廣東省汕頭市2024年高考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版)(文科)

2024年廣東省汕頭市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿(mǎn)60分）

1.已知集合A={X|H2WO},B={0,1,2,3},則ACB=（）

x

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{1,2,3}

2.已知三2-i,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.一袋中裝有大小相同，編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球，從中

有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，則取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率

為（）

A.—B.—C.—D.—

32646432

4.命題"ax?-2ax+3>0恒成立"是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.0<a<3B.aVO或a23C.aVO或a>3D.aWO或a23

7.已知向量彳、E滿(mǎn)意：W=2,bi=1>（/□那么向量W、E的夾角

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

22廠

8.已知雙曲線的方程為4?-弓=1（a>0,b>0）,過(guò)左焦點(diǎn)Fi作斜率為絲的

a'3

直線交雙曲線的右支于點(diǎn)P,且y軸平分線段F1P,則雙曲線的離心率為（）

A.MB.疾+1c.V2D.2+M

9.函數(shù)f（x）=cos2x的周期是T,將f（x）的圖象向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

4

函數(shù)g（x）,則g（x）具有性質(zhì)（）

A.最大值為1,圖象關(guān)于直線x=卷對(duì)稱(chēng)

B.在（0,二）上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)

C.在（/，<）上單點(diǎn)遞增，為偶函數(shù)

OO

D.周期為H,圖象關(guān)于點(diǎn)（/，0）對(duì)稱(chēng)

O

10.在四面體ABCD中，AB±AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD_1_平面BCD,M

為AB中點(diǎn)，則線段CM的長(zhǎng)為（）

A-V2B-V3C.亨D.

11.過(guò)拋物線C：x2=2y的焦點(diǎn)F的直線I交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若拋物線C

在點(diǎn)B處的切線斜率為1,則線段|AF|=（）

A.1B.2C.3D.4

12.在4ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，且滿(mǎn)意b=c,-="呼,

acosA

若點(diǎn)O是aABC外一點(diǎn)，ZAOB=0（0<e<n）,OA=2,OB=1,則平面四邊形

OACB面積的最大值是（）

4+W^8+浦4+遙

4?----------D.------------C.OU.-------------

442

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）

13.如圖所示的程序框圖，輸出的S=—

14.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

T

2

1

俯視圖

I,(2,1)是目標(biāo)函數(shù)z=ax+3y(a>0)

15.設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)意:

2x+y<5

取最大值的最優(yōu)解，則a的取值范圍是

16.若直角坐標(biāo)系內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿(mǎn)意：（1）點(diǎn)A,B都在f（x）的圖象上;

（2）點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)（A,B）是函數(shù)f（x）的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)",

X2+2X(X<C0)

點(diǎn)對(duì)（A,B）與（B,A）可看作一個(gè)"姊妹點(diǎn)對(duì)"，已知函數(shù)f（x）=

-y(x>0)

e

則f（x）的“姊妹點(diǎn)對(duì)"有個(gè).

三、解答題（本大題共5小題，共60分）

17.（12分）已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn，ai=2,an,i=Sn+2.

（1）求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）已知b=log2a求數(shù)歹I｛v_r---｝的前n項(xiàng)和T.

nn,bnbnMn

18.（12分）如圖，在三棱柱ABC-AiBiJ中，AB,平面BB?C,且四邊形BBiJC

是菱形，ZBCCi=60°.

（1）求證：ACilBiC；

（2）若AC_LABi，三棱錐A-BBiC的體積為在，求AABC的面積.

19.（12分）二手車(chē)經(jīng)銷(xiāo)商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的A型號(hào)二手汽車(chē)的運(yùn)用年數(shù)x與

銷(xiāo)售價(jià)格y（單位：萬(wàn)元/輛）進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù):

運(yùn)用年數(shù)X234567

售價(jià)y201286.44.43

z=lny3.002.482.081.861.481.10

（1）由折線圖可以看出，可以用線性回來(lái)模型擬合z與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)數(shù)

加以說(shuō)明；

（2）求y關(guān)于x的回來(lái)方程并預(yù)料某輛A型號(hào)二手車(chē)當(dāng)運(yùn)用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)

約為多少？（柒彳小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字）.

