工程力學(xué)：平面任意力系

1平面任意力系§4-1平面任意力系概念和工程實例§4-2平面任意力系向一點簡化§4-3平面任意力系的平衡條件§4-4剛體系的平衡§4-5靜定與靜不定的概念主要內(nèi)容一、平面任意力系實例§4-1平面任意力系概念及工程實例二、平面任意力系的概念各個力的作用線在同一平面內(nèi)，但不匯交于一點，也不都平行的力系稱為平面任意力系。FnF3F2F1yTPQEQDxBAECDFAyFAxα力的平移定理應(yīng)用F′FM′FM′FcFFcF2FFM§4-2平面任意力系的一點簡化（1）為什么釘子有時會折（3）船上人劃槳（2）乒乓球為什么會旋轉(zhuǎn)FAOdFAOdMAO==力線平移定理:作用于剛體上任一點的力可平移到剛體上任一點而不改變對剛體的作用效應(yīng)，但需增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力對新的作用點之矩矢。一、力的平移定理—附加力偶力線平移的幾個性質(zhì)：1、當(dāng)力線平移時，力的大小、方向都不改變，但附加力偶矩的大小與正負(fù)一般要隨指定O點的位置的不同而不同。2、力線平移的過程是可逆的，即作用在同一平面內(nèi)的一個力和一個力偶，總可以歸納為一個和原力大小相等的平行力。3、力線平移定理是把剛體上平面任意力系分解為一個平面共點力系和一個平面力偶系的依據(jù)。FAOdFAOdMAO

A3OA2A1F1F3F2M1OM2M3==

應(yīng)用力線平移定理，可將剛體上平面任意力系中各個力的作用線全部平行移到作用面內(nèi)某一給定點O

。從而這力系被分解為平面共點力系和平面力偶系。這種變換的方法稱為力系向給定點O

的簡化。點O

稱為簡化中心。二、平面任意力系向一點簡化MOO共點力系F1

、F2

、F3

的合成結(jié)果為一作用點在點O

的力FR

。這個力矢FR

稱為原平面任意力系的主矢。附加力偶系的合成結(jié)果是作用在同平面內(nèi)的力偶，這力偶的矩用MO

代表，稱為原平面任意力系對簡化中心

O

的主矩。結(jié)論：

平面任意力系向平面內(nèi)任一點的簡化結(jié)果，是一個作用在簡化中心的主矢和一個對簡化中心的主矩。推廣：平面任意力系對簡化中心O的簡化結(jié)果主矩：主矢：討論:主矢大小:方向:

說明1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。主矢：

2、平面任意力系的主矩與簡化中心O的位置有關(guān)。因此，在說到力系的主矩時，一定要指明簡化中心。主矩：

作為平面一般力系簡化結(jié)果的一個應(yīng)用，我們來分析另一種常見約束------固定端約束的反力。簡圖：固定端約束反力有三個分量：兩個正交分力，一個反力偶。AAO=r1、FR

=0，而MO≠0，原力系合成為合力偶。這時力系主矩MO不隨簡化中心位置而變。2、MO=0，而FR

≠0，原力系合成為一個合力。作用于點O的力FR

就是原力系的合力，合力用FR表示。

3、FR≠0，MO≠0，原力系簡化成一個力偶和一個作用于點O

的力。這時力系也可合成為一個合力。說明如下：二、平面任意力系簡化的最后結(jié)果MOOA=O

Ar4、FR

=0，而MO=0，原力系平衡。綜上所述，可見：（1）平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢不為零時，則該力系可以合成為一個力。（2）平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢為零而主矩不為零時，則該力系可以合成為一個力偶。[例4-1]水平梁AB受三角形分布載荷的作用分布載荷的最大值為q（N/m），梁長l。試求合力的大小及其作用線位置。解：1、將力系向A點簡化2、點A至合力作用線的距離§4–3平面任意力系的平衡條件平面任意力系的平衡方程：平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零。1、平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡的充要條件是：力系的主矢和對任意點的主矩都等于零。上式有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。①一矩式一般形式一般力系的平衡方程②二矩式條件：x軸不AB

連線ABFR③三矩式條件：A，B，C不在同一直線上平面任意力系平衡方程的三種形式：剛體平衡條件二矩式A、B連線與x軸不垂直三矩式A、B、C三點不共線一矩式∑Fx=0∑Fy=0∑MA=0∑Fx=0∑MA=0∑MB=0∑MA=0∑MB=0∑MC=0一般力系的平衡方程說明

一矩式，二矩式，三矩式，三種形式的平衡方程是完全等價的?？梢暰唧w問題而選用其中的任一種。但都只有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。在求解平面一般力系的平衡問題時，盡可能采用二矩式或者三矩式方程，以減少單個平衡方程中未知量的個數(shù)。

