黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三年級下冊三模聯(lián)考數(shù)學(xué)

黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三下學(xué)期三模聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡

上的指定位置。

2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非

答題區(qū)域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡

上作答；字體工整，筆跡清楚。

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。

5.本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合4={兄。*=2},若A^N,則所有。的取值構(gòu)成的集合為

A.{1,2}B.{1}C.{0,1,2}D.N

2.復(fù)平面內(nèi)A、B、C三點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1-i,2-i,3+i,若ABC。為平行四邊形，則點。對應(yīng)的

復(fù)數(shù)為

A.2B.2+iC.1D.1+1

3.設(shè)廠為拋物線C:：丁=。必的焦點，若點PQ,2）在C上，則|所|=

5917

A.3B.—C.一D.—

248

...,、1—ucx

4.右/r(%)—-sinx為偶函數(shù)，則。=

1+e

A.1B.0C.-1D.2

5.某同學(xué)參加社團面試，已知其第一次通過面試的概率為0.7,第二次面試通過的概率為0.5.若第一次

未通過，仍可進(jìn)行第二次面試，若兩次均未通過，則面試失敗,否則視為面試通過，則該同學(xué)通過面試

的概率為

A.0.85B.0.7C.0.5D.0.4

6.設(shè)S“為等差數(shù)列{4}的前〃項和，邑=2,§6=12,則$8=

A.8B.10C.16D.20

20萬

7.已知某圓錐的底面半徑長為2,側(cè)面展開圖的面積為則該圓錐內(nèi)部最大球的半徑為

3

8.設(shè)%,%（石＜乙）為函數(shù)F（x）=3sinxT在區(qū)間（0,萬）的兩個零點，則sin（%2-%）=

V24及12

A.B.----C.—D.一

3933

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知a力＞0,則使得“a＞6”成立的一個充分條件可以是

11

A.—<-B.\a-2\>\b-2\C.crb-ab2>a-bD.In(tz2+1)>ln^Z?2+1)

ab

10.已知正方體4片￡?！狝BC。的棱長為3,P在棱4與上，42=九414，丸[0,1],后為。。1的中

點，則

A.當(dāng)；1=0時，A到平面尸3。的距離為逝B.當(dāng)彳=!時，AEJ_平面尸

2

C.三棱錐A-QBD的體積不為定值

D.AB與平面尸3。所成角的正弦值的取值范圍是—

32

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標(biāo)軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點在坐標(biāo)

軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)45°,即得“斜橢圓"C:x?+y2+孫=1,設(shè)P（%,為）在C上，則

A.“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為y=xB.。的離心率為g

22r\r\

C.旋轉(zhuǎn)前的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為^二~=1D.-----張瓦）----

2233

3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.[x+a]的展開式中，V的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

13.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里的一個非常重要的不動點定理，簡單的講就是對于滿足

一定條件的連續(xù)函數(shù)/（%）,存在一個點七,使得/（毛）=/，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù).函

數(shù)/(%)=2x-sinx+cosx有個不動點.

14.己知圓C:(x—3y+(y—3>=4,點A(3,5),點8為圓C上的一個動點(異于點A),若點P在以

AB為直徑的圓上，則P到x軸距離的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步

驟.

15.(本小題滿分13分)

已知」ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，"J,ABC的面積為:a(csinC+bsinB—asinA).

(1)求A；

(2)若a=2,且,ABC的周長為5,設(shè)。為邊中點，求AD

16.(本小題滿分15分)

如圖，在三棱柱ABC—A31cl中，平面A41GC，平面ABC,A5=AC=BC=A&=2,瓜.

(1)證明：ACIAiB；

(2)求二面角A-OB1-3的正弦值.

17.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(%)==inx}cosx①乃),。>0,兀=工為/(x)的極值點.

e2

(1)求a-In。的最小值；

(2)若關(guān)于x的方程/(九)=1有且僅有兩個實數(shù)解，求a的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)

22

已知雙曲線C:j—2r=l(a〉O力〉0)的實軸長為2,設(shè)廠為。的右焦點，T為C的左頂點，過少的

礦b

直線交C于A,B兩點，當(dāng)直線A8斜率不存在時，,工鉆的面積為9.

(1)求C的方程；

(2)當(dāng)直線斜率存在且不為。時，連接TA,7B分別交直線x=g于P,。兩點，設(shè)M為線段尸。

的中點，記直線AB,的斜率分別為匕,取，證明：4/2為定值-

19.(本小題滿分17分)

甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為,，乙射擊一次命中的概率為2,比賽共進(jìn)

23

行九輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊九次，每次命中得2分，未命中

得0分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0

分，并終止射擊.

