28.2.2 解直角三角形的應(yīng)用 基礎(chǔ)訓(xùn)練（解析版）

28.2.2解直角三角形的應(yīng)用基礎(chǔ)訓(xùn)練一、單選題：1．如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為，則高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定義，sinα=，代入AB值即可求解．【詳解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，某景區(qū)的兩個景點A、B處于同一水平地面上、一架無人機在空中沿方向水平飛行進行航拍作業(yè)，與在同一鉛直平面內(nèi)，當(dāng)無人機飛行至處時、測得景點的俯角為，景點的俯角為，此時到地面的距離為米，則兩景點A、B間的距離為多少米（結(jié)果保留根號）．（

）A．200米 B．300米 C．米 D．米【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：，，,，，米，,米，（米），米．故選：C．【點睛】此題考查了俯角的定義，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．如圖，一艘船從處向北偏東的方向行駛千米到處，再從處向正西方向行駛千米到處，這時這艘船與的距離（）A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)得出，進而得出，利用勾股定理得出即可．【詳解】解：如圖：，，千米，千米，千米，千米，千米，故選B．【點睛】此題考查了方向角、解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的三角函數(shù)得出解答．4．如圖，考古隊在處測得古塔頂端的仰角為，斜坡的長為米，坡度，長為米，則古塔的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】作，由，可設(shè)，結(jié)合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，作，垂足分別為，則四邊形是矩形，則,∵斜坡,，設(shè)，∴，∵,則，∴，∵長為，∴，∵，∴，∴，即古塔的高度為米，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角，坡角問題，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．5．如圖，沿方向架橋，以橋兩端出發(fā)，修公路和，測得，m，，則公路的長為（

）A．900m B．m C．m D．1800m【答案】B【分析】過點C作，垂足為E，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出，的度數(shù)，進而求出的度數(shù)，在直角三角形中，由特殊角三角函數(shù)以及直角三角形邊角的關(guān)系可得答案．【詳解】過點C作，垂足為E，，，，，，在Rt中，，m，m，在Rt中，，m，故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．小明去爬山，在山腳A看山頂D的仰角，小明在坡比為的山坡上走1300米到達B處，此時小明看山頂?shù)难鼋?，則山高為（）米A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，從而得到米，米，設(shè)米，則米，由，可得米，再由，可得，從而得到，求出x，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵米，∴米，米，設(shè)米，則米，∵，∴米，又∵，∴，即：，解得，∴米，∴米．即山高為米．故選：B【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．如圖，為了測量某建筑物的高度，小穎采用了如下的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的A點出發(fā)，沿斜坡行走100米至坡頂D處，再從D處沿水平方向繼續(xù)前行若干米到點E處，在E點測得該建筑物頂端C的仰角為59°，建筑物底端B的俯角為，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，斜坡的坡度．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算出建筑物BC的高度約為（結(jié)果精確到1．參考數(shù)據(jù)：，，）（）A．158米 B．161米 C．159米 D．160米【答案】D【分析】先利用斜坡的坡度求出，再利用矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出，之后利用正切求出的值，最后通過求和即可得到建筑物BC的高度．【詳解】解：如圖：過點D作于點F，過點E作于點G，過點E作于點H∵斜坡的坡度∴可設(shè)，∵在中，，∴∵在中，∵在中，故選：D．【點睛】本題考查坡度的意義，等腰直角三角形的性質(zhì)和解直角三角形，選取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ_求出線段長度是解題關(guān)鍵．二、填空題：8．如圖，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行．