（3）基于成本的考慮，該型號(hào)二手車(chē)的售價(jià)不得低于7118元，請(qǐng)依據(jù)（2）求

出的回來(lái)方程預(yù)料在收購(gòu)該型號(hào)二手車(chē)時(shí)車(chē)輛的運(yùn)用年數(shù)不得超過(guò)多少年？

參考公式：回來(lái)方程；=gx+W中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

n__n

E)(y「y)￡x^^y.-nxy

八i=li=l__________

ba=y-bx，

n_32-2

〉,燈-nx

i=li=l

n

￡(x「x)(yi-y)

i=l

r22

(Xi-X)f(yx-?)

Vi=li=l

參考數(shù)據(jù):

66

xy=187,4J2

￡ii=47.64,￡=139,￡(xi-x)=4.18,

i=li=li=li=l

(%5)2=13.96,

脛(z「W)2=1.53,lnl.46^0.38,lnO.7118^-0.34.

Vi=l1

20.(12分)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M：(x+1)2+y2=16,定點(diǎn)F(1,0),點(diǎn)

N是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，線段NF的垂直平分線交圓M的半徑MN于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q的

軌跡為E.

(1)求曲線E的方程；

(2)已知點(diǎn)P是曲線E上但不在坐標(biāo)軸上的隨意一點(diǎn)，曲線E與y軸的交點(diǎn)分

別為Bi、B2,直線BF和B2P分別與x軸相交于C、D兩點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)線段長(zhǎng)之積

|OC|?|OD|是否為定值？假如是懇求出定值，假如不是請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)C坐標(biāo)為(-1,0),過(guò)點(diǎn)C的直線I與E相交于

A、B兩點(diǎn)，求4ABD面積的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=-x2+alnx,aGR.

(1)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=4時(shí)，記函數(shù)g(x)=f(x)+kx,設(shè)x】、X2(xi<X2)是方程g(x)=0

的兩個(gè)根，是、的等差中項(xiàng)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求證：g'

XoXix2g'(x)g(x)

(x0)<0.

四、選修題

22.(10分)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是p=6cos。，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的

原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線I的參數(shù)方程是

|x=l+tcos0,/AL.43、

.”(t為參數(shù)).

iy=tsmU.

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程(一般方程)；

(2)若直線I與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2近，求直線的傾斜角a的

值.

五、選修題

23.(10分)已知函數(shù)f(x)=|x|+x-2

(1)求關(guān)于X的不等式f(x)V3的解集；

(2)假如關(guān)于x的不等式f(x)Va的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2024年廣東省汕頭市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，滿(mǎn)60分)

1.已知集合A={x|三WO},B={0,1,2,3},則AAB=()

x

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{1,2,3}

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.

【分析】求出A中不等式的解集確定出A,找出A與B的交集即可.

【解答】解：由A中不等式變形得：x(x-2)W0且xWO,

解得:0VxW2,即A=(0,2],

VB={0,1,2,3},

...AC1B={1,2},

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，嫻熟駕馭交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.已知田=27,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1-1

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】利用已知條件求出復(fù)數(shù)z,得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可推斷選項(xiàng).

【解答]解：=2-i,

1-1

.。=(1-i)(2-i)=1-3i

/.z=l+3i

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1,3)在第一象限.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題.

3.一袋中裝有大小相同，編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球，從中

有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，則取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率

為()

A.—B.—C.—D.—

32646432

【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率.

【分析】先求出基本領(lǐng)件總數(shù)n=8X8=64,再求出取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于

15包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，由此能求出取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率.

【解答】解：一袋中裝有大小相同，編號(hào)分別為1，2,3,4,5,6,7,8的八

個(gè)球，

從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，

基本領(lǐng)件總數(shù)n=8X8=64,

取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15包含的基本領(lǐng)件有：

(7,8),(8,7),(8,8),共3個(gè)，

.?.取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率為p=^-.

64

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意列舉法的合

理運(yùn)用.

4.命題"ax2-2ax+3>0恒成立"是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.0<a<3B.aVO或a23C.a<0或a>3D.aWO或a23

【考點(diǎn)】命題的真假推斷與應(yīng)用.

