動(dòng)量矩定理課件

幾個(gè)有意義的實(shí)際問(wèn)題

相對(duì)于定點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理

相對(duì)于質(zhì)心(平移系)的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程

動(dòng)量矩定理

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程？誰(shuí)最先到達(dá)頂點(diǎn)幾個(gè)有意義的實(shí)際問(wèn)題？

幾個(gè)有意義的實(shí)際問(wèn)題為什么二者轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反？

幾個(gè)有意義的實(shí)際問(wèn)題航天器是怎樣實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制的mim1mnm3m2ri§12-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的位矢與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量叉乘，所得到的矢量稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩。2、質(zhì)點(diǎn)對(duì)定軸的動(dòng)量矩1、質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩即：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于固定點(diǎn)O的矩稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩。xzyO質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和，稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩2、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定軸的動(dòng)量矩顯然有：mim1mnm3m2rixzyO三、剛體的動(dòng)量矩計(jì)算（1）平移剛體對(duì)于平移剛體，僅需將剛體質(zhì)量假想集中于質(zhì)心，然后按照質(zhì)點(diǎn)的方法計(jì)算動(dòng)量矩。xzyOCxzyOC證明：∵剛體作平移各點(diǎn)的速度與質(zhì)心速度相同，得到：（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體式中：剛體繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞z軸的動(dòng)量矩等于該剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。ωyxzrimiωrimiyxz證明：令：得：§12-2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、定義ωrimiyxz對(duì)于剛體單位：量綱：二、幾種簡(jiǎn)單形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿zxlzxll/22、均質(zhì)薄圓環(huán)3、均質(zhì)薄圓板xyRzxzRz三、慣性半徑定義：或慣性半徑四、平行移軸公式剛體對(duì)于任意z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)于通過(guò)質(zhì)心C并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量m與兩軸距離d的平方的乘積。平行移軸公式的證明C點(diǎn)為剛體的質(zhì)心，已知求由圖可知得到zx’y’z’xyOCm平行移軸公式的證明由質(zhì)心坐標(biāo)公式現(xiàn)在又有證得：xx’zyy’OCmz’xyRzCZ求：例題1例題2桿質(zhì)量為m1，長(zhǎng)度為l圓盤質(zhì)量為m2，直徑為d求：系統(tǒng)的Ol質(zhì)點(diǎn)對(duì)于定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)于同一點(diǎn)的力矩§12-3動(dòng)量矩定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)于定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。xyzrOAxyzrOA注意到：定理得證證明：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在系統(tǒng)上所有外力對(duì)于同一點(diǎn)的主矩。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。m1mnmim3m2xzyOriFiFnF1F2m1mnmim3m2xzyOriFiFnF1F2對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有注意到：定理得證。αωvirimiF1F2FnFiyxz三、質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于定軸的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上的外力主矩在投影軸上的投影。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于定軸的動(dòng)量矩定理

如果外力系對(duì)于定點(diǎn)的主矩等于0，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)這一點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。四、動(dòng)量矩守恒定理

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的守恒形式

如果外力系對(duì)于定軸之矩等于0，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)這一軸的動(dòng)量矩守恒。鼓輪半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，小車和礦石總質(zhì)量為m。鼓輪在力偶矩M帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，軌道的傾角為θ。求：小車的加速度例題OθMOθM設(shè)圓輪的角速度和角加速度分別為

和

，小車的速度加速度分別為

v

和a。鼓輪對(duì)O軸的動(dòng)量矩小車對(duì)O的軸動(dòng)量矩系統(tǒng)對(duì)O的軸總動(dòng)量矩解：以鼓輪和小車為研究對(duì)象ωOθMω由系統(tǒng)的受力圖系統(tǒng)外力對(duì)O軸的矩為：注意到：應(yīng)用動(dòng)量矩定理得到：解得：均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OPW例題例題設(shè)圓輪的角速度和角加速度分別為

和

，重物加速度為

aP

。圓輪對(duì)O軸的動(dòng)量矩重物對(duì)O的軸動(dòng)量矩系統(tǒng)對(duì)O的軸總動(dòng)量矩

POWaP解：以圓輪和重物為研究對(duì)象例題解：系統(tǒng)對(duì)O的軸總動(dòng)量矩應(yīng)用動(dòng)量矩定理P

OWaP得到：aP=R

代入？

為什么二者轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反幾個(gè)有意義的實(shí)際問(wèn)題

