新八年級數(shù)學講義第6講整式的乘法-基礎班(學生版+解析)

第6講整式的乘法

1同底數(shù)冪的乘法(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.【例題精選】例1(2023春?西湖區(qū)校級月考）計算a3?a4的結果是（）A．a12 B．2a12 C．2a7 D．a7例2(2023秋?廣安期末）若am＝8，an＝16，則am+n的值為（）A．32 B．64 C．128 D．256【隨堂練習】1．(2023春?福安市期中）若2m＝10，2n＝5，則2m+n的值是（）A．50 B．15 C．5 D．22．(2023春?城關區(qū)校級期中）已知：am＝﹣3，an＝2，則am+n＝（）A．﹣1 B．﹣5 C．6 D．﹣63．(2023春?芷江縣期末）若3×32m×33m＝321，則m的值為（）A．2 B．3 C．4 D．52冪的乘方與積的乘方冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：【例題精選】例1(2023?沙坪壩區(qū)校級一模）計算（4b）2正確的是（）A．16b B．8b2 C．4b2 D．16b2例2(2023秋?臨西縣期末）計算：（m3n）2的結果是（）A．m6n B．m5n2 C．m6n2 D．m3n2【隨堂練習】1．(2023?鄭州模擬）下列計算錯誤的是（）A．2a2+3a2＝5a4 B．（3ab3）2＝9a2b6 C．（x2）3＝x6 D．a?a2＝a32．(2023秋?攀枝花期末）下列計算正確的是（）A．x3?x4＝x12 B．（x3）3＝x6 C． D．（﹣x）2＝x23.(2023秋?九龍坡區(qū)校級期末）下列運算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．（﹣a）4＝a4 C．（2a2）2＝2a4 D．（a2）3＝a53單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.【例題精選】例1(2023秋?甘井子區(qū)期末）計算（﹣2x2y3）?3xy2結果正確的是（）A．﹣6x2y6 B．﹣6x3y5 C．﹣5x3y5 D．﹣24x7y5例2(2023?肥城市二模）下列運算正確的是（）A．22019﹣22018＝22018 B．2a2?3a3＝6a6 C．（﹣2a）3＝6a3 D．a2+a3＝a5【隨堂練習】1．(2023春?安仁縣期中）下列各式計算正確的是（）A．（a2）3＝（a3）2 B．3y3?5y4＝15y12 C．（﹣c）4?（﹣c）3＝c7 D．（ab5）2＝ab102．(2023?阜陽模擬）計算（2x）3?（﹣x2）的結果為（）A．8x6 B．﹣2x5 C．﹣8x5 D．2x54單項式乘多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.【例題精選】例1(2023春?灤南縣期中）計算x（3x2﹣2x2）的結果是（）A．x B．x3 C．x5 D．5x3例2(2023?雨湖區(qū)一模）下列運算正確的是（）A．2a3+a＝3a4 B．（2x3y）2＝4x6y2 C．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab D．2ab﹣3a（b﹣a）＝﹣ab﹣3a2【隨堂練習】1．(2023?溧陽市一模）計算：x（x﹣2）＝_______.2．(2023春?金華期中）計算：﹣2x（x﹣3y）＝___________．3．(2023?零陵區(qū)一模）下列計算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．a3?a2＝a6 C．a（a﹣1）＝a2﹣1 D．（a2）4＝a85多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.【例題精選】例1計算：（a+b+c）（c+d+e）．例2(2023春?覃塘區(qū)期中）計算：（1）（﹣a2）（﹣a）2（﹣a）（2）（3m+1）（2m﹣3）﹣（6m﹣5）（m﹣4）【隨堂練習】1．(2023秋?襄城縣期末）已知a2+a﹣4＝0，那么代數(shù)式：a2（a+5）的值是（）A．4 B．8 C．12 D．162．(2023秋?萬州區(qū)期末）小淇用大小不同的9個長方形拼成一個大的長方形ABCD，則圖中陰影部分的面積是（）A．（a+1）（b+3） B．（a+3）（b+1） C．（a+1）（b+4） D．（a+4）（b+1）3．(2023秋?廣安期末）如果代數(shù)式（x﹣2）（x2+mx+1）的展開式不含x2項，那么m的值為（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣4．(2023秋?潁州區(qū)期末）若x+m與x+3的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）A．0 B．1 C．3 D．﹣3綜合練習一．選擇題1．計算正確的是（）A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b12 D．3a4?2a＝6a52．下列計算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．（2a2）3＝6a6 C．2a﹣a＝2 D．（a2）3＝a63．下列運算，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．若3x＝a，3y＝b，則32x﹣y等于（）A． B． C．a2+ D．2ab二．填空題5．計算：＝．6．已知2x?4x?8y＝64，則x+y＝．三．解答題7．計算：（2a）2﹣a×3a+a2．8．計算：（2a2）3﹣a4?a2﹣（a3）29．計算：（1）x3?x?（﹣x）2（2）a3?（﹣a2）3（3）（m﹣1）3?（1﹣m）4+（1﹣m）5?（m﹣1）2（4）（﹣）2018×（1）2019第6講整式的乘法

