2015高中物理解題模型詳解

頁(yè)第六章電磁場(chǎng)解題模型：一、電磁場(chǎng)中的單桿模型如圖7.01所示，，電壓表與電流表的量程分別為0～10V和0～3A，電表均為理想電表。導(dǎo)體棒ab與導(dǎo)軌電阻均不計(jì)，且導(dǎo)軌光滑，導(dǎo)軌平面水平，ab棒處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。（1）當(dāng)變阻器R接入電路的阻值調(diào)到30，且用＝40N的水平拉力向右拉ab棒并使之達(dá)到穩(wěn)定速度時(shí)，兩表中恰好有一表滿偏，而另一表又能安全使用，則此時(shí)ab棒的速度是多少？（2）當(dāng)變阻器R接入電路的阻值調(diào)到，且仍使ab棒的速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，兩表中恰有一表滿偏，而另一表能安全使用，則此時(shí)作用于ab棒的水平向右的拉力F2是多大？圖7.01解析：（1）假設(shè)電流表指針滿偏，即I＝3A，那么此時(shí)電壓表的示數(shù)為U＝＝15V，電壓表示數(shù)超過了量程，不能正常使用，不合題意。因此，應(yīng)該是電壓表正好達(dá)到滿偏。當(dāng)電壓表滿偏時(shí)，即U1＝10V，此時(shí)電流表示數(shù)為設(shè)a、b棒穩(wěn)定時(shí)的速度為，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E1，則E1＝BLv1，且E1＝I1(R1＋R并)＝20Va、b棒受到的安培力為F1＝BIL＝40N解得（2）利用假設(shè)法可以判斷，此時(shí)電流表恰好滿偏，即I2＝3A，此時(shí)電壓表的示數(shù)為＝6V可以安全使用，符合題意。由F＝BIL可知，穩(wěn)定時(shí)棒受到的拉力與棒中的電流成正比，所以。如圖7.02甲所示，一個(gè)足夠長(zhǎng)的“U”形金屬導(dǎo)軌NMPQ固定在水平面內(nèi)，MN、PQ兩導(dǎo)軌間的寬為L(zhǎng)＝0.50m。一根質(zhì)量為m＝0.50kg的均勻金屬導(dǎo)體棒ab靜止在導(dǎo)軌上且接觸良好，abMP恰好圍成一個(gè)正方形。該軌道平面處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可以調(diào)節(jié)的豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。ab棒的電阻為R＝0.10Ω，其他各部分電阻均不計(jì)。開始時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖7.02（1）若保持磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小不變，從t＝0時(shí)刻開始，給ab棒施加一個(gè)水平向右的拉力，使它做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。此拉力F的大小隨時(shí)間t變化關(guān)系如圖2乙所示。求勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度及ab棒與導(dǎo)軌間的滑動(dòng)摩擦力。（2）若從t＝0開始，使磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小從B0開始使其以＝0.20T/s的變化率均勻增加。求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間ab棒開始滑動(dòng)？此時(shí)通過ab棒的電流大小和方向如何？（ab棒與導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等）解析：（1）當(dāng)t＝0時(shí)，當(dāng)t＝2s時(shí)，F(xiàn)2＝8N聯(lián)立以上式得：（2）當(dāng)時(shí)，為導(dǎo)體棒剛滑動(dòng)的臨界條件，則有：則如圖7.03所示，處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的兩根足夠長(zhǎng)、電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌相距1m，導(dǎo)軌平面與水平面成＝37°角，下端連接阻值為R的電阻。勻速磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直。質(zhì)量為0.2kg、電阻不計(jì)的金屬棒放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25。（1）求金屬棒沿導(dǎo)軌由靜止開始下滑時(shí)的加速度大??；（2）當(dāng)金屬棒下滑速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，電阻R消耗的功率為8W，求該速度的大??；（3）在上問中，若R＝，金屬棒中的電流方向由a到b，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向。（g＝10m/s2，°＝0.6，cos37°＝0.8）圖7.03解析：（1）金屬棒開始下滑的初速為零，根據(jù)牛頓第二定律①由①式解得②（2）設(shè)金屬棒運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，速度為v，所受安培力為F，棒在沿導(dǎo)軌方向受力平衡：③此時(shí)金屬棒克服安培力做功的功率等于電路中電阻R消耗的電功率④由③、④兩式解得：⑤（3）設(shè)電路中電流為I，兩導(dǎo)軌間金屬棒的長(zhǎng)為l，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B⑥⑦由⑥、⑦兩式解得⑧磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌平面向上。