備戰(zhàn)高考數(shù)學一輪復習講義第46講 第3課時　殘差分析與決定系數(shù)

第3課時殘差分析與決定系數(shù)一、單項選擇題(選對方法，事半功倍)1.在研究線性回歸模型時，樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)所對應的點均在直線y＝－eq\f(1,2)x＋3上，用R2表示解釋變量對于響應變量變化的貢獻率，則R2等于()A.－1 B.－eq\f(1,2)C.1 D.22.對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說法中不正確的是()A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程y＝bx＋a必過樣本中心點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C.用決定系數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好D.若變量y和x間的相關系數(shù)為r＝－0.9362，則變量y和x之間具有線性相關關系3.某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間的關系如下表所示：x24568y3040605070y與x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝6.5x＋17.5，當廣告支出6萬元時，隨機誤差的殘差為()A.－5 B.－5.5C.－6 D.－6.54.某種產(chǎn)品的廣告支出費用x(單位：萬元)與銷售量y(單位：萬件)之間的對應數(shù)據(jù)如下表所示：x2.22.64.05.35.9y3.85.47.011.612.2根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝2.27x－1.08，R2≈0.96，以下說法正確的是()A.第三個樣本點對應的殘差eq\o(e,\s\up6(∧))3＝－1，回歸模型的擬合效果一般B.第三個樣本點對應的殘差eq\o(e,\s\up6(∧))3＝1，回歸模型的擬合效果較好C.銷售量y的多少有96%是由廣告支出費用引起的D.銷售量y的多少有4%是由廣告支出費用引起的二、多項選擇題(練—逐項認證，考—選確定的)5.(2022·廣州模擬)某中學課外活動小組為了研究經(jīng)濟走勢，根據(jù)該市1999～2021年的GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值)數(shù)據(jù)繪制出如圖所示的散點圖．(第5題)該小組選擇了如下兩個模型來擬合GDP值y隨年份x的變化情況，模型一：y＝kx＋b(k>0，x>0)；模型二：y＝kex＋b(k>0，x>0)．下列說法正確的有()A.變量y與x正相關B.根據(jù)散點圖的特征，模型一能更好地擬合GDP值隨年份的變化情況C.若選擇模型二，y＝kex＋b的圖象一定經(jīng)過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))D.當x＝13時，通過模型計算得GDP值為70，實際GDP值為71，則殘差為16.(2022·濟南模擬)進入21世紀以來，全球二氧化碳排放量增長迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了約40%，我國作為發(fā)展中國家，經(jīng)濟發(fā)展仍需要大量的煤炭能源消耗．如圖所示是2016～2020年中國二氧化碳排放量的統(tǒng)計圖表(以2016年為第1年)．利用圖表中數(shù)據(jù)計算可得，采用某非線性回歸模型擬合時，Req\o\al(2,1)＝0.9798；采用一元線性回歸模型擬合時，經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝1.58x＋91.44，Req\o\al(2,2)＝0.9833.則下列說法正確的是()(第6題)A.由圖表可知，二氧化碳排放量y與時間x正相關B.由決定系數(shù)可以看出，線性回歸模型的擬合程度更好C.利用經(jīng)驗回歸方程計算2019年所對應的樣本點的殘差為－0.30D.利用經(jīng)驗回歸方程預計2025年中國二氧化碳排放量為107.24億噸三、填空題(精準計算，整潔表達)7.已知x和y的散點圖如圖所示，在相關關系中，若用y＝c1ec2x擬合時的決定系數(shù)為Req\o\al(2,1)，用eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))擬合時的決定系數(shù)為Req\o\al(2,2)，則Req\o\al(2,1)和Req\o\al(2,2)中較大的是________．(第7題)8.(2022·漳州模擬)根據(jù)下面的數(shù)據(jù)求得y關于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝19.2x＋12，則這組數(shù)據(jù)相對于所求的經(jīng)驗回歸方程的4個殘差的方差為________．(注：殘差是指實際觀測值與預測值之間的差)x1234y324872889.(2022·武漢模擬)某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位：噸)與所需某種原材料的質量y(單位：噸)的相關性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應數(shù)據(jù)(x，y)如下表所示．(殘差＝觀測值－預測值)x3456y2.534m根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.7x＋eq\o(a,\s\up6(∧)).據(jù)此計算出在樣本(4,3)處的殘差為－0.15，則表中m的值為________．四、解答題(讓規(guī)范成為一種習慣)10.某市某企業(yè)堅持以市場需求為導向，合理配置生產(chǎn)資源，不斷改革、探索銷售模式．下表是該企業(yè)每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位：噸)與相應的生產(chǎn)總成本y(單位：萬元)的五組對照數(shù)據(jù).產(chǎn)量x(單位：噸)12345生產(chǎn)總成本y(單位：萬元)3781012(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，若用最小二乘法進行線性模擬，試求y關于x的經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))；(2)記第(1)問中所求y與x的經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))為模型①，同時該企業(yè)科研人員利用計算機根據(jù)數(shù)據(jù)又建立了y與x的回歸模型②：eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\f(1,2)x2＋1.其中模型②的殘差圖(殘差＝實際值－預報值)如圖(1)所示．(第10題(1))請在圖(2)中完成模型①的殘差表與殘差圖，并根據(jù)殘差圖判斷哪一個模型更適宜作為y關于x的回歸方程，并說明理由；(第10題(2))(3)根據(jù)模型①中y與x的經(jīng)驗回歸方程，預測產(chǎn)量為6噸時生產(chǎn)總成本為多少萬元．11.某小區(qū)物業(yè)公司決定動手解決小區(qū)“停車難”問題，并統(tǒng)計了近六年小區(qū)私家車的數(shù)量，以編號1對應2017年，編號2對應2018年，編號3對應2019年，以此類推，得到相應數(shù)據(jù)如下表.年份編號x123456數(shù)量y(單位：輛)4196116190218275(1)若該小區(qū)私家車的數(shù)量y與年份編號x的關系可用經(jīng)驗回歸模型來擬合，試用決定系數(shù)R2分析其擬合效果(R2精確到0.01)；(2)由于車輛增加，原有停車位已經(jīng)不能滿足有車業(yè)主的需求，因此物業(yè)公司欲在小區(qū)內(nèi)對原有停車位進行改造，重新規(guī)劃停車位．若要求在2023年小區(qū)停車位數(shù)量仍可滿足需要，求至少需要規(guī)劃多少個停車位．參考數(shù)據(jù)：yi＝936，xiyi＝4081，xeq\o\al(2,i)＝91，(yi－eq\x\to(y))2＝37586.附：經(jīng)驗回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－e