【分析】命題"ax?-2ax+3>0恒成立"是假命題，即存在x@R,使“ax?-2ax+3W0,

分類(lèi)探討即可.

【解答】解：命題"ax?-2ax+3>0恒成立"是假命題，即存在x￡R,使“ax?-2ax+3

W0,

當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意；

當(dāng)aVO時(shí)，符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，Z\=4a2-12a20=aN3,

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是：aVO或a23.

故選：B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的真假的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

5.

A.

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【分析】先由奇偶性來(lái)確定是A、B還是C、D選項(xiàng)中的一個(gè)，再通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù),

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)值為0,可進(jìn)一步確定選項(xiàng).

【解答】解：Yf(-x)=-f(x)是奇函數(shù)，

所以解除A,B

當(dāng)x=l時(shí)，f(x)=0解除C

故選D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查將函數(shù)的性質(zhì)與圖象，將兩者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，并敏捷地

運(yùn)用圖象及其分布是數(shù)形結(jié)合解題的關(guān)鍵.

JT?7T

6.已知(―,n)，sina=--,則tan(a+—)=()

254

A.-B.7C.—D.-7

77

【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切函數(shù)；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用.

【分析】由己知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosa,tana的值，進(jìn)而利用

兩角和的正切函數(shù)公式即可計(jì)算得解.

TTQ

【解答】解：*.,ae(―,R)，sina=—,

25

/.cosa=-Vl-sin2-可得：tana=譚,

/冗、tana+141

.'.tan(a+—)

41-tanai-(V)7

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正切函數(shù)公式在三

角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知向量W、E滿(mǎn)意：1=2,苗=1，(彳-百?lài)?。，那么向量；、E的夾角

為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】設(shè)向量熱E的夾角為仇由數(shù)量積的定義代入已知可得關(guān)于cose的方

程，解之可得.

【解答】解：設(shè)向量w、E的夾角為&ee[o,2

則由題意可得(a-b)-K-b-b2

=2XlXcos0-12=o,

解之可得cos0=*,故0=60°

故選C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及向量的夾角，屬中檔題.

22rr

8.已知雙曲線的方程為\-J=1(a>0,b>0),過(guò)左焦點(diǎn)Fi作斜率為當(dāng)?shù)?/p>

a2b23

直線交雙曲線的右支于點(diǎn)P,且y軸平分線段FiP,則雙曲線的離心率為()

A.MB.a+1C.近D.2+73

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)潔性質(zhì).

【分析】先求過(guò)焦點(diǎn)Fi(-c,0)的直線I的方程，進(jìn)而可得P的坐標(biāo)，代入雙

曲線方程，結(jié)合幾何量之間的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.

【解答】解：由題意，過(guò)焦點(diǎn)Fi(-c,0)的直線I的方程為：y=*?(x+c),

???直線I交雙曲線右支于點(diǎn)P,且y軸平分線段FiP,

...直I交y軸于點(diǎn)Q(0

,則x+c=2c,"c,，P點(diǎn)坐標(biāo)（c,￡?duì)tc）,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)

代入雙曲線方程得：｛=1

2

a

又,.,c2=a2+b2,Ac2=3a2,:

?**e=—=^3

a

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，確定P的坐標(biāo)是關(guān)

鍵.

9.函數(shù)f(x)=cos2x的周期是T,將f(x)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

4

函數(shù)g(x),則g(x)具有性質(zhì)()

A.最大值為1,圖象關(guān)于直線x=卷對(duì)稱(chēng)

B.在(0,二)上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)

C.在(二，萼)上單點(diǎn)遞增，為偶函數(shù)

OO

D.周期為H,圖象關(guān)于點(diǎn)(浮，0)對(duì)稱(chēng)

O

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(u)x+4))的圖象變換.

【分析】利用誘導(dǎo)公式，函數(shù)y=Asin(3X+6)的圖象變換規(guī)律求得g(x)的解

析式，再依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論.