如圖7.04所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)＝2m的正方形導(dǎo)線框ABCD和一金屬棒MN由粗細(xì)相同的同種材料制成，每米長(zhǎng)電阻為R0＝1/m，以導(dǎo)線框兩條對(duì)角線交點(diǎn)O為圓心，半徑r＝0.5m的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B＝0.5T，方向垂直紙面向里且垂直于導(dǎo)線框所在平面，金屬棒MN與導(dǎo)線框接觸良好且與對(duì)角線AC平行放置于導(dǎo)線框上。若棒以v＝4m/s的速度沿垂直于AC方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至AC位置時(shí)，求（計(jì)算結(jié)果保留二位有效數(shù)字）：（1）棒MN上通過的電流強(qiáng)度大小和方向；（2）棒MN所受安培力的大小和方向。圖7.04解析：（1）棒MN運(yùn)動(dòng)至AC位置時(shí)，棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為線路總電阻。MN棒上的電流將數(shù)值代入上述式子可得：I＝0.41A，電流方向：N→M（2）棒MN所受的安培力：方向垂直AC向左。說明：要特別注意公式E＝BLv中的L為切割磁感線的有效長(zhǎng)度，即在磁場(chǎng)中與速度方向垂直的導(dǎo)線長(zhǎng)度。如圖7.05所示，足夠長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌MN和PQ與R相連，平行地放在水平桌面上。質(zhì)量為m的金屬桿ab可以無摩擦地沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)軌與ab桿的電阻不計(jì)，導(dǎo)軌寬度為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直穿過整個(gè)導(dǎo)軌平面?，F(xiàn)給金屬桿ab一個(gè)瞬時(shí)沖量I0，使ab桿向右滑行。（1）回路最大電流是多少？（2）當(dāng)滑行過程中電阻上產(chǎn)生的熱量為Q時(shí)，桿ab的加速度多大？（3）桿ab從開始運(yùn)動(dòng)到停下共滑行了多少距離？圖7.05答案：（1）由動(dòng)量定理得由題可知金屬桿作減速運(yùn)動(dòng)，剛開始有最大速度時(shí)有最大，所以回路最大電流：（2）設(shè)此時(shí)桿的速度為v，由動(dòng)能定理有：而Q＝解之由牛頓第二定律及閉合電路歐姆定律得（3）對(duì)全過程應(yīng)用動(dòng)量定理有：而所以有又其中x為桿滑行的距離所以有。如圖7.06所示，光滑平行的水平金屬導(dǎo)軌MNPQ相距l(xiāng)，在M點(diǎn)和P點(diǎn)間接一個(gè)阻值為R的電阻，在兩導(dǎo)軌間矩形區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面豎直向下、寬為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m，電阻為r的導(dǎo)體棒ab，垂直擱在導(dǎo)軌上，與磁場(chǎng)左邊界相距d0?，F(xiàn)用一大小為F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由靜止開始運(yùn)動(dòng)，棒ab在離開磁場(chǎng)前已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)（棒ab與導(dǎo)軌始終保持良好的接觸，導(dǎo)軌電阻不計(jì)）。求：（1）棒ab在離開磁場(chǎng)右邊界時(shí)的速度；（2）棒ab通過磁場(chǎng)區(qū)的過程中整個(gè)回路所消耗的電能；（3）試分析討論ab棒在磁場(chǎng)中可能的運(yùn)動(dòng)情況。圖7.06解析：（1）ab棒離開磁場(chǎng)右邊界前做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為vm，則有：對(duì)ab棒＝0，解得（2）由能量守恒可得：解得：（3）設(shè)棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v由：棒在進(jìn)入磁場(chǎng)前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)可分三種情況討論：①若（或），則棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)；②若（或），則棒先加速后勻速；③若（或），則棒先減速后勻速。二、電磁流量計(jì)模型圖7.07是電磁流量計(jì)的示意圖，在非磁性材料做成的圓管道外加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)管中的導(dǎo)電液體流過此磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，測(cè)出管壁上的ab兩點(diǎn)間的電動(dòng)勢(shì)，就可以知道管中液體的流量Q——單位時(shí)間內(nèi)流過液體的體積（）。