由于任意給定一個,有一個積分值與之對應,該值是積分上限的函數(shù),所以,可以記，稱為積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)的幾何意義如圖：【定理】（原函數(shù)存在定理）若在上連續(xù),則.【證明】略.二、牛頓——萊布尼茲公式【定理】（定積分的基本定理）設在上連續(xù),是在上的任一個原函數(shù),則有.【證明】略.這個定理將積分學中的兩個重要概念不定積分與定積分聯(lián)系到了一起,并把求定積分的過程大大簡化了,所以,稱之為微積分基本定理.同時,它是由牛頓和萊布尼茲各自單獨創(chuàng)立的,故又稱牛頓—萊布尼茲公式．【例1】求．【解】因在上連續(xù),且是它的一個原函數(shù),所以【例2】求【解】因為所以,原式=在利用牛頓——萊布尼茲公式求定積分時,一定要注意被積函數(shù)在積分區(qū)間中是否滿足可積條件．【例3】計算曲線在上與軸所圍圖形的面積．【解】由定積分的幾何意義,有【例4】求．【解】原式【例5】設，求在內(nèi)的表達式.【解】當時，當時，當時，所以積分上限函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，可得（1）（2）【例6】求．【解】因為在上連續(xù),由定理有．【例7】求極限.【解】此式為的未確定型,利用洛必達法則:原式【例8】求關于的導數(shù)．【解】因為=,有三、小結(jié)1、積分上限函數(shù)的導數(shù)2、N-L公式四、作業(yè)習題3.51（1）（4）（7）、2（1）（3）（5）、3（2）、5§3.6定積分的換元積分法與分部積分法教學目的：1、掌握定積分的換元積分法2、掌握定積分的分部積分法教學重、難點：重點：熟練運用換元積分法和分部積分法難點：靈活運用換元法和分部積分法教學課時：2教學過程：計算定積分的關健是要找一個原函數(shù),而原函數(shù)問題在上一章已解決,為今后計算上的方便,在此,進一步介紹定積分的換元法和分部積分法.一、換元積分法【例1】求．【解】令,有,且當時,當時,于是．【例2】求．【解】令,有與,且當時,當時,所以．【例3】求．【解】令,即,,且當時,當時,所以．請讀者體會以上各種解法的步驟,并比較它們的優(yōu)劣,在計算中采用何種方法,完全按函數(shù)的特點和解題的習性而定．請思考:,.【例4】設在對稱區(qū)間上連續(xù)，證明=1\*GB3①如果為奇函數(shù)，則;=2\*GB3②如果為偶函數(shù)，則.【證明】對于,令,則,且當時,當時,所以當為奇函數(shù),則有當為偶函數(shù),則【例5】求．【解】因為和都是奇函數(shù),所以原式．【例6】若在連續(xù),證明．【證明】設,則,且當時,當時,所以左邊右邊．二、分部積分法【定理】設函數(shù),在上有連續(xù)的導數(shù),則有定積分的分部積分公式:.引導觀察書中圖示進行證明.【例7】求．【解】原式【例8】求．【解】（?。纠?】設,求.【解】.由已知條件得,,即.因,從而有,即.【例10】證明定積分公式【證】由此可得遞推公式，繼續(xù)使用遞推公式，可得當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，而所以三、小結(jié)1、定積分的換元積分法2、定積分的分部積分公式四、作業(yè)習題3.61（1）（3）（5）（7）（9（11）、2（1）（3）、3（1）§3.7反常積分教學目的：1、理解無窮區(qū)間上的反常積分的定義及計算2、理解無界函數(shù)反常積分的定義及計算3、了解函數(shù)的定義與計算教學重、難點：1、重點：利用反常積分的定義計算2、難點：無界函數(shù)的反常積分、函數(shù)的計算教學課時：2教學過程：一、無窮限反常積分【定義】設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，在上可積，則稱為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分.如果極限存在,那么稱反常積分收斂；否則，稱反常積分發(fā)散.類似地,可以定義函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分.設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，稱為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分（其中為任一常數(shù)，常?。斍覂H當和都收斂時，反常積分收斂.否則，就稱反常積分發(fā)散.=+=+這時也稱反常積分收斂；否則就稱反常積分發(fā)散。【例1】計算反常積分,【解】【例2】計算廣義積分.【解】【例3】證明廣義積分當時收斂；當時發(fā)散?！咀C明】當時，=當，故命題得證。二、無界函數(shù)的廣義積分如果函數(shù)在點的任一鄰域內(nèi)都無界，那么點稱為函數(shù)的瑕點，無界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分?！径x】設函數(shù)在上連續(xù)，且，取，稱為函數(shù)在上的反常積分.