平面向量及其運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)匯編-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期備考期末復(fù)習(xí)（人教A版2019必修第二冊(cè)）

《人教A版必修二知識(shí)點(diǎn)匯總》第6章《平面向量及其應(yīng)用》知識(shí)點(diǎn)匯總6.1平面向量的概念1.向量的概念(1)向量：像力、位移這樣，在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)數(shù)量：像長(zhǎng)度、質(zhì)量這樣，在數(shù)學(xué)中，我們把只有大小沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量.注：物理學(xué)中常稱向量為矢量，數(shù)量為標(biāo)量，你還能舉出物理學(xué)中其他的一些向量和數(shù)量嗎？例1下列物理量中，向量有（③⑤⑦⑩），數(shù)量有（①②④⑥⑧⑨）.（填序號(hào)）①質(zhì)量；②年齡；③位移；④角度；⑤加速度；⑥面積；⑦風(fēng)速；⑧身高；⑨溫度；⑩彈力.2.向量的表示與特殊向量（1）有向線段如圖所示，我們把具有方向的線段叫做有向線段.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作AB，線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段AB有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．注：知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度，它的終點(diǎn)就唯一確定了.（2）向量的表示①幾何表示如圖，數(shù)學(xué)上通常用有向線段表示向量，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段表示向量AB其中有向線段AB的長(zhǎng)度表示向量AB的大小（或模），記作|AB|，有向線段AB的方向表示向量AB的方注：在空間中，向量是可以進(jìn)行平移的.②字母表示向量可以用字母a，b，c，…表示(溫馨提示：有向線段與向量不是同一概念，有向線段有起點(diǎn)、長(zhǎng)度、方向三個(gè)要素，而向量有大小和方向兩個(gè)要素.在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由平移的.每一個(gè)有向線段對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，每一個(gè)向量對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)有向線段.（3）特殊向量①零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,記作0.注：i.0的模為0，即|0ii.0的方向是任意的，即它的方向可以看作任意方向②單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量,通常用e表示，即|e|=1.注：任何一個(gè)非零向量a都有它的單位向量，且e=（4）實(shí)例運(yùn)用例2如圖，分別用向量表示A地至B，C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A地至B，C兩地的實(shí)際距離(精確到1km)．

AB表示表示A地至AC表示表示A∵圖中比例尺為1:8000000即圖上1cm∴||答:A地至B，C兩地的實(shí)際距離分別約為1043.向量間的特殊關(guān)系（1）平行向量（或共線向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量），記作注①我們規(guī)定，零向量與任意向量平行，即對(duì)于任意向量a，都有0∥注②如圖,已知a,b,c是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線l，在l上任取一點(diǎn)O，則可在l上分別作出OA這就是說(shuō)，任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此平行向量也叫做共線向量.（2）相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如圖向量a與b為相等向量，記作a=注：①任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)；②同時(shí)，兩條方向相同且長(zhǎng)度相等的有向線段表示同一個(gè)向量，因?yàn)橄蛄客耆伤哪：头较虼_定.（3）相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相反向量.如圖向量a與c為相反向量，記作c=-注①向量a的相反向量為-a，且-注②規(guī)定:0的相反向量為0，記作-0（4）實(shí)例運(yùn)用例3如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心．

①寫出圖中的共線向量;

②分別寫出圖中與OA，OB，OC相等的向量．

解：①如圖所示∵已知O是正六邊形ABCDEF的中心．∴OA,CB,DO,FE是共線向量OB,DC,EO,AF是共線向量OC,AB,ED,FO是共線向量②由圖可知OA=OBOC=6.2.1向量的加法運(yùn)算1.向量加法的定義與三角形法則（1）向量加法的定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.注：對(duì)于零向量與任意向量a，規(guī)定a+即“任何向量與零向量相加等于它本身”.（2）向量加法的三角形法則如圖，已知非零向量a,b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB=a，BC=b,，則向量AC即a+（語(yǔ)言表達(dá)）：兩個(gè)向量的求和，等于先把第一個(gè)向量的尾端和第二個(gè)向量的首端連接，那么連接第一個(gè)向量的首端與第二個(gè)向量的尾端得到的向量即為這兩個(gè)向量的和.即向量加法的三角形法則簡(jiǎn)稱為“首尾相連接”.實(shí)例運(yùn)用例1如圖，已知平面四邊形ABCD，則AB+BC+CD=(A.ADB.BDC.ACD.向量加法的平行四邊形法則如圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的向量OC(OC是平行四邊形OACB的對(duì)角線)就是向量a與b即OC=溫馨提示:應(yīng)用平行四邊形法則的前提是兩向量“共起點(diǎn)”.向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實(shí)際上就是向量加法的幾何意義.3.向量加法的性質(zhì)及其運(yùn)算律（1）一般地，我們有a+b≤|a|＋|b|注：當(dāng)?shù)忍?hào)不成立時(shí)，這一不等式的幾何意義為“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”（2）交換律：a+（3）結(jié)合律：(a+b)＋c4.實(shí)例運(yùn)用例2長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，常常通過(guò)輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖，一艘船從長(zhǎng)江南岸A地出發(fā)，垂直于對(duì)岸航行，航行速度的大小為63km/h，同時(shí)江水的速度為向東6km/h．