【解答】解：函數(shù)f(x)=cos2x的周期是丁=等=兀，將f(x)的圖象向右平移]=[■

244

..,.1T

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=cos2(x--)=sin2x的圖象，

可得g(x)的最大值為1,當(dāng)x=卷時(shí)，g(x)=0,不是最值，故它的圖象不關(guān)

JT

于直線x=k對(duì)稱(chēng)，故解除A.

TT

g(x)在(0,亍)上單調(diào)遞增，且g(x)為奇函數(shù)，故B正確.

在(普，-y)上，2xe(-子，子)，sin2x沒(méi)有單調(diào)性，故g(x)沒(méi)有

單調(diào)性，故C錯(cuò)誤.

令x=?二求得g(x)=sin2x=乎，不是最值，故g(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(等,

0)對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤，

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y=Asin（3x+。）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)

性以及它的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題.

10.在四面體ABCD中，AB1AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD平面BCD,M

為AB中點(diǎn)，則線段CM的長(zhǎng)為（）

A.V2B.MC.D.

【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定.

【分析】如圖所示，取BD的中點(diǎn)0,連接OA,OC,利用等腰三角形的性質(zhì)可

得OALBD,OC1BD.又平面ABD_L平面BCD,可得0人1_平面BCD,OA1OC.建

立空間直角坐標(biāo)系.又ABLAD,可得DB=?,取OB中點(diǎn)N,連結(jié)MN、CN,

22

.?.MN〃0A,MN,平面BCD./.CM=VMN+MN^-

【解答】解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)0,連接0A,0C,

VAB=AD=BC=CD=1,AOA±BD,OC±BD.

又平面ABDJ_平面BCD,...OA，平面BCD,OA±OC.

又ABJ_AD,，DB=亞.

取OB中點(diǎn)N,連結(jié)MN、CN,...MN〃0A,MN,平面BCD.

VMN2=ON2+OC2,

CMTMN2+M9二孚.

故選：c,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面位置關(guān)系、向量夾角公式、等腰三角形的性質(zhì)，考

查了數(shù)形結(jié)合方法、推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.

11.過(guò)拋物線c：x2=2y的焦點(diǎn)F的直線I交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若拋物線C

在點(diǎn)B處的切線斜率為1,則線段|AF|=()

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)潔性質(zhì).

【分析】利用拋物線C在點(diǎn)B處的切線斜率為1,求出B的坐標(biāo)，可得直線I的

方程，利用拋物線的定義，即可求出|AF|.

【解答】M：Vx2=2y,.,.y=x,

...拋物線C在點(diǎn)B處的切線斜率為1,

.?.B(1,*),

Vx2=2y的焦點(diǎn)F(0,方)，準(zhǔn)線方程為y=-p

直線I的方程為丫=*,

A|AFj=l.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)潔性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)學(xué)問(wèn)，正確運(yùn)用拋物線的定義是

關(guān)鍵.

12.在AABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，且滿(mǎn)意b=c,-」一0號(hào),

acosA

若點(diǎn)O是4ABC外一點(diǎn)，ZAOB=0(0<9<n),0A=2,OB=1,則平面四邊形

OACB面積的最大值是()

4+573R8+573ro口奸泥

A.----------------D.-----------U.OU.---------

442

【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理.

【分析】由卜=上等，化為sinC=sinA,又b=c,可得aABC是等邊三角形，設(shè)

acosA

該三角形的邊長(zhǎng)為a,則SoACB=[xiX2sin9+搟a?,利用余弦定理、兩角和差的正

24

弦公式及其單調(diào)性即可得出.

【解答】解：由kJ.吁〉,化為sinBcosA=sinA-sinAcosB,

acosA

二?sin(A+B)=sinA,

.e.sinC=sinA,A,C￡(0,n).

C=A,又b=c,

.?.△ABC是等邊三角形，

設(shè)該三角形的邊長(zhǎng)為a,則：a2=l2+22-2X2Xcos0.

2

貝ISOACB=5X1X2sin0+^-a

24

=sin0+?(l2+22-2X2cos0)

4

=2sm(0------)+——,

34_

當(dāng)0=名時(shí)，SOACB取得最大值竺嬰.

64

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性、余弦定理、三角形的面積

計(jì)算公式，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）

13.如圖所示的程序框圖，輸出的S=88

【考點(diǎn)】程序框圖.

