2025屆廣東省湛江市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆廣東省湛江市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如果圓上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．2．已知表示三條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．當(dāng)為第二象限角時(shí)，的值是（）．A． B． C． D．4．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)于命題：①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對(duì)一切，②若對(duì)一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列③若存在，使得，則存在，使得④若存在，使得，則存在，使得其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．6．如圖，已知四面體為正四面體，分別是中點(diǎn).若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（）.A． B． C． D．7．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．8．已知直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量、滿足，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．2 B． C．或 D．2或9．設(shè)平面向量，，若，則等于（）A． B． C． D．10．向量，則（）A． B．C．與的夾角為60° D．與的夾角為30°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在公差為的等差數(shù)列中，有性質(zhì)：，根據(jù)上述性質(zhì)，相應(yīng)地在公比為等比數(shù)列中，有性質(zhì)：____________.12．已知圓C的方程為，一定點(diǎn)為A(1,2)，要使過(guò)A點(diǎn)作圓的切線有兩條，則a的取值范圍是____________13．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是________.14．函數(shù)的最大值為．15．已知在數(shù)列中，且，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________．16．已知數(shù)列，，若該數(shù)列是減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．函數(shù).（1）求函數(shù)的周期和遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.18．設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記（），其中表示，，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù).已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求，，的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列前項(xiàng)和.19．給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對(duì)任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說(shuō)明理由.20．眉山市位于四川西南，有“千載詩(shī)書城，人文第一州”的美譽(yù)，這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的故鄉(xiāng)，也是人們旅游的好地方.在今年的國(guó)慶黃金周，為了豐富游客的文化生活，每天在東坡故里三蘇祠舉行“三蘇文化”知識(shí)競(jìng)賽.已知甲、乙兩隊(duì)參賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.（1）分別求甲隊(duì)總得分為0分；2分的概率；（2）求甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分的概率.21．在正方體中.（1）求證：；（2）是中點(diǎn)時(shí)，求直線與面所成角.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

將圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑得到答案.【詳解】，圓心為半徑為1圓心到原點(diǎn)的距離為：如果圓上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為即圓心到原點(diǎn)的距離即故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，轉(zhuǎn)化為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】

利用線面平行、線面垂直的判定定理與性質(zhì)依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則與不平行，故A不正確；對(duì)于B，直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的直線有兩種關(guān)系：平行或異面，故B不正確；對(duì)于C，若，則與不垂直，故C不正確；對(duì)于D，若兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行，故D正確；故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系相關(guān)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．3、C【解析】

根據(jù)為第二象限角，，，去掉絕對(duì)值，即可求解．【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，∴，，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)值的符合，三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)可以結(jié)合口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦，增加記憶印象，屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，通過(guò)舉例和證明逐項(xiàng)分析.【詳解】①取，，則，故①錯(cuò)；②對(duì)一切，，則，又因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞增函數(shù)，所以，若遞減，設(shè)，且，且，所以，則，則，與題設(shè)矛盾，所以遞增，故②正確；③取，則，，令，所以，但是，故③錯(cuò)誤；④因?yàn)?，所以，所以，則，則，則存在，使得，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題函數(shù)性質(zhì)與數(shù)列的綜合，難度較難.分析存在性問(wèn)題時(shí)，如果比較難分析，也可以從反面去舉例子說(shuō)明命題不成立，這也是一種常規(guī)思路.5、D【解析】

本題首先可根據(jù)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列以及計(jì)算出的值，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算以及等比中項(xiàng)的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，所以，，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算以及等比中項(xiàng)的相關(guān)性質(zhì)，考查的公式為以及在等比數(shù)列中有，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題．6、A【解析】

通過(guò)補(bǔ)體，在正方體內(nèi)利用截面為平行四邊形,有，進(jìn)而利用基本不等式可得解.【詳解】補(bǔ)成正方體，如圖.∴截面為平行四邊形,可得，又且可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面的位置關(guān)系，截面問(wèn)題，考查了空間想象力及基本不等式的應(yīng)用，屬于難題.7、D【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，由三棱錐的幾何特征即可求出其外接球表面積．【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體如圖所示：所以該幾何體的外接球，即是長(zhǎng)方體的外接球．因?yàn)椋酝饨忧蛑睆剑试撊忮F的外接球表面積為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，并計(jì)算其外接球的表面積，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

