函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性三、函數(shù)的間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的概念§2.7

函數(shù)的連續(xù)性第二章

二、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及初等函數(shù)的連續(xù)性

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

可見,函數(shù)在點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的概念定義1在的某鄰域內(nèi)有定義,

則稱函數(shù)(1)

在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;有函數(shù)的增量當(dāng)Δx→0時(shí)，

對(duì)自變量的增量若f(x)在x0點(diǎn)處連續(xù)，則定義4則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處左連續(xù)；則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處右連續(xù)。例如：

f(x)=x≥1,x,x<1.－1,顯然f(1)=1，而1=f(1)即f(x)在x

=1處是右連續(xù)。≠f(1)即f(x)在x

=1處不是左連續(xù)。由函數(shù)的極限與其左、右極限的關(guān)系，易得到下面定理定理1

函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù)的充要條件是：

函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0處既左連續(xù)又右連續(xù)，即

或左連續(xù)右連續(xù)若在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),

則稱它在區(qū)間(a,b)上連續(xù),

或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).定義5如果f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),

在x=a處右連續(xù)，

在x=b處左連續(xù)，

[a]bx則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作例1.證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).例2設(shè)函數(shù)問b為何值時(shí)，

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

x=0處連續(xù).解由于f(0)=2

,且

若使函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)

x=0處連續(xù)，必須定理3.

連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增.

在其定義域內(nèi)連續(xù)．二、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理2.

在某點(diǎn)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商(分母不為0)運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù).例如,例如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減)(證明略)在[

1,1]上也連續(xù)單調(diào)(遞減)遞增.定理4.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.在上連續(xù)其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如,

單調(diào)遞增,例如,是由連續(xù)函數(shù)因此在上連續(xù).復(fù)合而成,定理5基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,的連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))的連續(xù)區(qū)間為的定義域?yàn)橐虼怂鼰o連續(xù)點(diǎn)而定理6(1)y=f(u)在

u=a處連續(xù)，(2)u=φ(x)在

x→X時(shí)極限存在，證解:原式例3.求例4.

求解:原式解:原式例5.

求(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):下列情形之一,這樣的點(diǎn)函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn)（不連續(xù)的點(diǎn)）.

無定義;三、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義6

例如x=0是下列各函數(shù)的間斷點(diǎn)：1yxO第一類間斷點(diǎn):左右極限都存在的間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)(1)可去間斷點(diǎn):間斷點(diǎn)分類:x=0是可去間斷點(diǎn)1yxO(2)跳躍間斷點(diǎn):1yxO－1x=0是跳躍間斷點(diǎn)左右極限都相等間斷點(diǎn)左右極限不都相等間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在.稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為無窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)，為其無窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)

為其跳躍間斷點(diǎn).左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在

第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式內(nèi)容小結(jié)1.

討論函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)。思考與練習(xí)解：故x=1是一類可去間斷點(diǎn)。補(bǔ)充定義f(1)=－2，則函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)。所以，x=2是第二類無窮間斷點(diǎn).注意:

若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.定理7.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:設(shè)則使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷

在該區(qū)間上一定有最大點(diǎn),四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

例如,在[0,1]上無最大值和最小值

在(0,1)也無最大值和最小值。

又如,

111/2定理8

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.

設(shè)

M和m分別是則對(duì)于滿足m≤μ≤M至少存在一點(diǎn)定理9說明在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)使必取得介于最小值與最大值之間的任何值.的任何實(shí)數(shù)μ,定理9.

(介值定理)推論1.

(零點(diǎn)定理)至少有一點(diǎn)且使一個(gè)根.證:設(shè)故據(jù)零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)使即在區(qū)間內(nèi)至少有即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.例1.

證明方程在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當(dāng)時(shí),使必存在上有界;在在內(nèi)容小結(jié)P50：練習(xí)2.72.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型．如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)：解解解解備用題

1至少有一個(gè)不超過4的

證：證明令且根據(jù)零點(diǎn)定理,原命題得證.內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間顯然正根.2.

(1)證明方程內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根；

(2)記(1)中的實(shí)根為xn,證明

存在，并求此極限．

（2012考研數(shù)學(xué)二）