(1)用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度;

以AD,AB為鄰邊作平行四邊形據(jù)平行四邊形法則可知AD+A故AC求船實(shí)際航行的速度的大小與方向.解:∵由（1）知四邊形ABCD∴|又∵已知AD∴∠∴四邊形ABCD為矩形∴∠B=90°,即∴|又∵tan∠CAB=∴∠答：船實(shí)際航行的速度的大小為12km/h，方向?yàn)闁|偏北60°6.2.2向量的加法運(yùn)算1.相反向量及其性質(zhì)（1）向量加法的定義長(zhǎng)度相等且方向相反的向量叫做相反向量.如圖，向量a與b互為相反向量，記作b=-注①向量a的相反向量為-a，且--注②規(guī)定：0的相反向量為0，記作-（2）相反向量的性質(zhì)如圖，由兩個(gè)向量和的三角形法則易知：當(dāng)a與b互為相反向量時(shí)，則滿足即“互為相反向量的兩個(gè)向量的和為零向量”2.向量減法的定義及其運(yùn)算法則（1）向量減法的定義向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，記作：a求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.注：由向量減法的定義可知，向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行：減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量.（2）向量減法的運(yùn)算法則（幾何意義）①作法如圖，已知非零向量a與b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O作OA=a，OB∵據(jù)向量加法的三角形法則有OB+∴BA=②幾何意義對(duì)于具有公共起點(diǎn)的非零向量a與b，a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a注：向量減法的運(yùn)算法則可以簡(jiǎn)稱為具有公共起點(diǎn)的兩向量“尾尾倒相連”.3.實(shí)例運(yùn)用例如圖（2），在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b,你能用a,解：∵已知在平行四邊形ABCD中，AB=a∴據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知A又據(jù)向量的減法法則可知DB6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算1.定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作（1）λa的長(zhǎng)度為:|（2）λa①當(dāng)λ>0時(shí)，λa②當(dāng)λ<0時(shí)，λa③當(dāng)λ＝0時(shí)，λ溫馨提示Ⅰ.向量的數(shù)乘λaⅡ.實(shí)數(shù)λ與向量a2.運(yùn)算律根據(jù)向量數(shù)乘的定義可以得到如下的運(yùn)算律設(shè)λ，(1)λ((2)(λ(3)λ(特別地，有(－λ)3.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量a,b，以及任意實(shí)數(shù)恒有λ(例1計(jì)算：（1）-3（2）3a（3）a+34.向量共線定理及其推論（1）向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b（2）向量共線定理的推論在平面中A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是：OA=xO其中x例2如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a，b，試作OA=a+b，OB=a+2b，OC=解:如圖，分別作向量OA，OB，OC，過(guò)點(diǎn)A觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a，b怎樣變化，點(diǎn)B始終在直線AC上，猜想A,B證明：∵ABAC∴AC∴AC與又∵AC故A,B6.2.4向量的數(shù)量積