由，兩邊平方，得，所以，則為等腰直角三角形，而圓的半徑，則原點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得的值為2或-2．故選D．9、D【解析】分析：由向量垂直的條件，求解，再由向量的模的公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解結(jié)果.詳解：由題意，平面向量，且，所以，所以，即，又由，所以，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量模的求解，其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和向量模的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】試題分析：由，可得，所以，故選B．考點(diǎn)：向量的運(yùn)算．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題中條件，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵诠顬榈牡炔顢?shù)列中，有性質(zhì)：，類比等差數(shù)列的性質(zhì)，可得：在公比為等比數(shù)列中，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，只需根據(jù)題中條件，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的特征，即可得出結(jié)果，屬于常考題型.12、【解析】

使過(guò)A點(diǎn)作圓的切線有兩條，定點(diǎn)在圓外，代入圓方程計(jì)算得到答案.【詳解】已知圓C的方程為，要使過(guò)A點(diǎn)作圓的切線有兩條即點(diǎn)A(1,2)在圓C外：恒成立.綜上所述：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，通過(guò)切線數(shù)量判斷位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.13、【解析】

將配湊成，由此化簡(jiǎn)的表達(dá)式，并利用基本不等式求得最小值.【詳解】由得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.14、【解析】略15、【解析】

根據(jù)遞推關(guān)系式可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，得到，進(jìn)而求得；利用裂項(xiàng)相消法求得結(jié)果.【詳解】由得：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即：設(shè)前項(xiàng)和為本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明數(shù)列為等差數(shù)列、等差數(shù)列通項(xiàng)的求解、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和；關(guān)鍵是能夠通過(guò)通項(xiàng)公式的形式確定采用的求和方法，屬于常考題型.16、【解析】

本題可以先通過(guò)得出的解析式，再得出的解析式，最后通過(guò)數(shù)列是遞減數(shù)列得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】，因?yàn)樵摂?shù)列是遞減數(shù)列，所以即因?yàn)樗詫?shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考察的是遞減數(shù)列的性質(zhì)，遞減數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的值一定是一個(gè)負(fù)值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）利用二倍角降冪公式、兩角差的正弦公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，然后利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的周期，解不等式即可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由計(jì)算出的取值范圍，可得出的范圍，進(jìn)而可得出函數(shù)的值域.【詳解】（1），所以，函數(shù)的周期為，由，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，則，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查正弦型三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間以及值域的求解，解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想將解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.18、（1）；（2），，，；（3）【解析】

（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得，運(yùn)用已知求公式，即可求解通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意，寫出通項(xiàng)，根據(jù)定義，令，可求解，，的值，再判斷單調(diào)遞減，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）由（1）（2）的數(shù)列、的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列中，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，∴，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，∴是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴.（2），，，當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞減，所以.（3）作差，得【點(diǎn)睛】本題考查（1）已知求公式；（2）數(shù)列的單調(diào)性；（3）錯(cuò)位相減法求和；考查計(jì)算能力，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.19、見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，，故，?）要證明原命題，只需證明對(duì)任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；若，則顯然成立綜上，恒成立，即對(duì)任意的，（3）由（2）知，若為等差數(shù)列，則公差，故n無(wú)限增大時(shí)，總有此時(shí)，即故，即，當(dāng)時(shí)，等式成立，且時(shí)，，此時(shí)為等差數(shù)列，滿足題意；若，則，此時(shí)，也滿足題意；綜上，滿足題意的的取值范圍是．【考點(diǎn)定位】考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬難題．20、(1)0分概率；2分概率；(2)【解析】

（1）記“甲隊(duì)總得分為0分”為事件，“甲隊(duì)總得分為2分”為事件，分析可知A事件三人都沒(méi)有答對(duì)，按相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生計(jì)算概率，B事件即甲隊(duì)三人中有1人答錯(cuò)，其余兩人答對(duì)，由n次獨(dú)立事件恰有k次發(fā)生計(jì)算即可（2）記“乙隊(duì)得1分”為事件，“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”為事件，分別有互斥事件概率加法公式及相互獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可.【詳解】（1）記“甲隊(duì)總得分為0分”為事件，“甲隊(duì)總得分為2分”為事件，甲隊(duì)總得分為0分，即甲隊(duì)三人都回答錯(cuò)誤，其概率；甲隊(duì)總得分為2分，即甲隊(duì)三人中有1人答錯(cuò)，其余兩人答對(duì)，其概率；（2）記“乙隊(duì)得1分”為事件，“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”為事件；事件即乙隊(duì)三人中有2人答錯(cuò)，其余1人答對(duì)，則，甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分即事件、同時(shí)發(fā)生，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，涉及n次獨(dú)立事件中恰有k次發(fā)生的概率公式的應(yīng)用，互斥事件的概率加法公式，屬于中檔題.21、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，證明平面，進(jìn)而可得出；（2）連接、、，設(shè)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，設(shè)，則角和均為直線與平面所成