結(jié)論與討論

與動(dòng)量矩定理有關(guān)的若干實(shí)際問(wèn)題問(wèn)題？

航天器是怎樣實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制的？誰(shuí)最先到達(dá)頂點(diǎn)§12--4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程αωF1F2FnFiyxz剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸承的支反力對(duì)z軸的力矩恒等于零，由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理注意到：得到：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程上式也可寫為：剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸力矩的代數(shù)和例題已知：輪子半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，受力如圖求：輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度解：根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程得到：O例題飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，角速度為，制動(dòng)時(shí)，閘塊對(duì)輪子的正壓力為，閘塊和輪子間的摩擦系數(shù)為f，輪子的半徑為R求：制動(dòng)所需要的時(shí)間解：以輪子為研究對(duì)象根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程積分得：解得：CAlOk扭擺裝置中，圓盤A對(duì)通過(guò)圓心C的鉛垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC；彈性桿件OC的長(zhǎng)度為l、切變模量為G、橫截面的極慣性矩為IP，桿件的質(zhì)量與圓盤相比可以忽略不計(jì)。若不考慮空氣阻力求：扭擺的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)周期例題CAlOk例題

解：假設(shè)圓盤扭過(guò)一任意角度φ

，根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的變形與扭矩的關(guān)系將扭擺看作一扭轉(zhuǎn)彈簧，其剛度系數(shù)應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程扭擺的周期為§12-5質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心

C的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在系統(tǒng)上所有外力對(duì)于質(zhì)心的主矩特別地：剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)mixzyOCx′z′y′C為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心，O為定點(diǎn)注意到得到：式中：證明：mixzyOCx′z′y′對(duì)上式求導(dǎo)，并由動(dòng)量矩定理，得到注意到得到：定理得證

相對(duì)于質(zhì)心(平移系)的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心(平移系)的動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心(平移系)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力系對(duì)質(zhì)心的主矩。進(jìn)一步說(shuō)明公式中是質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度建立以質(zhì)心為原點(diǎn)的平移參考系Cx’y’z’∵得到：Cx′z′y′公式中是質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)速度Cx′z′y′現(xiàn)得到：質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的速度從而對(duì)于作平面運(yùn)動(dòng)的剛體有：原來(lái)的計(jì)算公式為：剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)：最終結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心

C的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在系統(tǒng)上所有外力對(duì)于質(zhì)心的主矩特別地：剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)

當(dāng)外力對(duì)質(zhì)心的主矩為0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心(平移系)動(dòng)量矩守恒定理SCx

y

F2F1FnFiaCS－平面圖形；C－平面圖形的質(zhì)心；

－平面圖形的角速度；

－平面圖形的角加速度；Oxyz－定系；Cx

y

z

－動(dòng)系；xyOF1、F2、…、Fi、…、Fn－外力系§12–6剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程－平面圖形質(zhì)心加速度；

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程平面運(yùn)動(dòng)=隨基點(diǎn)的平動(dòng)+繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)在動(dòng)力學(xué)中，應(yīng)取質(zhì)心為基點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)=隨質(zhì)心的平移+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)隨質(zhì)心的平移規(guī)律：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)代入有得到：

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程投影式：剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程只能對(duì)質(zhì)心寫出例題求：1、輪心的加速度；半徑為

r，質(zhì)量為m的圓輪，水平純滾動(dòng)，圓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為，圓輪上作用力偶矩M。2、圓輪與地面的摩擦系數(shù)為f，使圓輪不發(fā)生滑動(dòng)的αCMMαC解：圓輪受力如圖圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程aC

=r

根據(jù)圓輪作純滾動(dòng)的條件聯(lián)解以上方程組，得：MαC圓輪純滾動(dòng)的條件為：得到：C半徑為

r的均質(zhì)圓輪，在傾角θ的斜面上，從靜止開(kāi)始向下作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。求：1、圓輪滾動(dòng)到任意位置時(shí)，質(zhì)心的加速度；CCCCCCC例題θ2、圓輪在斜面上不發(fā)生滑動(dòng)所需要的最小摩擦系數(shù)。解：受力分析

CW＝mgFN1、圓輪質(zhì)心加速度:圓輪作平面運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程W＝mg－圓輪所受重力；F－滑動(dòng)摩擦力；FN－斜面約束力。x

y

x

yOFaCθCW＝mgFFNx

y

x

yOaC根據(jù)圓輪作純滾動(dòng)的條件aC

=r

2、圓輪在斜面上不發(fā)生滑動(dòng)所需要的最小摩擦因數(shù):CW＝mgFFNx

y

x

yOaC純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力必須小于最大靜摩擦力FNfs例題：關(guān)于突然解除約束問(wèn)題OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：

FOx=0, FOy=mg/2突然解除約束瞬時(shí)：

FOx=？

FOy