1.向量的夾角與數(shù)量積（1）向量的夾角如圖，已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作向量OA=a,OB=b,則∠AOB＝θ(0≤θ注：特別地，①當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向②當(dāng)θ＝π時(shí)，a與③當(dāng)θ＝π2時(shí)，我們說(shuō)a與b溫馨提示①兩向量的夾角的范圍是0，②兩個(gè)向量只有起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是向量的夾角.（2）向量的數(shù)量積如圖，已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(即即a規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0?溫馨提示①數(shù)量積運(yùn)算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫.②向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)(數(shù)量)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0.（3）實(shí)例運(yùn)用例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ解：a?例2設(shè)|a|=12，|b|=9，a?b=解：由a?又∵θ∴2.投影向量、向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律（1）投影向量的概念如圖，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，AB=a,CD=b，，我們考慮如下的變換：過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1,B1,得到A1B1，我們稱上述變換為向量a特別地，如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM=a,ON=b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則O（2）投影向量的求解公式對(duì)于任意的θ∈[0，π]，都有向量向量aO注：其中θ為向量a與b夾角.（3）向量數(shù)量積的性質(zhì)由向量數(shù)量積公式a?b＝|a||b|cosθ設(shè)兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，e是與①a?e②a⊥③Ⅰ.當(dāng)a與b同向時(shí)，a?Ⅱ.當(dāng)a與b反向時(shí)，a?Ⅲ.特別地,a2=a?④由|cosθ|≤1可得：（4）向量數(shù)量積的運(yùn)算律由向量數(shù)量積的定義可得如下的運(yùn)算律：對(duì)于向量a，b，①a?b＝b?a②(λa)③(a+b)·c=④a+b2⑤a+注：等式a?bc=ab?c不成立，因?yàn)閍?b實(shí)例運(yùn)用例3已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60°解：(=====-72例4已知|a|=3，|b|=4,且當(dāng)k為何值時(shí)，向量a+kb解：向量a+(∵已知|a|=∴ab∴滿足9-16解得k=故當(dāng)k=±34時(shí)，向量a6.3.1平面向量基本定理1.平面向量基本定理由上探究可知如圖所示，如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)a=如果e1，e2不共線，我們把注：由平面向量基本定理知，任一向量都可以由基底唯一表示.2.實(shí)例運(yùn)用例如圖，OA，OB不共線，且AP=tAB(t∈R解：∵已知AP=∴OP=6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示（1）平面向量的正交分解如圖，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.aa（其中OP⊥（2）平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸,y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i,j對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,ya=如圖，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OA=a,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸，AN⊥y軸，垂足分別為點(diǎn)M與N，這樣點(diǎn)M對(duì)應(yīng)著實(shí)數(shù)x，點(diǎn)如圖2所示，我們把a(bǔ)=xi+y記作a=x其中，x叫做a在在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，①式叫做向量a的坐標(biāo)表示.例如i=1,0，j=0,1，0注：求一個(gè)向量a的坐標(biāo)，實(shí)際上是把向量a的起點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)O，其終點(diǎn)A坐標(biāo)即是向量a（3）實(shí)例運(yùn)用例1如圖，分別用基底{i,j}表示向量a，b，c，da∴a同理可得2.平面向量加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示（1）平面向量加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示如果已知a=x1,y1,a-b即：“兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.”（2）平面向量坐標(biāo)的求解方法如果已知A=x那么AB=x即：“一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).”（3）實(shí)例運(yùn)用例2已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+解：∵已知a=(2,1)，∴a+6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示如果已知a=x即“實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).”2.平面向量共線的坐標(biāo)表示如果已知a＝x1,y1，b＝x2,y2，其中x1y記作：a∥b?即：兩個(gè)向量共線（平行）的充要條件是“坐標(biāo)交叉相乘積相等”或“坐標(biāo)交叉相乘再求差值為0”.3.實(shí)例運(yùn)用例1已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求3解：∵已知a=(2,1)，∴3例2已知a=(4,2)，b=(6,y)，且解：∵已知a=(4,2)，b=(6,y∴滿足4解得y=36.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示如果已知a=x1那么a?b=x簡(jiǎn)述為：“兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和”.2.平面向量的模長(zhǎng)公式如果已知a=(x,即“一個(gè)向量的模長(zhǎng)等于它橫縱坐標(biāo)的平方和再開(kāi)算數(shù)平方根”注：特別地，如圖作有向線段AB=設(shè)AB=a=(x,則x故此時(shí)a=3.平面向量垂直的充要條件設(shè)a與b是非零向量，a=x1則a⊥即平面內(nèi)兩個(gè)非零向量垂直的充要條件為：“平面內(nèi)兩個(gè)非零向量垂直的充要條件為兩個(gè)向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相乘和為0”.4.平面向量的夾角公式設(shè)a與b是非零向量，a=x1,y1，b=x2,y2坐標(biāo)表示a?b=x1xcosθ5.實(shí)例運(yùn)用例1已知a=-3,4，b=5,2，求a解：∵已知a=-∴aba?例2已知向量BA=(12,32)，BC=(32∴BABA=BA=∴cosθ又∵∠∴∠6.4.3余弦定理、正弦定理1.余弦定理及其推論（1）探究1在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b提示：如圖，設(shè)CB=a則據(jù)向量減法的三角形法則可知AB=即c=a又據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)c∴對(duì)①兩邊求平方可得cc2c2即c2同理可得a2b2（2）余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍.即a2=b2b2=a2c2=a2注：利用余弦定理，我們可以從三角形的兩邊及其夾角直接求出第三邊.（3）余弦定理的推論三角形中任何一個(gè)角的余弦值，等于組成這個(gè)角兩邊的平方和減去這個(gè)角所對(duì)邊的平方，再除以組成這個(gè)角兩邊乘積的兩倍.即cosA注：利用余弦定理推論，可以由三角形的三邊直接計(jì)算出三角形的三個(gè)角.（4）三角形的元素與解三角形一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C（5）實(shí)例運(yùn)用例1已知在?ABC中，b＝2，c解：∵已知在?ABC中，b∴據(jù)余弦定理可得a2故例2在?ABC中，若a∶b∶c解：∵已知在?ABC中，a∴可設(shè)a∴據(jù)余弦定理推論可得又∵∴同理可得又∵∴∴C=故?ABC是直角三角形2.正弦定理及其應(yīng)用（1