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變

量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，可得答案.

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

S=0,k=l,

執(zhí)行循環(huán)體，k=2,S=2

不滿(mǎn)意條件k>5,執(zhí)行循環(huán)體，k=3,S=7

不滿(mǎn)意條件k>5,執(zhí)行循環(huán)體，k=4,S=18

不滿(mǎn)意條件k>5,執(zhí)行循環(huán)體，k=5,S=41

不滿(mǎn)意條件k>5,執(zhí)行循環(huán)體，k=6,S=88

滿(mǎn)意條件k>5,輸出S的值為88.

故答案為：88.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采

納模擬循環(huán)的方法解答.

14.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為64+4K.

2'/2'!

<—4——4~~

正視圖側(cè)視圖

—4—?

信祠圖

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【分析】幾何體為長(zhǎng)方體挖去一個(gè)半球，把三視圖中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算即可.

【解答】解：由三視圖可知該幾何體為長(zhǎng)方體挖去一個(gè)半球得到的，長(zhǎng)方體的棱

長(zhǎng)分別為4,4,2,半球的半徑為2.

，S=4X4+4X2X4+4X4-nX22+yX4HX22=64+4n.

故答案為64+4n.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體的三視圖和面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)意：，(2,1)是目標(biāo)函數(shù)z=ax+3y(a>0)

{2x+y&5

取最大值的最優(yōu)解，則a的取值范圍是［6,+8).

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃.

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用(2,1)

是目標(biāo)函數(shù)z=ax+3y取最大值的最優(yōu)解，得到直線z=ax+3y(a>0)斜率的改變,

從而求出a的取值范圍.

【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=ax+3y得y=-《ax+￡z,即直線的截距最大，z也最大.

JJ

平移直線y=-￡ax+得z,則直線的截距最大時(shí)，z也最大，

當(dāng)a>0時(shí)，直線y=-￡ax+^z,在A處的截距最大，此時(shí)滿(mǎn)意條件.

OO

4a4-2

即a26,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)

合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法.

16.若直角坐標(biāo)系內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿(mǎn)意：(1)點(diǎn)A,B都在f(x)的圖象上；

(2)點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)(A,B)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)",

x?+2x(x<0)

點(diǎn)對(duì)(A,B)與(B,A)可看作一個(gè)"姊妹點(diǎn)對(duì)"，已知函數(shù)f(X)=[2,、、，

e

則f(x)的“姊妹點(diǎn)對(duì)"有2個(gè).

【考點(diǎn)】函數(shù)的值.

【分析】設(shè)P(x,y)(x<0),則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'(-x,-y),

從而2ex+x2+2x=O,令6(x)=2ex+x2+2x,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出函數(shù)力(x)在區(qū)

間(-2,-1),(-1,0)分別各有一個(gè)零點(diǎn).由此能求出f(x)的“姊妹點(diǎn)

對(duì)"的個(gè)數(shù).

【解答】解：設(shè)P(X,y)(x<0),則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'(-x,-y),

2

于是一~=-(x?+2x),化為2ex+x2+2x=0,

e

令力(x)=2ex+x2+2x,下面證明方程6(x)=0有兩解.

9

由X2+2XW0,解得-2WX<0,而~7>0(X20),.,.只要考慮X@［-2,0］即可.

e

求導(dǎo)巾'(x)=2ex+2x+2,

令g(x)=2ex+2x+2,則g'(x)=2ex+2>0,

.?.6‘(x)在區(qū)間［-2,0］上單調(diào)遞增，

而4/(-2)=2e2-4+2<0,力，(-1)=2e1>0,

...巾(x)在區(qū)間(-2,0)上只存在一個(gè)極值點(diǎn)xo.

而力(-2)=2e-2>0,4)(-1)=2e-1-1<0,4(0)=2>0,

...函數(shù)。(x)在區(qū)間(-2,-1),(-1,0)分別各有一個(gè)零點(diǎn).

也就是說(shuō)f(x)的“姊妹點(diǎn)對(duì)"有2個(gè).

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要仔細(xì)審

題，留意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

三、解答題(本大題共5小題，共60分)

17.(12分)(2024?汕頭一模)已知數(shù)列｛a/的前n項(xiàng)和為Sn，ai=2,an.i=Sn+2.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)已知bn=logan,求數(shù)歹!］｛T_T--｝的前n項(xiàng)和T.

2bnbrH-ln

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.

【分析】(1)由題意和a行Sn-Sn；化簡(jiǎn)已知的式子，由等比數(shù)列的定義推斷出

數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，并求出公比和首項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an；

(2)由(1)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)bn，代入—化簡(jiǎn)后，利用裂項(xiàng)相消法

求出前n項(xiàng)和Tn.

【解答】解:(1)?；an+i=Sn+2,...當(dāng)n22時(shí),an=Sn.i+2,

兩式相減得,3n+l3n=Sn_SR-l=3n，則3nl=23n，

所以亙吐=2(n22),

an

ai=2,/.a2=Si+2=4,滿(mǎn)意二*=2,

al

...數(shù)列｛an｝是以2為公比、首項(xiàng)的等比數(shù)列,

n1n

則an=2?2'=2；

n

(2)由(1)得，bn=log2an=log22=n,

1111

bnbnHn(n+l)nn+1'

.,.Tn=(1-9++￡0)+..?+

22334nn+1

=1±=3.

n+1n+1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間關(guān)系,

以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查化簡(jiǎn)、變形實(shí)力.

18.（12分）（2024?汕頭一模）如圖，在三棱柱ABC-AiBRi中，AB_L平面BBiJC,

且四邊形BBiCiC是菱形，ZBCCi=60°.

（1）求證：ACilBiC；

（2）若AC_LABi,三棱錐A-BBiC的體積為在，求AABC的面積.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【分析】（1）連結(jié)BCi，推導(dǎo)出ABJ_BiC,BiCIBCi，從而B(niǎo)iC,平面ABCi，由

此能求出ACilBiC.

（2）由AB_L平面BBiCiC,BC=BBi,知AC=ABi,由三棱錐A-BBiC的體積為Y5,

3

求出菱形BBiJC的邊長(zhǎng)，由此能求出aABC的面積.

【解答】證明：（1）連結(jié)BCi，

：ABJ_平面BBiJC,BiCu平面BBiJC,AABlBiC,

,四邊形BB1C1C是菱形，，BiC，BCi,

VABnBCi=B,，BiC，平面ABJ,

VACi(=平面ABCi，AACilBiC.

解：(2)由AB_L平面BBiGC,BC=BBi,知AC=ABi,

設(shè)菱形BBiJC的邊長(zhǎng)為a,

?.?NBCCi=60°,.??BIC2=BC2+BB12-2BC?BB]?COS120°=3a2,

2222

VAC±ABi，AC+AB1=B1C=3a>/.AC=ABi=^a,

112

?.?ABJJ則面BBiJCBCu側(cè)面BBiJC,/.AB±BC,

...在RtZ\ABC中，AB=〃C2_BC唔印

?..三棱錐A-BBiC的體積為母，

???V_SX|XaXa><sinl200

ABB1C4^B1絲a善

,

解得a=2,AB=^^-az>y2BC=a=2,

.,.△ABC的面積SAABC=-1-XBCXAB=yX2X^^2-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法及應(yīng)用，是中檔題,

解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意空間思維實(shí)力的培育.

19.（12分）（2024?汕頭一模）二手車(chē)經(jīng)銷(xiāo)商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的A型號(hào)二手汽

車(chē)的運(yùn)用年數(shù)x與銷(xiāo)售價(jià)格y（單位：萬(wàn)元/輛）進(jìn)行整理，得到如下數(shù)據(jù)：

運(yùn)用年數(shù)X234567

售價(jià)y201286.44.43

z=lny3.002.482.081.861.481.10

下面是Z關(guān)于X的折線圖:

（1）由折線圖可以看出，可以用線性回來(lái)模型擬合Z與X的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)數(shù)

加以說(shuō)明；

（2）求y關(guān)于x的回來(lái)方程并預(yù)料某輛A型號(hào)二手車(chē)當(dāng)運(yùn)用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)

約為多少？（柒彳小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字）.