已知管的直徑為D，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，試推出Q與的關(guān)系表達(dá)式。圖7.07解析：a，b兩點(diǎn)的電勢(shì)差是由于帶電粒子受到洛倫茲力在管壁的上下兩側(cè)堆積電荷產(chǎn)生的。到一定程度后上下兩側(cè)堆積的電荷不再增多，a，b兩點(diǎn)的電勢(shì)差達(dá)到穩(wěn)定值，此時(shí)，洛倫茲力和電場(chǎng)力平衡：，，，圓管的橫截面積故流量。磁流體發(fā)電是一種新型發(fā)電方式，圖7.08是其工作原理示意圖。圖甲中的長(zhǎng)方體是發(fā)電導(dǎo)管，其中空部分的長(zhǎng)、高、寬分別為，前后兩個(gè)側(cè)面是絕緣體，下下兩個(gè)側(cè)面是電阻可略的導(dǎo)體電極，這兩個(gè)電極與負(fù)載電阻相連。整個(gè)發(fā)電導(dǎo)管處于圖乙中磁場(chǎng)線圈產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場(chǎng)里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖所示。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)有電阻率為的高溫、高速電離氣體沿導(dǎo)管向右流動(dòng)，并通過專用管道導(dǎo)出。由于運(yùn)動(dòng)的電離氣體受到磁場(chǎng)作用，產(chǎn)生了電動(dòng)勢(shì)。發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速隨磁場(chǎng)有無而不同。設(shè)發(fā)電導(dǎo)管內(nèi)電離氣體流速處處相同，且不存在磁場(chǎng)時(shí)電離氣體流速為，電離氣體所受摩擦阻力總與流速成正比，發(fā)電導(dǎo)管兩端的電離氣體壓強(qiáng)差維持恒定，求：（1）不存在磁場(chǎng)時(shí)電離氣體所受的摩擦阻力F多大；（2）磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)E的大?。唬?）磁流體發(fā)電機(jī)發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率P。甲乙圖7.08解析：（1）不存在磁場(chǎng)時(shí)，由力的平衡得。（2）設(shè)磁場(chǎng)存在時(shí)的氣體流速為v，則磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)回路中的電流電流I受到的安培力設(shè)為存在磁場(chǎng)時(shí)的摩擦阻力，依題意，存在磁場(chǎng)時(shí)，由力的平衡得根據(jù)上述各式解得（3）磁流體發(fā)電機(jī)發(fā)電導(dǎo)管的輸入功率由能量守恒定律得故：

三、回旋加速模型正電子發(fā)射計(jì)算機(jī)斷層（PET）是分子水平上的人體功能顯像的國(guó)際領(lǐng)先技術(shù)，它為臨床診斷和治療提供全新的手段。（1）PET在心臟疾病診療中，需要使用放射正電子的同位素氮13示蹤劑，氮13是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氧16獲得的，反應(yīng)中同時(shí)還產(chǎn)生另一個(gè)粒子，試寫出該核反應(yīng)方程。（2）PET所用回旋加速器示意如圖7.11，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側(cè)D形盒圓心處放有粒子源S，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖所示。質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q。設(shè)質(zhì)子從粒子源S進(jìn)入加速電場(chǎng)時(shí)的初速度不計(jì)，質(zhì)子在加速器中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t（其中已略去了質(zhì)子在加速電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間），質(zhì)子在電場(chǎng)中的加速次數(shù)于回旋半周的次數(shù)相同，加速質(zhì)子時(shí)的電壓大小可視為不變。求此加速器所需的高頻電源頻率f和加速電壓U。（3）試推證當(dāng)時(shí)，質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間相對(duì)于在D形盒中回旋的時(shí)間可忽略不計(jì)（質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，不考慮磁場(chǎng)的影響）。圖7.11解析：（1）核反應(yīng)方程為： ①（2）設(shè)質(zhì)子加速后最大速度為v，由牛頓第二定律得： ②質(zhì)子的回旋周期為： ③高頻電源的頻率為： ④質(zhì)子加速后的最大動(dòng)能為： ⑤設(shè)質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的次數(shù)為n，則： ⑥又 ⑦可解得： ⑧（3）在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間為： ⑨在D形盒中回旋的總時(shí)間為 ⑩故，即當(dāng)時(shí)，可以忽略不計(jì)。在如圖7.12所示的空間區(qū)域里，y軸左方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)方向跟y軸正方向成60°，大小為；y軸右方有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度。有一質(zhì)子以速度，由x軸上的A點(diǎn)（10cm，0）沿與x軸正方向成30°斜向上射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后射入電場(chǎng)，后又回到磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)作用后又射入電場(chǎng)。已知質(zhì)子質(zhì)量近似為，電荷，質(zhì)子重力不計(jì)。求：（計(jì)算結(jié)果保留3位有效數(shù)字）（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。（2）質(zhì)子從開始運(yùn)動(dòng)到第二次到達(dá)y軸所經(jīng)歷的時(shí)間。（3）質(zhì)子第三次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)。圖7.12解析：（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，得質(zhì)子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：（2）由于質(zhì)子的初速度方向與x軸正方向夾角為30°，且半徑恰好等于OA，因此，質(zhì)子將在磁場(chǎng)中做半個(gè)圓周到達(dá)y軸上的C點(diǎn)，如答圖3所示。圖3根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)周期為質(zhì)子從出發(fā)運(yùn)動(dòng)到第一次到達(dá)y軸的時(shí)間為質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向與電場(chǎng)的方向相同，在電場(chǎng)中先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減為零后反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)牛頓第二定律：，得因此，質(zhì)子從開始運(yùn)動(dòng)到第二次到達(dá)y軸的時(shí)間t為。（3）質(zhì)子再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度的方向與電場(chǎng)的方向相同，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)y軸的D點(diǎn)。根據(jù)幾何關(guān)系，可以得出C點(diǎn)到D點(diǎn)的距離為；則質(zhì)子第三次到達(dá)y軸的位置為即質(zhì)子第三次到達(dá)y軸的坐標(biāo)為（0，34.6cm）。

如圖7.13所示，在半徑為R的絕緣圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，圓筒正下方有小孔C與平行金屬板M、N相通。兩板間距離為d，兩板與電動(dòng)勢(shì)為U的電源連接，一帶電量為、質(zhì)量為m的帶電粒子（重力忽略不計(jì)），開始時(shí)靜止于C點(diǎn)正下方緊靠N板的A點(diǎn)，經(jīng)電場(chǎng)加速后從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，并以最短的時(shí)間從C點(diǎn)射出。已知帶電粒子與筒壁的碰撞無電荷量的損失，且碰撞后以原速率返回。求：（1）筒內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。唬?）帶電粒子從A點(diǎn)出發(fā)至重新回到A點(diǎn)射出所經(jīng)歷的時(shí)間。圖7.13答案：（1）帶電粒子從C孔進(jìn)入，與筒壁碰撞2次再?gòu)腃孔射出經(jīng)歷的時(shí)間為最短。由粒子由C孔進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為由即，得（2）粒子從A→C的加速度為由，粒子從A→C的時(shí)間為：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為將（1）求得的B值代入，得，求得：。如圖7.14甲所示，一對(duì)平行放置的金屬板M、N的中心各有一小孔P、Q、PQ連線垂直金屬板；N板右側(cè)的圓A內(nèi)分布有方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，圓半徑為r，且圓心O在PQ的延長(zhǎng)線上。現(xiàn)使置于P處的粒子源連續(xù)不斷地沿PQ方向放出質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子（帶電粒子的重力和初速度忽略不計(jì)，粒子間的相互作用力忽略不計(jì)），從某一時(shí)刻開始，在板M、N間加上如圖5乙所示的交變電壓，周期為T，電壓大小為U。如果只有在每一個(gè)周期的0—T/4時(shí)間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，求：（1）在每一個(gè)周期內(nèi)哪段時(shí)間放出的帶電粒子到達(dá)Q孔的速度最大？（2）該圓形磁場(chǎng)的哪些地方有帶電粒子射出，在圖中標(biāo)出有帶電粒子射出的區(qū)域。甲乙圖7.14答案：（1）在每一個(gè)周期內(nèi)放出的帶電粒子到達(dá)Q孔的速度最大。設(shè)最大速度為v，則據(jù)動(dòng)能定理得，求得。