一輪復(fù)習(xí)課件87利用向量求空間角和距離-1

第七節(jié)利用向量求空間角和距離內(nèi)容索引必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)【教材·知識(shí)梳理】1.異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則：2.直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，

平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ=|cosθ|=________.3.二面角的求法(1)如圖①，AB，CD是二面角α-l

-β兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小為θ=___________.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l

-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cosθ=cos<n1，n2>或-cos<n1，n2>.【常用結(jié)論】1.利用空間向量如何求線段長度利用||2=可以求空間中有向線段的長度.2.點(diǎn)到平面的距離①“作一證一求”法：作出點(diǎn)P到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉(zhuǎn)移法：如果平面α的斜線上兩點(diǎn)A，B到斜足C的距離AC，BC的比為m∶n，則點(diǎn)A，B到平面α的距離比也為m∶n；③體積法：通常借助三棱錐，通過轉(zhuǎn)換底面與頂點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離.【知識(shí)點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)設(shè)a,b是異面直線l1,l2的方向向量,則l1與l2所成的角就是a,b的夾角.()(2)設(shè)a是直線l的方向向量,b是平面α的法向量,則直線l與平面α成的角就是a,b的夾角. ()(3)設(shè)a,b是兩個(gè)平面α,β的法向量,則α與β所成的二面角的大小等于a,b的夾角的大小. ()(4)利用可以求空間中有向線段的長度. ()(5)直線l的方向向量與平面α的法向量夾角為120°,則l和α所成角為30°.()提示:(1)×.因?yàn)?lt;a,b>∈(0,π),l1與l2夾角θ∈(0,].(2)×.因?yàn)?lt;a,b>的余弦的絕對值等于線面角的正弦值.(3)×.因?yàn)?lt;a,b>與二面角的大小相等或互補(bǔ).(4)√.(5)√.【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)易錯(cuò)警示典題索引1混淆線線角與兩向量夾角的范圍致誤考點(diǎn)一、T1,22線面角與向量夾角混淆致誤考點(diǎn)二、典例【教材·基礎(chǔ)自測】1.(選修2-1P115習(xí)題3-2AT1改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中點(diǎn),則異面直線DE與AC所成角的余弦值為 ()

【解析】選D.建立如圖空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

設(shè)DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E,則=(-1,1,0),=,設(shè)異面直線DE與AC所成的角為θ,則cosθ=|cos<>|=.2.(選修2-1P114練習(xí)AT4改編)如圖所示,在空間直角坐標(biāo)系中,有一棱長為a的正方體ABCO-A′B′C′D′,A′C的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為________.

【解析】由圖易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,答案:a3.(選修2-1P108練習(xí)AT3改編)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為2,則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為________.

【解析】以A為原點(diǎn),以(AE⊥AB),所在直線為坐標(biāo)軸(如圖)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)D為A1B1的中點(diǎn),

則A(0,0,0),C1(1,,2),D(1,0,2),所以=(1,,2),=(1,0,2).