2025年中考數(shù)學(xué)專題37 四邊形對(duì)角互補(bǔ)專題（原卷版）

模型介紹模型介紹對(duì)角互補(bǔ)模型：即四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。主要分為含90°與120°的兩種對(duì)角互補(bǔ)類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形全等或者相似.模型一、含90°的全等型1.如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.則可以得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2.如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.則可得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.模型二、含60°與120°的全等型如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120o，OC平分∠AOB.則可得到如下幾個(gè)結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.例題精講例題精講【例1】．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若這個(gè)四邊形的面積為12，求BC+CD的值．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的點(diǎn)，連接EF．若AE＝4，CF＝3，OE⊥OF，求EF的長(zhǎng)．【變式1-2】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點(diǎn)F，則＝_________【例2】．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC，∠DCB＝60°，AB+BC＝4，則AC的長(zhǎng)是．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)在x軸上，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)M，OM＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【變式2-2】．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，點(diǎn)P在AC上，PM交AB于點(diǎn)E，PN交BC于點(diǎn)F，當(dāng)PE＝2PF時(shí)，AP＝．【變式2-3】．如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BP，過(guò)P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，連接BQ交AC于G，若AP＝，Q為CD中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面積是16；其中正確結(jié)論是_________1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若這個(gè)四邊形的面積為12，則BC+CD＝．2．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝8，以AC為腰，點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰△ACD，且∠DAC＝120°，則BD的長(zhǎng)為．3．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長(zhǎng)為．4．四邊形ABCD被對(duì)角線BD分為等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為2，求四邊形ABCD的面積．5．如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長(zhǎng)均為10，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無(wú)論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個(gè)正方形重疊部分的面積總是一個(gè)定值，并求這個(gè)定值．6．基本模型在任意四邊形中，出現(xiàn)一組對(duì)角互補(bǔ)，則為對(duì)角互補(bǔ)模型．解題思路：1．過(guò)互補(bǔ)角的頂點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等或相似；2過(guò)互補(bǔ)角的頂點(diǎn)作雙垂線構(gòu)造全等或相似．問(wèn)題：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC．結(jié)論：①AD＝CD；②AB+BC＝BD；③S四邊形ABCD＝BD2請(qǐng)證明【基本模型】中的結(jié)論．求證：①AD＝CD；②AB+BC＝BD；③S四邊形ABCD＝BD2．7．如圖1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C為頂點(diǎn)作∠DCE＝90°，交OA于點(diǎn)D，OB于點(diǎn)E．（1）求證：CD＝CE；（2）圖1中，若OC＝3，求OD+OE的長(zhǎng)；（3）如圖2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C為頂點(diǎn)作∠DCE＝60°，交OA于點(diǎn)D，OB于點(diǎn)E．若OC＝3，求四邊形OECD的面積．8．感知：如圖1，AD平分∠BAC．∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求證：DB＝DC．應(yīng)用：如圖3，四邊形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，則AB﹣AC＝（用含a的代數(shù)式表示）探究：9．問(wèn)題提出：（1）如圖1，已知線段AB＝2，AC＝4，連接BC，則三角形ABC面積最大為；問(wèn)題探究：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，若CD+BC＝10，求四邊形ABCD的面積；問(wèn)題解決：（3）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，AC＝8，求四邊形ABCD面積的最大值．10．定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形．（1）概念理解：①在互補(bǔ)四邊形ABCD中，∠A與∠C是一組對(duì)角，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，則∠A＝°；②如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且BE?BC＝AB?BD，求證：四邊形ADEC是互補(bǔ)四邊形．（2）探究發(fā)現(xiàn)：如圖2，在等腰△ABE中，AE＝BE，點(diǎn)C，D分別在邊BE，AE上，AD＝BC，四邊形CEDH是互補(bǔ)四邊形，求證：∠ABD＝∠BAC＝∠E．11．如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，探究PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系；小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：過(guò)P點(diǎn)作PE⊥DC于E點(diǎn)，PF⊥BC于F點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出PE＝PF，再證明△PEQ≌△PFB，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12．【提出問(wèn)題】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等邊△AMN，連接CN．求證：BM＝CN．【類比探究】（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論BM＝CN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA＝BC，AB＝6，AC＝4，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN＝∠ABC．連接CN．試探究BM與CN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．13．定義：對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的四邊形稱為奇異四邊形．（1）概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認(rèn)為屬于奇異四邊形的有；（2）性質(zhì)探究：①如圖1，四邊形ABCD是奇異四邊形，AB＝AD，求證：CA平分∠BCD；②如圖2，四邊形ABCD是奇異四邊形，AB＝AD，∠BCD＝2α，試說(shuō)明：cosα＝；（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，四邊形ABCD是奇異四邊形，四條邊中僅有BC＝CD，且四邊形ABCD的周長(zhǎng)為6+2，∠BAC＝45°，AC＝3，求奇異四邊形ABCD的面積．14．已知：在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DB平分∠ADC．（1）求證：AB＝BC；（2）如圖2，若∠ADB＝60°，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）得條件下，在AB上取一點(diǎn)E，BC上取一點(diǎn)F，連接CE、AF交于點(diǎn)M，連接EF，若∠CMF＝60°，AD＝EF＝7，CD＝8（CF＞BF），求AE的長(zhǎng)．15．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF＝120°，DE與線段AB相交于點(diǎn)E，DF與線段AC（或AC的延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB＝4，求BE的長(zhǎng)；（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F．求證：BE+CF＝AB．（3）如圖3，若∠EDF的兩邊分別交AB、AC的延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)直接寫出線段BE、AB、CF之間的數(shù)量關(guān)系．16．如圖，已知∠DCE與∠AOB，OC平分∠AOB．（1）如圖1，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E，∠AOB＝∠DCE＝90°，試判斷線段CD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解：CD＝CE．理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于點(diǎn)F，則∠OCF＝90°，…請(qǐng)根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分．（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫出你的證明過(guò)程．（3）若∠AOB＝120°，∠DCE＝60°．①如圖3，∠DCE與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)D、E時(shí)，（1）中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．②如圖4，∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答（1）中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫出線段OD、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系．17．在⊙O中，弦CD平分圓周角∠ACB，連接AB，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若tan∠CAB＝，且B是CE的中點(diǎn)，⊙O的直徑是，求DE的長(zhǎng)．（3）P是弦AB下方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP和BP，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BP于點(diǎn)H，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的比值是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)直接寫出比值．18．（1）探究：如圖1，在△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上．①求∠DCE的度數(shù)；②直接寫出線段CD，CE，AC之間的數(shù)量關(guān)系；（2）應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APC＝120°，求證：PA+PC+PD≥BD；（3）拓展；如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)B是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABC，求OC的最小值．19．有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等鄰邊互補(bǔ)四邊形．（1）如圖1，在等鄰邊互補(bǔ)四邊形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC