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四川省華鎣一中高新高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺2.“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn),己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是()A. B. C.10 D.3.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.A.1 B. C. D.24.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.245.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.26.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,,則的通項(xiàng)公式()A. B. C. D.7.已知函數(shù)的最小正周期為,且滿足,則要得到函數(shù)的圖像,可將函數(shù)的圖像()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度8.已知復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為()A. B. C. D.69.對(duì)于函數(shù),定義滿足的實(shí)數(shù)為的不動(dòng)點(diǎn),設(shè),其中且,若有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.10.中國鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運(yùn)營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營里程與年價(jià)正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營里程比2014年高鐵運(yùn)營里程增長(zhǎng)80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營里程數(shù)依次成等差數(shù)列11.已知是空間中兩個(gè)不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則12.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作,已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),復(fù)數(shù):滿足.則等于()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.?dāng)?shù)學(xué)家狄里克雷對(duì)數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn),是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù),稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域?yàn)?②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫出所有正確的結(jié)論的序號(hào))14.已知集合,,則____________.15.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.若,,則__,面積的最大值為___.16.函數(shù)的極大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C的離心率為且經(jīng)過點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)(0,2)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點(diǎn)M在橢圓C上,求直線l的方程.18.(12分)已知函數(shù),.(1)若不等式的解集為,求的值.(2)若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.19.(12分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點(diǎn),將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實(shí)數(shù),,滿足,求證:.21.(12分)已知曲線,直線:(為參數(shù)).(I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;(II)過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線,交于點(diǎn),的最大值與最小值.22.(10分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)存在零點(diǎn),求的求值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐,將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體,此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球,所以為的中點(diǎn),設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.2、D【解析】
直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型:,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.3、C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.5、A【解析】
利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.6、C【解析】
利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力,應(yīng)用意識(shí).7、C【解析】
依題意可得,且是的一條對(duì)稱軸,即可求出的值,再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計(jì)算可得;【詳解】解:由已知得,是的一條對(duì)稱軸,且使取得最值,則,,,,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
設(shè),,利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.【詳解】設(shè),由已知,,所以點(diǎn)在單位圓上,而,表示點(diǎn)到的距離,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值,其實(shí)本題可以利用不等式來解決.9、C【解析】
根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構(gòu)造函數(shù),并討論的單調(diào)性與最值,畫出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),可得得或,解得或.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值,分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用,屬于中檔題.10、D【解析】
由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng),顯然正確;對(duì)于,,選項(xiàng)正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯(cuò).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題11、D【解析】
利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對(duì)選項(xiàng)做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對(duì)于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯(cuò);對(duì)于,當(dāng)時(shí),不能判定,故錯(cuò);對(duì)于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯(cuò);對(duì)于,由可得,又,則故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.12、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù),進(jìn)而得出,由得出可計(jì)算出,由此可計(jì)算出.【詳解】由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn),,則,,,因此,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、②【解析】
根據(jù)新定義,結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③,由定義求得比小的有理數(shù)個(gè)數(shù),即可確定④.【詳解】對(duì)于①,由定義可知,當(dāng)為有理數(shù)時(shí);當(dāng)為無理數(shù)時(shí),則值域?yàn)?,所以①錯(cuò)誤;對(duì)于②,因?yàn)橛欣頂?shù)的相反數(shù)還是有理數(shù),無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù),所以滿足,所以②正確;對(duì)于③,因?yàn)?,?dāng)為無理數(shù)時(shí),可以是有理數(shù),也可以是無理數(shù),所以③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由定義可知,所以④錯(cuò)誤;綜上可知,正確的為②.故答案為:②.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應(yīng)用,正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.14、【解析】
由于,,則.15、1【解析】
由正弦定理,結(jié)合,,可求出;由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?,所以由正弦定理可得,所?所以,當(dāng),即時(shí),三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的問題,熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解,屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意,得.所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)以及列方程,由此求得,進(jìn)而求得橢圓的方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達(dá)定理.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及向量加法的幾何意義得到,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡(jiǎn)后可求得直線的斜率,由此求得直線的方程.【詳解】(1)由橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上,所以,且解得,所以橢圓的方程為.(2)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,設(shè),由消去得,所以,由已知得,所以,由于點(diǎn)都在橢圓上,所以,展開有,又,所以,經(jīng)檢驗(yàn)滿足,故直線的方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】試題分析:(1)求得的解集,根據(jù)集合相等,列出方程組,即可求解的值;(2)①當(dāng)時(shí),恒成立,②當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)化為,設(shè),求得函數(shù)的最小值,即可求解的取值范圍.試題解析:(1)由,得,因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?,所以,故不等式可化為,解得,所以,解?(2)①當(dāng)時(shí),恒成立,所以.②當(dāng)時(shí),可化為,設(shè),則,所以當(dāng)時(shí),,所以.綜上,的取值范圍是.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由折疊過程知與平面垂直,得,再取中點(diǎn),可證與平面垂直,得,從而可得線面垂直,再得線線垂直;(2)由已知得為中點(diǎn),以為原點(diǎn),所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求出線段長(zhǎng),得出各點(diǎn)坐標(biāo),用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦.【詳解】(1)易知與平面垂直,∴,連接,取中點(diǎn),連接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中點(diǎn),令,則,由,,∴,解得,故.以為原點(diǎn),所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,取,則.又易知平面的一個(gè)法向量為,.∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線線垂直,考查用空間向量法求二面角.證線線垂直,一般先證線面垂直,而證線面垂直又要證線線垂直,注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角,常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求空間角.20、(1);(2)證明見詳解.【解析】
(1)將不等式的解集用表示出來,結(jié)合題中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式證明.【詳解】解:(1),,,因?yàn)榈慕饧癁?,所以,;?)由(1)由柯西不等式,當(dāng)且僅當(dāng),,,等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法,利用柯西不等式證明不等式的問題,屬于中檔題.21、(I);(II)最大值為,最小值為.【解析】試題分析:(I)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè),得橢圓的參數(shù)方程為,消去參數(shù)即得直線的普通方程為;(II)關(guān)鍵是處理好與角的關(guān)系.過點(diǎn)作與垂直的直線,垂足為,則在中,,故將的最大值與最小值問題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn),到定直線的最大值與最小值問題處理.試題解析:(I)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線的普通方程為.(II)曲線C上任意一點(diǎn)到的距離為.則.其中為銳角,且.當(dāng)時(shí),取到最大值,最大值為.當(dāng)時(shí),取到最小值,最小值為.【考點(diǎn)定位】1、橢圓和直線的參數(shù)方程;2、點(diǎn)到直線的距離公式;3、解直角三角形.22、(1)或;(2).【解析】
(1)通過討
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