（3）基于成本的考慮，該型號(hào)二手車(chē)的售價(jià)不得低于7118元，請(qǐng)依據(jù)（2）求

出的回來(lái)方程預(yù)料在收購(gòu)該型號(hào)二手車(chē)時(shí)車(chē)輛的運(yùn)用年數(shù)不得超過(guò)多少年？

參考公式：回來(lái)方程艮gx+彳中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

n__n

V.（*i-x）（y「y）￡Xiyj-nxy

J2Ja&G

i=li=l

n__

￡（x「x）（Vj-y）

i=l

r=In_n~—?

1忙（X「X）2￡（y「y）2

Vi=li=l

參考數(shù)據(jù)：

666l~62-

2

￡Xiy=187.4,￡XjZj=47.64,￡=139,￡（x,-7）=4.18,

i=li=li=lVi=l

K仇與）2=13.96，

（z「W）2=1.53,lnl.46%0.38,lnO.7118^-0.34.

【考點(diǎn)】線性回來(lái)方程.

【分析】（1）由題意計(jì)算彳、z-求出相關(guān)系數(shù)r,推斷z與x的線性相關(guān)程度;

（2）利用最小二乘估計(jì)公式計(jì)算￡、a，寫(xiě)出z與x的線性回來(lái)方程，

求出y關(guān)于x的回來(lái)方程，計(jì)算x=9時(shí);的值即可；

（3）利用線性回來(lái)方程求出;20.7118時(shí)x的取值范圍，即可得出預(yù)料結(jié)果.

【解答】解：⑴由題意，計(jì)算星9（2+3+4+5+6+7）=4.5,

—1

=—X(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2,

Z6

61-6

旦￡XiZj=47.64>(x-—x)=4.18,

i=lVi=l'

Jz(z「z)=L53,

!i=l

n__

￡(x「x)(Vj-y)

?-i=l___________________

2

\忙(X「X)2￡(yi-y)

Vi=li=l

^47.64-6X4.5X2

--4.18X1.53

__A36(成-3b)

6.39546.40

?=s-0.99；

，z與x的相關(guān)系數(shù)大約為0.99,說(shuō)明z與x的線性相關(guān)程度很高;

（2）利用最小二乘估計(jì)公式計(jì)算

n

,二之T1xiv1-nxv47.64-6X4.5X2二_^36

b2

~~^~~2~2~139-6X4.5~

￡xi-nx

i=l

a=z-^^=2+0.36X4.5=3.62,

，z與x的線性回來(lái)方程是:'=-0.36X+3.62,

又z=lny,

Ay關(guān)于x的回來(lái)方程是：=e936x+3.62；

令x=9,解得^=6-036X9-3.62^!46,

即預(yù)料某輛A型號(hào)二手車(chē)當(dāng)運(yùn)用年數(shù)為9年時(shí)售價(jià)約1.46萬(wàn)元；

（3）當(dāng)j》0.7118時(shí)，e0.36x13.627118=elnO.7U8=e0.34?

，-0.36x+3.622-0.34,

解得xWll,

因此預(yù)料在收購(gòu)該型號(hào)二手車(chē)時(shí)車(chē)輛的運(yùn)用年數(shù)不得超過(guò)11年.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性回來(lái)方程與線性相關(guān)系數(shù)的求法與應(yīng)用問(wèn)題，計(jì)算量大,

計(jì)算時(shí)要細(xì)心.

20.（12分）（2024?汕頭一模）已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M：（x+1）2+y2=16,

定點(diǎn)F（1,0）,點(diǎn)N是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，線段NF的垂直平分線交圓M的半徑

MN于點(diǎn)Q,點(diǎn)Q的軌跡為E.

（1）求曲線E的方程；

（2）已知點(diǎn)P是曲線E上但不在坐標(biāo)軸上的隨意一點(diǎn)，曲線E與y軸的交點(diǎn)分

別為Bi、B2,直線BiP和B2P分別與x軸相交于C、D兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)線段長(zhǎng)之積

|OC|?|OD|是否為定值？假如是懇求出定值，假如不是請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1,。），過(guò)點(diǎn)C的直線I與E相交于

A、B兩點(diǎn)，求4ABD面積的最大值.

