從數(shù)學思維角度談高考- 2018浙江高考展望

從數(shù)學思維角度談高考

——2018浙江高考展望

噪州中學俞海東

引子：

數(shù)學思維：指在數(shù)學活動中的思維，是人腦和數(shù)學對象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、

結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一定思維規(guī)律認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在理性活動.它既具

有思維的一般性質(zhì)，又有自己的特性.最主要的特性表現(xiàn)在其思維的材料和結(jié)果

都是數(shù)學內(nèi)容.

1.什么是觀察：觀察是有目的、有計劃地通過視覺器官去認識數(shù)學對象、性質(zhì)

以及相互關(guān)系的活動.觀察過程是對數(shù)學思維材料的接收，或稱數(shù)學思維信息的

輸入過程.

例1設(shè)集合A={x|/+2x-3>0},B={x|x2-2ax-\<0,6r>1}

若AD5中恰含有一個整數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A（°十）BC［；,+8）D（l,4-oo）

例2已知x>yN0,求^^+旦最小值

x+yx-y

2.什么是實驗：數(shù)學實驗就是人們根據(jù)數(shù)學研究的需要，人為地、有目的地、

模擬地創(chuàng)設(shè)一些有利于觀察的數(shù)學對象，并對其實行觀察和研究的一種方式

例3已知|+ax+h\<c（a,beR,c>0）在［1,3］上恒成立，求c的最小值為.

3.什么是推理：推理：由一個或幾個已知的判斷（前提），推導出一個未知的

結(jié)論的思維過程推理是形式邏輯是研究人們思維形式及其規(guī)律和一些簡單的邏

輯方法

例4已知=2,求證：a+b<2

變：已知。3+/?3?2,能推出。+匕42

一、觀察函數(shù)

【蘇】別爾曼特一一函數(shù)的概念的定義：若對于一個變量的每一個數(shù)值，都對應(yīng)

著另一個變量的一個確定的數(shù)值，則后一個變量叫做前一個變量的函數(shù)

,也就是說兩個變量之間有函數(shù)關(guān)系

例5存在函數(shù)f(x)滿足：對于任意xeR都有

A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+l)=|x+l|D.f(x2+2x)=|x+11

1.已知定義域和對應(yīng)關(guān)系得到值域

例6已知/(X)=匕2,x口,2],求值域

X

2.已知值域和對應(yīng)關(guān)系得到定義域

例7已知/(x)=x+3.1+2,xe[a,b],若ye[20,6],求b-a最小值

x

3.觀察函數(shù)的相似性

相似性

例8設(shè)a>0,b>0.

A,若2，+2a=2b+3b,則a>bB.^r2a+2a=2b+3b,則a<b

C.若2叱2a=2卜3憶則a>bD.若2、2a=2”3b,則a<b

3.分解

碰到函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不是基本函數(shù)類型，無法直接作出圖象的，就進入分解環(huán)節(jié)

函數(shù)的分解一般由五種形式

函數(shù)看成是兩個函數(shù)的和F(x)=f(%)+g(x)

函數(shù)看成是兩個函數(shù)的差b(x)=f(x)-g(x)

函數(shù)看成是兩個函數(shù)的積F(x)=/(x)g(x)

函數(shù)看成是兩個函數(shù)的商F(x)=四

g(x)

函數(shù)看成是兩個函數(shù)的復合尸(X)=/(g(x))

內(nèi)外分解(復合函數(shù))的形象：將一個帶進口與出口的小黑匣子，放入一

個帶進口與出口的大黑匣子內(nèi)對于從進口進入小黑匣子的任何X在出口有唯一

的t出來，對于從進口進入黑匣子的任何t在出口有唯一的y出來,其中t作為

中介，既受小黑匣子的制約，又受大黑匣子的制約，如圖5所示

例9關(guān)于函數(shù)/(x)=sin2x—1g)'+g,有下面四個結(jié)論：

(1)/(x)是奇函數(shù)；(2)當x>2003時，恒成立；

(3)/(x)的最大值是|;(4)/(x)的最小值是-g.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是().

A.1個B.2個C.3個D.4個

例10已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)/(x)=(/7)(x—l?(左=1,2),則()

A當上1時，/(X)以處取得極小值

B當&=1時，/(x)以x=l處取得極大值

C當上2時，f(x)以41處取得極小值

D當U2B寸，f(x)以x=l處取得極大值

二、觀察多元函數(shù)：

文字表達：兩個變量的每一對所考慮的數(shù)值對應(yīng)著另一個變量的一個數(shù)值，則第

三個變量叫做前兩個變量的函數(shù)

符號表達：z=/(x,y),(x,y)ED

如果讓自變量之一例如x,保持常數(shù)x=a,而另一個變量y仍算作是可變的，

那么z=.f(x,y)就變成一個變量y的函數(shù)z=f(a,y)

同樣如果讓自變量之一例如x,保持常數(shù)y=人而另一個變量元仍算作是可變的,

那么z=/(x,y)就變成一個變量x的函數(shù)z=/(%,/?)

所以對于兩元函數(shù)，如何處理成一元函數(shù)是關(guān)鍵

例11觀察代數(shù)式的幾何意義

若實數(shù)X,y滿足x2+y2gl,則I2x+y—21+16—X—3y|的最小值是

三、實驗

例12（浙江高考）設(shè)向量a,8滿足：|a|=3,|b|=4,ab=O.以a,5,a—b的模

為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為（）

A.3B.4C.5D.6

例13（2015年浙江高考）如圖，已知△ABC,D是AB的中點，沿直線CD將△ACD翻折

成AACD,所成二面角A，一CD—B的平面角為a,則

A./ADBWaB.ZAfDB>aC.ZArCB<aD.ZAzCB>a

三、觀察推理

1.何為代數(shù)，一個字“代”

例14對于正實數(shù)a,記為滿足下述條件的函數(shù)/（x）構(gòu)成的集合：VJZZGR且

X2>Xt,有_￡（>2_玉）</02）_/（芭）<&（工2_玉）.下列結(jié)論中正確的是（）

A.若/(X)右此ig(x)eMa2,則/'(x>g(x)eMa|,a2

B.若g(x)&Ma2,且g(x)?0,則/里6加⑶

g(x)石

C.若/(x)eMa],g(x)6Ma2,則f(x)+g(x)Ga\+a2

D.若/(x)eMai，g(x)GMa2,且以>。2，則/(x)一g(x)e

2.由等式推出等式

在aABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2c2s4二3咨C=3c-2a,求q.

cosBbc

3由等式推出不等式

例15若且sinx=xcosy,則()

JQ尢XX

A.y<—B.—<y<—C.—<y<xD.x<y

“44~22J

例16.已知實數(shù)蒼y滿足/