請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算回答，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算回答：小敏身高米，她乘電梯會有碰頭危險嗎？______．（填是或否）（可能用到的參考數(shù)值：，，）【答案】否【分析】求出長，比較大小即可．【詳解】解：根據(jù)天花板與地面平行，可知，（米）．因為，所以小敏不會有碰頭危險．故答案為：否．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練運用三角函數(shù)求解．9．一艘觀光游船從港口以北偏東的方向出港觀光，航行海里至處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故．一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東方向，馬上以海里每小時的速度前往救援．海警船大約需_____小時到達事故船處，()【答案】【分析】過點作交延長線于．先解得出海里，再解中，得出(海里)，然后根據(jù)時間=路程÷速度即可求出海警船到達事故船處所需的時間．【詳解】解：如圖，作交延長線于，在中，∵，∴，在中，，∴(海里)，∴海警船到達事故船C處所需的時間大約為：(小時)．故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，難度適中，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．如圖，同學(xué)們利用所學(xué)知識去測量三江源某河段某處的寬度，小童同學(xué)在A處觀測對岸點C，測得，小鄭同學(xué)在距點A處米遠的B點測得，請計算：河寬______米．（精確到米，，）【答案】【分析】設(shè)河寬為未知數(shù)，那么可利用三角函數(shù)用河寬表示出、，然后根據(jù)就能求得河寬．【詳解】解：過C作于E，設(shè)米，在中：，，在中：，，∴，解得：．答：河寬約為米．故答案為：．【點睛】此題主要考查了三角函數(shù)的概念和應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，抽象到三角形中，利用三角函數(shù)進行解答．11．如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測量“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，邊與點B在同一直線上，已知直角三角紙板中，測得眼睛D離地面的高度為米，他與“步云閣”的水平距離為，則“步云閣”的高度是___________m．【答案】【分析】在中，根據(jù)正切定義求出，再在中根據(jù)求出，即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，∴，在中，，且，解得：，∴，故答案為．【點睛】本題考查利用三角函數(shù)解實際問題，解題的關(guān)鍵是選擇合適的三角函數(shù)并且掌握其求法．12．如圖，一架水平飛行的無人機在A處測得正前方河岸邊C處的俯角為α，，無人機沿水平線AF方向繼續(xù)飛行80米至B處時，被河對岸D處的小明測得其仰角為．無人機距地面的垂直高度用AM表示，點M，C，D在同一條直線上，其中米，則河流的寬度CD為______．【答案】米【分析】根據(jù)題意，作構(gòu)造直角三角形和矩形，根據(jù)銳角三角函數(shù)得到AM、DE的長，然后計算出CD的長度．【詳解】作于點E，如圖所示，則四邊形是矩形，由已知可得：，，米，，米，，米，米米解得米米故答案為：米【點睛】本題考查了解直角三角形的實際問題，涉及到仰角俯角問題、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是理清題目條件，構(gòu)造適當(dāng)輔助線，靈活運用相關(guān)知識．13．如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片，此時各葉片影子在點M右側(cè)成線段，設(shè)太陽光線與地面的夾角為，測得，，風(fēng)車轉(zhuǎn)動時，葉片外端離地面的最大高度等于_____m．【答案】【分析】作平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理可知，由與影子的比為，可得的長，同法由等角的正弦可得的長，從而得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點O作，交于P，過P作于N，則，∵，∴，∴∵∴，∴∵，∴，∴∵，∴，∴，即∴，以點O為圓心的長為半徑作圓，當(dāng)與共線時，葉片外端離地面的高度最大，其最大高度等于米．故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在一街道的兩旁有甲、乙兩幢建筑物，某廣告公司在甲建筑物上懸掛一條廣告條幅，現(xiàn)在乙建筑物的頂部測得條幅頂端A的仰角為，條幅底端B的俯角為，已知街道寬，則廣告條幅AB的長是______．（結(jié)果保留根號）【答案】##【分析】過點作于點，根據(jù)，得出，即可得出，根據(jù)等腰三角形的判定，得出，在中，根據(jù)正切函數(shù)，得出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過點作于點，如圖所示：∵，，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的定義，記住特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．