【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用.

【分析】（1）通過(guò)連結(jié)FQ,利用中垂線的性質(zhì)及橢圓的定義即得結(jié)論;

（2）證明：設(shè)P（xo，yo）,可得3X02=4（3-yo2）,直線BiP的方程為:

丫=飛邑S令y=。，得XL款’同理得*產(chǎn)V3x0

,

V3-y0

22

3xn

IOC?OD|=|xc|?|xDI=I--------pI=4(定值)；

s-y0

(3)當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0)時(shí)，點(diǎn)D(-4,0),|CD|=3,

設(shè)直線I的方程為：x=my-1,A(xi，yi),B(x2,72)

x=my-l

聯(lián)立D得(3m2+4)y2-6my-9=0

3x^+4y=12

解得：力沔6*+1,31rHym2+]

3ir/+43m2+4

12ym

lyi丫21=△ABD面積s=yXlyi

3ID2+4

312,7in2+l1841rl18

y21='

23m2+43m2+4

【解答】（1）解：連結(jié)FQ,則FQ=NQ,

?.?MQ+FQ=MQ+QN=MN=4>ME,橢圓的定義即得點(diǎn)Q的軌跡為以點(diǎn)M、F為焦

點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓

，2a=4,即a=2,又二?焦點(diǎn)為(1,0),即c=l,

b2=a2-c2=4-1=3,

22

故點(diǎn)Q的軌跡C的方程為：工+

431

Vo+炳

（2）證明：設(shè)P（xo,y°）,直線BiP的方程為:y=——x-Vr3-

x0

*/ox

V3x0

令y=°'得xc=M'同理得乂產(chǎn)

By。'

|OC|.|OD|=|XC|.|XD|=I^4

3-y0

22

2

?.?點(diǎn)P是曲線E上但不在坐標(biāo)軸上的隨意一點(diǎn),^0_,l0__即3X0=4(3

4+3T

-yo2)?

22

__1=4,|OC|?|OD|是否為定值4.

4+3T

（3）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1,0）時(shí)，點(diǎn)D（-4,0),|CD|=3,

設(shè)直線I的方程為：x=my-1,A（xi，yi），B（X2，y2）

x=my-l

聯(lián)立得(3m2+4)y2-6my-9=0

3x'+4y=12

解得._包￡位擔(dān)_3斕1112+1

.3m2+4，77r3m2+4

121/m2+l

，△面積

lyi-y2|=1也+1ABDs=gxiyi

3m'+42

???/初>1，依據(jù)???y=3x+《在［1，+8)遞增可得34百

J89

s《才至

/.m=0,即直線AB：x=-l時(shí)，"BD面積的最大為微.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，主要考查運(yùn)算實(shí)

力，屬于難題.

21.(12分)(2024?汕頭一模)已知函數(shù)f(x)=-x2+alnx,a￡R.

(1)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=4時(shí)，記函數(shù)g(x)=f(x)+kx,設(shè)xi、X2(xi<X2)是方程g(x)=0

的兩個(gè)根，是、的等差中項(xiàng)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求證：g'

XoXix2g'(x)g(x)

(x0)<0.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)探討a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

o}2(--1)

X1/IX]XJxX1

(2)求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為-2=一9—，令t=-L,

X+X*x

X2l22+i2

x2

即tw°D,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證Intv鏟2一擊,令h(t)6t+擊-2,

(0<t<l),依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

【解答】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+8),

2

又f'(x)=-5--2x=-2^-22.,

xx

aWO時(shí)，在(0,+8)上f(x)是減函數(shù)，

a>0時(shí)，f(x)=0,得：、1=在或X2=-有(舍)，

在(0,患)上，f(x)>0,f(x)是增函數(shù)，

在(雪，+8)上‘f(X)<0,f(X)是減函數(shù)；

證明：(2)Vg(x)=4lnx-x2+kx,

/.g'(x)=—-2x+k,

又xi+x2=2xo,

g(X[)=41nx「xJ+kX[=O

,?,2，

g(X2)-4