1同底數(shù)冪的乘法(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.【例題精選】例1(2023春?西湖區(qū)校級月考）計算a3?a4的結果是（）A．a12 B．2a12 C．2a7 D．a7分析：根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加，計算后直接選取答案．【解答】解：a3?a4＝a3+4＝a7．故選：D．【點評】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法的性質，熟練掌握運算性質是解題的關鍵．例2(2023秋?廣安期末）若am＝8，an＝16，則am+n的值為（）A．32 B．64 C．128 D．256分析：直接利用同底數(shù)冪的乘方運算法則將原式變形求出即可．【解答】解：∵am＝8，an＝16，∴am+n＝am×an＝8×16＝128．故選：C．【點評】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．【隨堂練習】1．(2023春?福安市期中）若2m＝10，2n＝5，則2m+n的值是（）A．50 B．15 C．5 D．2【解答】解：∵2m＝10，2n＝5∴2m?2n＝2m+n＝10×5＝50故選：A．2．(2023春?城關區(qū)校級期中）已知：am＝﹣3，an＝2，則am+n＝（）A．﹣1 B．﹣5 C．6 D．﹣6【解答】解：因為am＝﹣3，an＝2，所以am+n＝am?an＝（﹣3）×2＝﹣6．故選：D．3．(2023春?芷江縣期末）若3×32m×33m＝321，則m的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：已知等式整理得：35m+1＝321，可得5m+1＝21，解得：m＝4，故選：C．2冪的乘方與積的乘方冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：【例題精選】例1(2023?沙坪壩區(qū)校級一模）計算（4b）2正確的是（）A．16b B．8b2 C．4b2 D．16b2分析：直接利用積的乘方運算法則計算得出答案．【解答】解：（4b）2＝16b2．故選：D．【點評】此題主要考查了積的乘方運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．例2(2023秋?臨西縣期末）計算：（m3n）2的結果是（）A．m6n B．m5n2 C．m6n2 D．m3n2分析：根據(jù)冪的乘方與積的乘方法則計算即可．【解答】解：（m3n）2＝（m3）2?n2＝m6n2．故選：C．【點評】本題主要考查了積的乘方法則：積的乘方，等于每個因式乘方的積．【隨堂練習】1．(2023?鄭州模擬）下列計算錯誤的是（）A．2a2+3a2＝5a4 B．（3ab3）2＝9a2b6 C．（x2）3＝x6 D．a?a2＝a3【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，原式計算錯誤，符合題意；B、（3ab3）2＝9a2b6，正確，不合題意；C、（x2）3＝x6，正確，不合題意；D、a?a2＝a3，正確，不合題意；故選：A．2．(2023秋?攀枝花期末）下列計算正確的是（）A．x3?x4＝x12 B．（x3）3＝x6 C． D．（﹣x）2＝x2【解答】解：x3?x4＝x7，故選項A不合題意；（x3）3＝x9，故選項B不合題意；，故選項C不合題意；（﹣x）2＝x2，故選項D符合題意．故選：D．3.(2023秋?九龍坡區(qū)校級期末）下列運算正確的是（）A．a2?a3＝a6 B．（﹣a）4＝a4 C．（2a2）2＝2a4 D．（a2）3＝a5【解答】解：A、a2?a3＝a5，故此選項錯誤；B、（﹣a）4＝a4，正確；C、（2a2）2＝4a4，故此選項錯誤；D、（a2）3＝a6，故此選項錯誤；故選：B．3單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.【例題精選】例1(2023秋?甘井子區(qū)期末）計算（﹣2x2y3）?3xy2結果正確的是（）A．﹣6x2y6 B．﹣6x3y5 C．﹣5x3y5 D．﹣24x7y5分析：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．【解答】解：（﹣2x2y3）?3xy2＝﹣6x2+1y3+2＝﹣6x3y5．故選：B．【點評】本題主要考查了單項式與單項式相乘，在計算時，應先進行符號運算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積．例2(2023?肥城市二模）下列運算正確的是（）A．22019﹣22018＝22018 B．2a2?3a3＝6a6 C．（﹣2a）3＝6a3 D．a2+a3＝a5分析：各項計算得到結果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式＝22018×（2﹣1）＝22018，符合題意；B、原式＝6a5，不符合題意；C、原式＝﹣8a3，不符合題意；D、原式不能合并，不符合題意．故選：A．【點評】此題考查了單項式乘單項式，合并同類項，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【隨堂練習】1．(2023春?安仁縣期中）下列各式計算正確的是（）A．（a2）3＝（a3）2 B．3y3?5y4＝15y12 C．（﹣c）4?（﹣c）3＝c7 D．（ab5）2＝ab10【解答】解：∵（a2）3＝（a3）2＝a6，∴選項A符合題意；∵3y3?5y4＝15y7，∴選項B不符合題意；∵（﹣c）4?（﹣c）3＝﹣c7，∴選項C不符合題意；∵（ab5）2＝a2b10，∴選項D不符合題意．故選：A．2．(2023?阜陽模擬）計算（2x）3?