[例4-2]已知：P,a,求：A、B兩點的支座反力？解：①選AB梁研究②畫受力圖（以后注明解除約束，可把支反力直接畫在整體結(jié)構(gòu)的原圖上）解除約束解：（1）取伸臂AB為研究對象；（2）受力分析如圖：[例4-3]懸臂式簡易起重機可簡化為圖示結(jié)構(gòu)。AB是吊車梁，BC是鋼索，A端支承可簡化為鉸鏈支座。設(shè)已知電動葫蘆和重物共重P=10kN，梁自重W=5kN，θ=30o。求鋼索BC和鉸鏈A的約束力，以及鋼索受力的最大值。(3)列平衡方程：(4)聯(lián)立求解，可得：當(dāng)x=l時，鋼索受力FB最大，為拉力。解：（1）取AB研究對象，受力分析如圖。（2）列平衡方程：[例4-4]求圖示懸臂梁固定端A處的約束力。其中：q為均布載荷的載荷集度，集中力F=ql，集中力偶M=ql2。BAq2lB2l

xAy負(fù)號表示實際方向和假設(shè)的方向相反。(3)聯(lián)立求解：B2l

xAy[例4-5]剛架ABCD的A處為固定鉸支座，D處為輥軸支座。此剛架上有水平載荷和垂直載荷。已知F1=10kN，F(xiàn)2=20kN，a=3m。求支座A、D的約束反力。解：（1）取剛架整體為研究對象，畫出受力圖。(3)列平衡方程：(4)求解：[例4-6]翻倒問題塔式起重機的結(jié)構(gòu)簡圖如圖所示。起重機自重為W，載重為W1，平衡物重W2。要使起重機在空載、滿載且載重在最遠(yuǎn)處時均不翻倒，試求平衡物重。解：（1）取塔式起重機整體為研究對象，受力分析如圖。（整機在平面平行力系作用下處于平衡。）eCbla分析：W2過大，空載時有向左傾翻的趨勢；W2過小，滿載時有向右傾翻的趨勢。(2)列平衡方程：1)空載時（W1=0）：不翻到的條件是：可得空載時平衡物重量W2的條件：eCbla2)滿載且載重位于最遠(yuǎn)端時，不翻倒的條件是：eCbla綜合考慮，平衡物重量W2應(yīng)滿載的條件：可得滿載時平衡物重量W2的條件：§4–4剛體系的平衡剛體系

——若干剛體用約束聯(lián)結(jié)起來的系統(tǒng)。剛化原理

——變形體在某一力系作用下處于平衡，若將此變形體剛化為剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。剛體系平衡時，系中每一個剛體都處于平衡，根據(jù)剛化原理，可將剛體系整體或部分剛化為一個剛體，同樣處于平衡狀態(tài)，其求解過程和求解單一剛體平衡問題的步驟基本相同。BCACqABCq解得:AQCB

PPABFAxFAyFCxFCyFBxFByFAxFAy解：(1)取整體為研究對象解上述方程，得(2)取AB為研究對象代入（3）式得500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB[例4-7]求：A、B、D、E的約束反力。(2)取CDE為研究對象解上述方程，得解：(1)取整體為研究對象解得:GEBFGxFGyFB(3)取BEG為研究對象解得:500N500NDCEFDxFDyFExFEy500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB代入（3）式得:BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：(1)取整體為研究對象(2)取DEF桿為研究對象解得：(3)取ADB桿為研究對象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB[例4-8]求：A、D、B的約束反力。BCqMCAq1m1mAC1m1mMqBFAxFAyMAFCxFCy

FBFAxFAyMA

FB解：(1)取BC為研究對象解得:(2)取AC為研究對象解得:[例4-9]已知：M=10kN·m，q=2kN/m求：支座A、C的反力。PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB[例4-10]求：A、D的約束反力。解：(1)取BC桿為研究對象解得：(2)取AB桿為研究對象解得：代入（3）式解得：CDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB(3)取CD桿為研究對象解得：FDxFDyMD解：[例4-11]三鉸拱結(jié)構(gòu)。已知：G1=G2=G=40kN，P=20kN，F(xiàn)=10kN，圖中尺寸單位為m。求固定鉸支座A、B和中間鉸鏈C的反力。（1）整體FAxFAyFByFBx(1)(2)(3)由（1）和（2）求得方向如圖（2）左半拱(4)(5)(6)由(4)、(5)、(6)求得再由（3）得FAxFAyFCyFCxFAxFAyFByFBx(3)Fcy實際方向與圖中相反，其余各力方向如圖。力系名稱獨立平衡方程的數(shù)目共線力系平面力偶系平面匯交力系平面平行力系1122平面任意力系3§4–5靜定與靜不定問題的概念●靜定體系：未知量數(shù)目少于或等于獨立平衡方程數(shù)目●靜不定體系：未知量數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目PABCFAFBFCPABFBFAD1m2m1mABCFE靜不定問題在強度力學(xué)（材力,結(jié)力,彈力）中用位移諧調(diào)條件來求解。靜定（未知數(shù)三個）靜不定（未知數(shù)四個）

靜定與靜不定的判斷剛體系統(tǒng)的獨立平衡方程數(shù)目的計算：如果剛體系由n1個受平面任意力系作用的剛體，n2個受平面匯交力系或平行力系作用的剛體以及n3個受平面力偶系作用的剛體組成，那么系統(tǒng)可能有的獨立平衡方程數(shù)目m在一般情況下為：

假設(shè)系統(tǒng)中未知量的總數(shù)k，則：靜定靜不定ABC例靜定靜不定1.力的平移定理：平移一力的同時必須附加一力偶，附加力偶的矩等于原來的力對新作用點的矩。2.平面任意力系向平面內(nèi)任選一點O簡化，一般情況下，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，即作用線通過簡化中心O。這個力偶的矩等于該力系對于點O的主矩，即小結(jié)3.平面任意力系向一點簡化，可能出現(xiàn)的四種情況。主矢主矩合成結(jié)果說明FR≠

0′FR=

0′MO=0MO≠0MO≠0MO=0合力合力力偶