山東省沂源縣二中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

山東省沂源縣二中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得，，CD＝30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于A． B． C． D．2．設(shè)，表示兩條直線，，表示兩個(gè)平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．若是異面直線，直線，則與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交4．如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形里有一個(gè)月牙形的圖案，為了估算這個(gè)月牙形圖案的面積，向這個(gè)正方形里隨機(jī)投入了粒芝麻，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，落在月牙形圖案內(nèi)的芝麻有粒，則這個(gè)月牙圖案的面積約為（）A． B． C． D．5．方程表示的曲線是（）A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)圓 C．半個(gè)圓 D．兩個(gè)半圓6．南北朝數(shù)學(xué)家祖暅在推導(dǎo)球的體積公式時(shí)構(gòu)造了一個(gè)中間空心的幾何體，經(jīng)后繼學(xué)者改進(jìn)后這個(gè)中間空心的幾何體其三視圖如圖所示，下列那個(gè)值最接近該幾何體的體積（）A．8 B．12 C．16 D．247．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（）A． B． C． D．8．為了得到函數(shù)，(x∈R)的圖象，只需將(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)（）.A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位9．如圖，在中，，，若，則()A． B． C． D．10．設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一組樣本數(shù)據(jù)8，10，18，12的方差為_(kāi)__________.12．在等比數(shù)列中，，的值為_(kāi)_____.13．給出以下四個(gè)結(jié)論：①平行于同一直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行；③若，是兩個(gè)平面；，是異面直線；且，，，，則；④若三棱錐中，，，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是的垂心；其中錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________．（要求填上所有錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)）14．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的直線方程是________.15．如圖所示，分別以為圓心，在內(nèi)作半徑為2的三個(gè)扇形，在內(nèi)任取一點(diǎn)，如果點(diǎn)落在這三個(gè)扇形內(nèi)的概率為，那么圖中陰影部分的面積是____________.16．已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在第________象限．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐中，，分別為棱，上的三等份點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）若，平面，求證：平面平面.18．某服裝店為慶祝開(kāi)業(yè)“三周年”，舉行為期六天的促銷活動(dòng)，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開(kāi)展，第五天該服裝店經(jīng)理對(duì)前五天中參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：1234546102322（1）若與具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）預(yù)測(cè)第六天的參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)（按四舍五入取到整數(shù)）.參考公式與參考數(shù)據(jù)：.19．某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，生產(chǎn)總成本（元）與產(chǎn)量（噸）（）函數(shù)關(guān)系為，且函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)（1）求的值；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少噸時(shí)，平均生產(chǎn)成本最低？20．如圖所示，一個(gè)半圓和長(zhǎng)方形組成的鐵皮，長(zhǎng)方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個(gè)三角形，使得，.(1)設(shè)，求三角形鐵皮的面積；(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.21．已知余切函數(shù).（1）請(qǐng)寫出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；（不必證明）（2）求證：余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】在中，由正弦定理得，解得在中，2、D【解析】

對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷，選項(xiàng)D為面面垂直判定定理.【詳解】對(duì)A，與可能異面，故A錯(cuò)；對(duì)B，可能在平面內(nèi)；對(duì)C，與平面可能平行，故C錯(cuò)；對(duì)D，面面垂直判定定理，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線、面位置關(guān)系，判斷一個(gè)命題為假命題，只要能舉出反例即可.3、D【解析】

若為異面直線，且直線，則與可能相交，也可能異面，但是與不能平行，若，則，與已知矛盾，選項(xiàng)、、不正確故選．4、A【解析】

根據(jù)幾何概型直接進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】月牙形圖案的面積約為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】原方程即即或故原方程表示兩個(gè)半圓．6、C【解析】

由三視圖確定此幾何體的結(jié)構(gòu)，圓柱的體積減去同底同高的圓錐的體積即為所求.【詳解】該幾何體是一個(gè)圓柱挖掉一個(gè)同底同高的圓錐，圓柱底為2，高為2，所求體積為，所以C選項(xiàng)最接近該幾何體的體積.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)及求其體積，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長(zhǎng)CO1交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∴S△ABC=，∴．考點(diǎn)：棱錐與外接球，體積．【名師點(diǎn)睛】本題考查棱錐與外接球問(wèn)題，首先我們要熟記一些特殊的幾何體與外接球（內(nèi)切球）的關(guān)系，如正方體（長(zhǎng)方體）的外接球（內(nèi)切球）球心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正棱錐的外接球（內(nèi)切球）球心在棱錐的高上，對(duì)一般棱錐來(lái)講，外接球球心到名頂點(diǎn)距離相等，當(dāng)問(wèn)題難以考慮時(shí)，可減少點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如先考慮到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形的外心，球心一定在過(guò)此點(diǎn)與此平面垂直的直線上．如直角三角形斜邊中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等等等．8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以為了得到函?shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記左加右減的原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】∵∴又，∴故選B.10、B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直與同一條直線的兩個(gè)平面平行，故正確；C中，也可能相交；D中，也可能在平面內(nèi).【考點(diǎn)定位】點(diǎn)線面的位置關(guān)系二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、14【解析】