(1)設(shè)甲同學(xué)在方案一中射擊九輪次總得分為隨機變是X“，求E(X2O)；

(2)甲、乙同學(xué)分別選取方案一、方案二進(jìn)行比賽，試確定N的最小值，使得當(dāng)〃..N時，甲的總得分

期望大于乙.

數(shù)學(xué)考試

參考答案、提示及評分細(xì)則

1.CA={x|ax=2},故A中至多一個元素，當(dāng)A=0時，a=0,當(dāng)時，

a=l,2,;.ae{0,l,2}.故選C.

2.B由題意知A,B,C三點的坐標(biāo)為4(1,—1),6(2,-1),。(3,1),設(shè)復(fù)平面內(nèi)點。(x,y),則

AB=(l,0),DC=(3-x,l-y),又ABC。是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，則AB=DC,貝必，解

1-y=0

rx=2

之得4,則。(2,1).故選B.

b=1

,，丫1117

3.D依題意，2=axl2,解得。=2,所以C:/=2的準(zhǔn)線為丁=——,所以|尸尸|=2+—=—，

2888

故選D.

1—Z7AX1—QP~X

4.A由題意，/(%)=——sin%=/(-%)=-------sin(-x),所以

l+exl+e-x

1-acxa-Qx

------,解得a=l,故選A.

l+e-xl+exl+eA

5.A第一次通過概率為0.7,第一次未通過第二次通過的概率為(l-0.7)x0.5=0.15,所以該同學(xué)通

過面試的概率為0.7+0.15=0.85.故選A.

567

6.D依題意，S2=ax+a2=2,S6=x6=12,所以％+4=4,故。6-g=2，所以數(shù)列

{%}的公差為:，所以=4^x8=Q|山x8=-x8=20,故選D.

7.C設(shè)母線長為/,依題意L/X2〃X2=4",解得/=W,所以圓錐的高為

233

力=/19]-22=|,所以圓錐母線與底面所成角的正切值為；，設(shè)圓錐內(nèi)部最大球的半徑為r,則

94

―<=—,解得廠=1,故選C.

r23

1——

4

8.B因為無￡（。,〃），所以石+%=?,sin（A：2-X）=sin（萬一2%）二sin2%=2sinx1cos%,因為

sinx；=1,所以cosX]=2，Z,所以sin(x2—xj=2xgx寺=唱，故選B.

hn

9.AD因為粗?>0,所以—<—，故。>。,A選項正確;

abab

取a=l,b=2,此時avZ?,B選項錯誤;

99111

。%一a/r>。-6可化為a+—>b+—,因為函數(shù)y=x+—在（0,+8）不單調(diào)，所以C選項錯誤；

abx

22

由144+^^^門伊+^可知，a>b,因為a,b>0,所以a>5,D選項正確，故選AD.

10.ABD當(dāng)；1=0時，A—為正三棱錐，BD=3叵,設(shè)A在平面尸8。內(nèi)的投影為。，貝U

OB=娓,所以A。=-9-6=G,A選項正確；

平面ACG4,所以6￡>，4石，設(shè)廠為55]的中點，則跖，卸\又AFLBP,所以皮

平面AEF,所以故AE_L平面PB2B選項正確；

yA-PBD^P-ABD-當(dāng)P運動時，P到平面A3。的距離保持不變，所以三棱錐A-QBD的體積為定值，

C選項錯誤；

由C可知，三棱錐A—PBD的體積為定值，所以點A到平面的距離4=也皿，

SpBD

顯然當(dāng)4=0時，尸2。的面積最大，此時42與平面所成角正弦值為走，

3

五

當(dāng)4=1時，尸3。的面積最小，此時AB與平面尸2。所成角正弦值為——,

2

所以AB與平面尸8。所成角正弦值的取值范圍是且也，D選項正確，故選ABD.

32

11.BCD由題意可知，斜橢圓關(guān)于y=龍和y=—x對稱，聯(lián)立直線y=%與C:必+y+孫=1,可

得/=g,聯(lián)立直線>=—%與。：必+,2+盯=],可得了2=i,所以。兩焦點所在直線方程為

y=—x,A選項錯誤；由A可知，半短軸為=半長軸為Jd+y2=日所以。的離

心率為——,B選項正確；

3

22

旋轉(zhuǎn)不改變橢圓的長短軸大小，所以旋轉(zhuǎn)前的橢圓焦點在X軸上，曲線方程為土+t=l,C選項正確；

22

3

因為必+孫+y2—「0,關(guān)于X的方程有解，所以產(chǎn)―外丁―I｝。解得—子釉松|,所以

D選項正確，故選BCD.