如果極限存在，則稱反常積分收斂.否則，稱反常積分發(fā)散.類似地，可以定義函數(shù)在上的反常積分.設函數(shù)在上除點外連續(xù)，而在點的鄰域內(nèi)無界，即當且僅當反常積分與都收斂時，反常積分收斂.否則，就稱廣義積分發(fā)散。【例4】計算廣義積分（）【解】====【例5】討論廣義積分的收斂性【解】===故所求廣義積分發(fā)散?！纠?】證明廣義積分當時收斂；當時發(fā)散。【證明】當，發(fā)散當=故命題得證。三、函數(shù)下面討論一個在概率論中要用到的積分區(qū)間無限且含有參變量的積分?！径x】含參變量()的反常積分，稱為函數(shù).可以證明這個積分是收斂的。函數(shù)的性質(zhì)（1）()；（2）（3）（).證（1）這是一個遞推公式。利用此公式，計算函數(shù)的任意一個函數(shù)值可化為求函數(shù)在上的函數(shù)值。例特別地，當為正整數(shù)時可得 這是因為 而所以【例7】計算下列各值：(1)(2)【解】(1)(2)【例8】計算下列積分：(1)(2)【解】(1)(2)令于是而（【注】這個結(jié)果將在第四章中進行驗證）所以四、小結(jié)1、無窮限反常積分的定義及求法2、無界函數(shù)反常積分的定義及求法3、函數(shù)的性質(zhì)及計算五、作業(yè)習題3.71（1）（3）（4）（8）、2（2）、3§3.8定積分的幾何應用與經(jīng)濟應用教學目的：1、理解和掌握定積分的元素法，2、會用元素法計算平面圖形的面積、立體的體積.3、會用定積分解決經(jīng)濟學中的應用問題.教學重點、難點：1、重點：元素法的思想，直角坐標系下平面圖形面積計算、定積分在經(jīng)濟學中的應用2、難點：立體體積的計算教學課時：6教學過程：一、元素法1．寫出計算的定積分表達式步驟(1)根據(jù)問題，選取一個變量為積分變量，并確定它的變化區(qū)間；(2)設想將區(qū)間分成若干小區(qū)間，取其中的任一小區(qū)間，求出它所對應的部分量的近似值(為上一連續(xù)函數(shù))則稱為量的元素，且記作。(3)以的元素作被積表達式，以為積分區(qū)間，得這個方法叫做元素法，其實質(zhì)是找出的元素的微分表達式稱此法為微元法。2．能用定積分計算的量，應滿足下列三個條件(1)與變量的變化區(qū)間有關；(2)對于區(qū)間具有可加性；(3)部分量可近似地表示成。二、平面圖形的面積問題1：設平面圖形是由曲線和直線所圍成（），且在上，求它的面積.（型）取為積分變量，其變化區(qū)間，在中任取小區(qū)間[]，該區(qū)間上的圖形面積近似等于高為、底為的矩形面積，因此面積元素，所求圍成圖形的面積：.兩個特例更一般的情況：問題2：設平面圖形是由曲線和直線所圍成且在[c，d]上，求它的面積.（型）所求圖形的面積:【例1】求曲線在上與軸所圍圖形的面積【解法1】．【解法2】．【例2】求曲線及直線,所圍圖形的面積【解】曲線與直線之間的交點坐標分別是,和,于是通過計算我們可以發(fā)現(xiàn),用定積分求平面區(qū)域的面積的主要步驟是:①作圖,確定圖形的類型②確定變量的上下限，列出面積表示式;③求定積分的值.【例3】求所圍平面區(qū)域的面積【解】在區(qū)域中,的最小和最大取值分別是0和1,在上任作一條平行于軸的直線,該直線與區(qū)域邊界上、下交點分別在直線和曲線上,所以【例4】求及直線所圍平面圖形的面積【解】曲線之間交點坐標分別是和,如果在中,作平行于軸的直線,則下邊界有兩條曲線和,我們采用兩種分法求解．方法一、（型——關于求積分）用直線把原域分成左、右兩塊,則由情況（1）的討論,有;方法二、（型——關于求積分）我們可以把邊界曲線表示成和,在區(qū)域上的最小、最大取值分別是和,左、右邊界函數(shù)分別是和,于是．可以讓學生比較兩種解法的優(yōu)劣,得出結(jié)論：將圖形看成型或型對計算的繁簡有影響。并考慮:由曲線所圍圖形的面積.三、立體的體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體，該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.計算由曲線直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體的體積.取為積分變量，則，對于區(qū)間上的任一區(qū)間，它所對應的窄曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的薄片似的立體的體積近似等于以為底半徑，為高的圓柱體體積.即：體積元素為，所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為【例5】一喇叭可視為由曲線，直線以及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的體積.【解】取為積分變量，則【例6】求由曲線所圍成的圖形繞軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【解】草圖求交點得兩頂點繞軸：繞軸：2、平行截面面積為已知的立體的體積(截面法) 由旋轉(zhuǎn)體體積的計算過程可以發(fā)現(xiàn)：如果知道該立體上垂直于一定軸的各個截面的面積，那么這個立體的體積也可以用定積分來計算.