三、解答題：16．北京時間2022年6月5日10時44分，神舟十四號載人飛船在酒泉發(fā)射升空，為弘揚航天精神，某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵志條幅．如圖，已知樓頂?shù)降孛娴木嚯x為18.5米，當(dāng)小亮站在樓前點B處，在點B正上方點A處測得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓方向前行15米到達點D處（樓底部點E與點B，D在一條直線上），在點D正上方點C處測得條幅底端F的仰角為42°，若，均為1.7米（即四邊形為矩形），請你幫助小亮計算：(1)當(dāng)小亮站在B處時離教學(xué)樓的距離；(2)求條幅的長度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)小亮站在B處時離教學(xué)樓的距離為米(2)條幅的長度約為米【分析】（1）延長交于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到米，，，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）由（1）知米，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：延長交于H，則米，，，∵米，∴（米），在中，，∴，∴，∴（米），（2）解：由（1）知米，在中，∵，∴，∴，∴（米），答：條幅的長度約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．16.某新農(nóng)村樂園設(shè)置了一個秋千場所，如圖所示，秋千拉繩的長為3m，靜止時，踏板到地面距離的長為0．6m（踏板厚度忽略不計）．為安全起見，樂園管理處規(guī)定：“安全高度”為秋千蕩起時，踏板與地面的最大距離．兒童的“安全高度”為hm，成人的“安全高度”為2m（計算結(jié)果精確到0.1m）(1)當(dāng)擺繩與成夾角時，恰為兒童的安全高度，則h應(yīng)為多少米？請說明理由．(2)某成人在玩秋千時，擺繩與的最大夾角為，問此人是否安全？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)h應(yīng)為1.5米(2)此人安全，理由見解析【分析】（1）過作，得到等腰直角三角形，求出，利用，即可得到h；（2）過點作，解直角三角形，求出，利用求出到地面的距離，與成人的“安全高度”進行比較，即可得解．【詳解】（1）解：過作，∵，∴，∴；∴h應(yīng)為1.5米．（2）解：過點作，垂直于地面，則：，∵，∴，∴，∴，∵，∴此人安全．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用到的知識點是銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．17．如圖，海上有一座小島C，一艘漁船在海中自西向東航行，速度為60海里/小時，船在A處測得小島C在北偏東方向，1小時后漁船到達B處，測得小島C在北偏東方向．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的距離；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)漁船在B處改變航行線路，沿北偏東方向繼續(xù)航行，此航行路線記為l，但此時發(fā)現(xiàn)剩余油量不足，于是當(dāng)漁船航行到l上與小島C最近的D處時，立即沿方向前往小島C加油，加油時間為18分鐘，在小島C加油后，再沿南偏東方向航行至l上的點E處．若小船在D處時恰好是上午11點，問漁船能否在下午5點之前到達E處？請說明理由．【答案】(1)164海里(2)不能【分析】（1）由題意先得到，，利用和中的三角函數(shù)表示，進行求解即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意可得，利用和中的三角函數(shù)求得和的長度，由路程=時間×速度求得時間，再進行比較即可．【詳解】（1）解：過點作，由題意得(海里)，在A處測得小島C在北偏東方向，則，在B處測得小島C在北偏東方向，則，設(shè)海里，在中，，則，，則，在中，，則，且，，解得，答：的距離為164海里；（2）解：與小島C最近的D處，即，在B處沿北偏東方向繼續(xù)航行，則,在小島C加油后，再沿南偏東方向航行，則，，由（1）得的距離為164海里，在中，，，在中，，，漁船所用時間為：，答：漁船不能在下午5點之前到達E處【點睛】本題主要考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．如圖，坡的坡度為：，坡面長米，，現(xiàn)計劃在斜坡中點處挖去部分坡體用陰影表示修建一個平行于水平線的平臺和一條新的斜坡請將下面兩小題的結(jié)果都精確到米，參考數(shù)據(jù)：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰為，則此時平臺的長為______米；(2)坡前有一建筑物，小明在點測得建筑物頂部的仰角為，在坡底點測得建筑物頂部的仰角為，點、、、、在同一平面內(nèi)，點、、在同一條水平直線上，問建筑物高為多少米？【答案】(1)7.0(2)建筑物高約為米【分析】（1）先利用勾股定