12.160或/(生)=160/,故填160.

13.1由題意可知即求函數(shù)g(x)=%—sinx+cosx的零點個數(shù)，

當(dāng)x…務(wù)時，S(-^)—A/2sin—V2>0,此時不存在零點；

當(dāng)兀，一萬時，g(x)=x—J2sin[x—]],,—yr+^2<0,此時不存在零點；

當(dāng)xe1一萬時，g'(x)=l—+易知g(x)在(—肛0)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞

減，g(—?)<0,g(0)=l>0,故g(x)在萬《]上有且僅有一個零點，綜上所述，

/(%)=2x-sinx+cos%僅有一個不動點.

14.y設(shè)5(%,%),則==J(x?！?)2+(」—5)2=2yl,則山?中點Af1空,當(dāng)『],

當(dāng)尸在M上方，且軸時，P到x軸距離取得最大值，此時，設(shè)P到x軸距離為d,且

d=j5—為+^^,設(shè)/=/-%e(0,2],則d=?—出/，所以當(dāng)，=1,即為=4時，d取

得最大值

2

15.解：(1)依題意，—a(csinC+bsinB-asinA)=—absinC,.........................2

22

分

所以csinC+bsinB—asinA=bsinC,.................................................3

分

由正弦定理可得，c2+b2-a2=bc,...................................................4分

由余弦定理，c2+b2-a2=2/?ccosA,解得cosA='，.................................5分

2

IT

因為Aw(O,;r),所以A=§；..............................................................6分

(2)依題意，b+c=5—a=3,......................................................6分

H^jc2+Z?2-bc=(b+c)2-3bc=a2,解得Z?c=g,.....................................8分

因為AD=g(AB+AC),............................................................10

分

V_5

日|、|AF；21/4b2+c2+bc(Z?+c)2-be311

所以AD=-(ABD+ACY=----------=-----------=-----=一，

44446

所以4。=巫...........................................................................13分

6

16.解：⑴取AC的中點。，則3OJ_AC,且30=石,................................1分

*

AB

因為平面A41GC1平面ABC,且平面AA.C.Cn平面ABC=AC,BOu平面ABC,

所以50_L平面AA1GC,............................................................2分

因為AOu平面A41GC,「.BO1^0,

所以45二^/^,5O=4。=,......................................................3分

因為4。=1,朋=2,「.AO_L4。，..........................................................4

分

又因為AO_LBO,AOcBO=0,40,BOu平面4。民AC!,平面,...................5分

e/、「，/、acosx+bsinx-asinx+bcosx(a+b)cosx+(Jb-d)sin%八

17.解：(1)/(%)=-----------------------------=-——-------1——-——，..........2分

ee

依題意，==所以a—6=0,...............................................3分

'e2

所以a—lnZ?=a—Ina,

,1jr—1

設(shè)g(x)=x—lnx,貝|g'(x)=l——=----,..................................................4

xx

分

當(dāng)(0,1)時，g(x)<0,g。)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,+8)時，g(%)>0,g(x)單調(diào)遞增，..........5

分

當(dāng)％=1時，g(x)取得最小值g⑴=1,所以a—lnb的最小值為1；............................6分

⑵由(1)可知，〃x)=a(sinx-cosx),

ex

人“、1sinx-cos%I八

令/(x)=l,則-------——=—,..........................................................8分

ea

、「7/、sin%-cosx?_,「，/、2cosx

設(shè)人(%)=-----------,貝ij〃(%)=-------,..................................................10

exe%

分

當(dāng)時，/(x)>O,/z(x)單調(diào)遞增，.................................................Il

分

當(dāng)時，/z'(x)<0,/2(x)單調(diào)遞減，.................................................12

分

且/1(0)=-1,/21m=05,/z(?)=e1......................................................13分

71

所以e萬〈d,e*.............................................................................15

分

18.解：(1)依題意，2a=2,解得a=l,................................................1分

設(shè)C的焦距為2c,則。2="+/，..........................................................2分

將X=C代入方程吞―5=1,可得|y|=土，...............................................