取定軸為軸，且設該立體在過點，且垂直于軸的兩個平面之內(nèi)，以表示過點且垂直于軸的截面面積.取為積分變量，它的變化區(qū)間為.立體中相應于上任一小區(qū)間的一薄片的體積近似于底面積為，高為的扁圓柱體的體積.即：體積元素為，于是，該立體的體積為【例7】計算橢圓所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.【解】這個旋轉(zhuǎn)體可看作是由上半個橢圓及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體.在處，用垂直于軸的平面去截立體所得截面積為可考慮若由右半橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.三、定積分在經(jīng)濟中的應用由定積分的經(jīng)濟意義知道,已知某一經(jīng)濟量的邊際函數(shù)為,則定積分是關于在區(qū)間上的該經(jīng)濟的總量．1.由邊際函數(shù)求原函數(shù)【例8】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每天生產(chǎn)噸的邊際成本為（萬元）,固定成本5萬元,求總成本函數(shù)及產(chǎn)量從開始到10噸時的總成本．【解】總成本函數(shù),由于固定成本為5萬元,即,所以,（萬元）;當產(chǎn)量從開始到10噸時的總成本為:（萬元）．由變化率求變化區(qū)間上的增量【例9】已知生產(chǎn)某產(chǎn)品單位總收入的變化率為（萬元／單位）,試求（1）生產(chǎn)單位時的總收入及平均單位收入;（2）求生產(chǎn)2000個單位時的總收入和平均單位收入．【解】（1）總收入函數(shù),由于,所以,此時的平均單位收入;（2）當生產(chǎn)2000個單位產(chǎn)品時的總收入為:（萬元）,此時平均單位收入為:（萬元）．3.由邊際函數(shù)求最大利潤【例10】設生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為,而當產(chǎn)量為時的邊際成本,邊際收入,試求:（1）總利潤函數(shù);（2）總利潤最大的產(chǎn)量．【解】（1）設總利潤函數(shù)為,則,且,于是,總利潤函數(shù),由于時,（固定成本）,所以,．令,得到且,所以,當產(chǎn)量為個單位時,利潤最大,此時,最大利潤為．4.資本現(xiàn)值與投資問題在第1章1.7節(jié)中介紹過復利問題和貼現(xiàn)問題.設有元貨幣，若按年利率作連續(xù)復利計算，則年后的價值為元；反之，若年后要有貨幣元，則按連續(xù)復利計算，現(xiàn)在應有元，稱為資本現(xiàn)值（或現(xiàn)值）.現(xiàn)設在時間區(qū)間內(nèi)時刻的收益率（表示單位時間的收益）為，若按年利率作連續(xù)復利計算，求在內(nèi)獲得的總收益的現(xiàn)值.用微元法.在時間區(qū)間內(nèi)任取時間區(qū)間，由資本現(xiàn)值的概念，在內(nèi)的收益現(xiàn)值近似等于，于是，總收益現(xiàn)值微元為所以在內(nèi)獲得的總收益的現(xiàn)值為【例11】某投資公司向一企業(yè)投資800萬元，年利率為5%，在20年中每年將獲得收益200萬元，求總收益的現(xiàn)值，投資所得的凈收入和投資回收期.【解】總收益的現(xiàn)值（萬元）投資所得的凈收入（萬元）由，得解得（年）5.消費者剩余和生產(chǎn)者剩余在市場經(jīng)濟下，價格和數(shù)量在不斷調(diào)整，最后趨于平衡價格和平衡數(shù)量，分別用和表示，平衡點是供給曲線與需求曲線的交點.消費者剩余和生產(chǎn)者剩余都是經(jīng)濟學中的重要概念.消費者剩余（ConsumerSurplus），簡記為CS,是指消費者在購買一定數(shù)量的某種商品時愿意支付的最高總價格和實際支付的總價格之間的差額.圖3.30生產(chǎn)者剩余（ProducerSurplus），簡記為PS，是指賣者出售一種物品或服務得到的價格減去賣者的成本.從圖3.30可以看出，平衡點處的消費者剩余為平衡點處的生產(chǎn)者剩余為【例12】已知需求函數(shù)，供給函數(shù)，求供需平衡點；（2）平衡點處的消費者剩余和生產(chǎn)者剩余；（3）當價格為16時的消費者剩余.【解】（1）由解得，代入得求得平衡點為.(2)平衡點處的消費者剩余平衡點處的生產(chǎn)者剩余當時，,此時的消費者剩余四、小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容是元素法的提出、思想、步驟（注意微元法的本質(zhì)），應用微元法分別求出平面圖形的面積、立體的體積及其定積分在經(jīng)濟學中的簡單應用.五、作業(yè)習題3.81（1）（3）（5）（7）、2（1）（3）、3、7、8、10習題課(4課時）一、知識總結(jié)1、不定積分的概念(1)原函數(shù):若為的一個原函數(shù)（即）,則有