（﹣x2）的結果為（）A．8x6 B．﹣2x5 C．﹣8x5 D．2x5【解答】解：（2x）3?（﹣x2）＝8x3?（﹣x2）＝﹣8x5．故選：C．4單項式乘多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.【例題精選】例1(2023春?灤南縣期中）計算x（3x2﹣2x2）的結果是（）A．x B．x3 C．x5 D．5x3分析：根據(jù)單項式乘多項式的計算法則計算，再合并同類項即可求解．【解答】解：x（3x2﹣2x2）＝3x3﹣2x3＝x3．故選：B．【點評】考查了單項式乘多項式，單項式與多項式相乘時，應注意以下幾個問題：①單項式與多項式相乘實質上是轉化為單項式乘以單項式；②用單項式去乘多項式中的每一項時，不能漏乘；③注意確定積的符號．例2(2023?雨湖區(qū)一模）下列運算正確的是（）A．2a3+a＝3a4 B．（2x3y）2＝4x6y2 C．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab D．2ab﹣3a（b﹣a）＝﹣ab﹣3a2分析：分別依據(jù)合并同類項法則、單項式的乘方、單項式乘多項式法則逐一計算即可得出答案．【解答】解：A．2a3與a不是同類項，不能合并，此選項錯誤；B．（2x3y）2＝4x6y2，此選項正確；C．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab+a，此選項錯誤；D．2ab﹣3a（b﹣a）＝2ab﹣3ab+3a2＝﹣ab+3a2，此選項錯誤；故選：B．【點評】本題主要考查單項式乘多項式，解題的關鍵是掌握合并同類項法則、單項式的乘方、單項式乘多項式法則．【隨堂練習】1．(2023?溧陽市一模）計算：x（x﹣2）＝_______.分析：根據(jù)整式的運算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝x2﹣2x故答案為：x2﹣2x【點評】本題考查整式的運算法則，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．2．(2023春?金華期中）計算：﹣2x（x﹣3y）＝___________．分析：利用單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，可得結果．【解答】解：﹣2x（x﹣3y）＝﹣2x?x+（﹣2x）?（﹣3y）＝﹣2x2+6xy，故答案為：﹣2x2+6xy．3．(2023?零陵區(qū)一模）下列計算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．a3?a2＝a6 C．a（a﹣1）＝a2﹣1 D．（a2）4＝a8【解答】解：2a與3b不是同類項，不能合并，A錯誤；a3?a2＝a5，B錯誤；a（a﹣1）＝a2﹣a，C錯誤；（a2）4＝a8，D正確；故選：D．5多項式乘以多項式知識概述知識概述多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.【例題精選】例1計算：（a+b+c）（c+d+e）．分析：按多項式乘以多項式法則運算即可．【解答】解：原式＝ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce．【點評】本題考查了多項式乘以多項式法則．利用多項式乘以多項式法則時，沒有合并前的項數(shù)＝多項式項數(shù)的積．易漏乘需注意．例2(2023春?覃塘區(qū)期中）計算：（1）（﹣a2）（﹣a）2（﹣a）（2）（3m+1）（2m﹣3）﹣（6m﹣5）（m﹣4）分析：（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進行計算即可得出答案；（2）根據(jù)多項式乘多項式的法則進行解答即可．【解答】解：（1）原式＝a2?a2?a＝a5；（2）原式＝（6m2﹣7m﹣3）﹣（6m2﹣29m+20）＝6m2﹣7m﹣3﹣6m2+29m﹣20＝22m﹣23．【點評】此題考查了多項式乘多項式以及同底數(shù)冪的乘法，熟記法則是解題的關鍵．【隨堂練習】1．(2023秋?襄城縣期末）已知a2+a﹣4＝0，那么代數(shù)式：a2（a+5）的值是（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：∵a2+a﹣4＝0，∴a2＝﹣a+4，a2+a＝4，∴a2（a+5）＝（﹣a+4）（a+5）＝﹣a2﹣a+20＝﹣（a2+a）+20＝﹣4+20＝16．故選：D．2．(2023秋?萬州區(qū)期末）小淇用大小不同的9個長方形拼成一個大的長方形ABCD，則圖中陰影部分的面積是（）A．（a+1）（b+3） B．（a+3）（b+1） C．（a+1）（b+4） D．（a+4）（b+1）【解答】解：由平移可知，圖中陰影部分的長為（a+3），寬為（b+1），則圖中陰影部分的面積是（a+3）（b+1）．故選：B．3．(2023秋?廣安期末）如果代數(shù)式（x﹣2）（x2+mx+1）的展開式不含x2項，那么m的值為（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣【解答】解：（x﹣2）（x2+mx+1）＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，因為不含x2項，所以m﹣2＝0，解得：m＝2，故選：A．4．(2023秋?潁州區(qū)期末）若x+m與x+3的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）A．0 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，∵乘積中不含x的一次項，∴m+3＝0，∴m＝﹣3．故選：D．綜合練習一．選擇題1．計算正確的是（）A．（﹣2019）0＝0 B．x6÷x2＝x3 C．（﹣a2b3）4＝﹣a8b1