直接利用平均數(shù)和方差的公式，即可得到本題答案.【詳解】平均數(shù)，方差.故答案為：14【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)公式與方差公式的應(yīng)用.12、【解析】

由等比中項(xiàng)，結(jié)合得，化簡(jiǎn)即可.【詳解】由等比中項(xiàng)得，得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，化簡(jiǎn).故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13、②【解析】

③①可由課本推論知正確；②可舉反例；④可進(jìn)行證明.【詳解】命題①平行于同一直線的兩條直線互相平行,由課本推論知是正確的；②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行，是錯(cuò)誤的，例如正方體的上底面，前面和右側(cè)面,是互相垂直的關(guān)系；③根據(jù)課本推論知結(jié)論正確；④若三棱錐中，，，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是的垂心這一結(jié)論是正確的；作出B在底面的射影O,連結(jié)AO,DO,則，同理，，進(jìn)而得到O為三角形的垂心.

故答案為②【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了命題真假的判斷，一般這類題目可以通過(guò)課本的性質(zhì)或者結(jié)論進(jìn)行判斷；也可以通過(guò)舉反例來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.14、或【解析】

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入求得的值，即可求得直線方程，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，綜合可得答案.【詳解】當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)代入可得：，即此時(shí)直線的方程為：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即綜上可得：滿足條件的直線方程為：或故答案為：或【點(diǎn)睛】過(guò)原點(diǎn)的直線橫縱截距都為0，在解題的時(shí)候容易漏掉.15、【解析】

先求出三塊扇形的面積,再由概率計(jì)算公式求出的面積,進(jìn)而求出陰影部分的面積.【詳解】∵,∴三塊扇形的面積為:,設(shè)的面積為,∵在內(nèi)任取一點(diǎn),點(diǎn)落在這三個(gè)扇形內(nèi)的概率為,,∴圖中陰影部分的面積為:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的應(yīng)用,屬于幾何概型中的面積問(wèn)題,難度不大.16、二【解析】

由點(diǎn)P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，從而得到α所在的象限．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，則角α的終邊在第二象限，故答案為二．點(diǎn)評(píng)：本題考查第三象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)證明；(2)見(jiàn)證明【解析】

（1）由，，得，進(jìn)而得即可證明平面.（2）平面得，由，，得，進(jìn)而證明平面，則平面平面【詳解】證明：（1）因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)?，，所以，又，所以平?又平面，所以平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，面面垂直的判定，考查空間想象及推理能力，熟記判定定理是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題18、（1）（2）預(yù)測(cè)第六天的參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)為29.【解析】

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，利用公式，分別求得的值，即可得到回歸直線方程；（2）將代入回歸直線方程，求得，即可作出判斷，得到結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，，則，，又由，故所求回歸直線方程為.（2）將代入中，求得，故預(yù)測(cè)第六天的參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)為29.【點(diǎn)睛】本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及回歸直線方程的應(yīng)用，其中解答中利用公式準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)；(2)當(dāng)產(chǎn)量噸，平均生產(chǎn)成本最低.【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義，可得在分段處兩邊的函數(shù)值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式，可得平均生產(chǎn)成本的最小值點(diǎn)．【詳解】（1）設(shè)，由函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù).即，代入得（2）設(shè)平均生產(chǎn)成本為，則當(dāng)中，，函數(shù)連續(xù)且在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增即當(dāng)，元當(dāng)，，由，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即當(dāng)，元綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量噸，平均生產(chǎn)成本最低.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式求最值，屬于中檔題.20、（1）三角形鐵皮的面積為；（2）剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.【解析】試題分析：（1）利用銳角三角函數(shù)求出和的長(zhǎng)度，然后以為底邊、以為高，利用三角形面積公式求出三角形的面積；（2）設(shè)，以銳角為自變量將和的長(zhǎng)度表示出來(lái)，并利用面積公式求出三角形的面積的表達(dá)式，利用與之間的關(guān)系，令將三角形的面積的表達(dá)式表示為以為自變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出三角形的面積的最大值，但是要注意自變量的取值范圍作為新函數(shù)的定義域.試題解析：（1）由題意知，，，，即三角形鐵皮的面積為；（2）設(shè)，則，，，，令，由于，所以，則有，所以，且，所以，故，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最