（2）因?yàn)榻獾脦щ娏Ｗ釉诖艌?chǎng)中的最小偏轉(zhuǎn)角為。所以圖6中斜線部分有帶電粒子射出。圖6四、磁偏轉(zhuǎn)模型一質(zhì)點(diǎn)在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖7.15所示。它從A點(diǎn)出發(fā)，以恒定速率經(jīng)時(shí)間t到B點(diǎn)，圖中x軸上方的軌跡都是半徑為R的半圓，下方的都是半徑為r的半圓。（1）求此質(zhì)點(diǎn)由A到B沿x軸運(yùn)動(dòng)的平均速度。（2）如果此質(zhì)點(diǎn)帶正電，且以上運(yùn)動(dòng)是在一恒定（不隨時(shí)間而變）的磁場(chǎng)中發(fā)生的，試盡可能詳細(xì)地論述此磁場(chǎng)的分布情況。不考慮重力的影響。圖7.15解析：（1）由A到B，若上、下各走了N個(gè)半圓，則其位移 ①其所經(jīng)歷的時(shí)間 ②所以沿x方向的平均速度為（2）I.根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡和速度方向，可確定加速度（向心加速度），從而確定受力的方向，再根據(jù)質(zhì)點(diǎn)帶正電和運(yùn)動(dòng)方向，按洛倫茲力的知識(shí)可斷定磁場(chǎng)的方向必是垂直于紙面向外。II.x軸以上和以下軌跡都是半圓，可知兩邊的磁場(chǎng)皆為勻強(qiáng)磁場(chǎng)。III.x軸以上和以下軌跡半圓的半徑不同，用B上和B下分別表示上、下的磁感應(yīng)強(qiáng)度，用m、q和v分別表示帶電質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量、電量和速度的大??；則由洛倫茲力和牛頓定律可知，，由此可得，即下面磁感應(yīng)強(qiáng)度是上面的倍。如圖7.16所示，一束波長(zhǎng)為的強(qiáng)光射在金屬板P的A處發(fā)生了光電效應(yīng)，能從A處向各個(gè)方向逸出不同速率的光電子。金屬板P的左側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B，面積足夠大，在A點(diǎn)上方L處有一涂熒光材料的金屬條Q，并與P垂直?，F(xiàn)光束射到A處，金屬條Q受到光電子的沖擊而發(fā)出熒光的部分集中在CD間，且CD=L，光電子質(zhì)量為m，電量為e，光速為c（1）金屬板P逸出光電子后帶什么電？（2）計(jì)算P板金屬發(fā)生光電效應(yīng)的逸出功W。（3）從D點(diǎn)飛出的光電子中，在磁場(chǎng)中飛行的最短時(shí)間是多少？圖7.16解析：（1）由電荷守恒定律得知P帶正電。（2）所有光電子中半徑最大值，所以逸出功（3）以最大半徑運(yùn)動(dòng)并經(jīng)D點(diǎn)的電子轉(zhuǎn)過圓心角最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短且，所以。橫截面為正方形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.有一束速率不同的帶電粒子垂直于磁場(chǎng)方向在ab邊的中點(diǎn)，與ab邊成30°角射入磁場(chǎng)，如圖7.17所示,已知正方形邊長(zhǎng)為L(zhǎng).求這束帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是多少?運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的速率必須符合什么條件?(粒子的帶電量為+q、質(zhì)量為m)aabcd30°圖7.17解：粒子從ab邊射出時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，t=5T/6=5m/3qB.粒子要從ab邊射出它的軌跡就不能碰到ad邊，軌跡恰好與ad邊相切時(shí)R+Rcos60°=L/2,R≤L/3,R=mv/qB,v≤qBL/3m如圖40-A11所示，在xoy平面內(nèi)有許多電子（每個(gè)電子質(zhì)量為m，電量為e）從坐標(biāo)原點(diǎn)o不斷地以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第Ⅰ象限．現(xiàn)加上一個(gè)垂直于xoy平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過該磁場(chǎng)后都能平行于x軸向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，試求出符合該條件的磁場(chǎng)的最小面積．yyxo圖7.18解：所有電子均在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做半徑R＝mv0/Be的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沿y軸正方向射入的電子須轉(zhuǎn)過1／4圓周才能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，它的軌跡可當(dāng)作該磁場(chǎng)的上邊界a（如圖所示），其圓的方程為：(R-x)2+y2=R2．

沿與ｘ軸成任意角α（90°＞α＞0°）射入的電子轉(zhuǎn)過一段較短的圓弧OP（其圓心為O′）運(yùn)動(dòng)方向亦可沿x軸正方向，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)镻O′必定垂直于x軸，可得方程：x２＋（R－y）２＝R２，

此方程也是一個(gè)半徑為R的圓，這就是磁場(chǎng)的下邊界b．

該磁場(chǎng)的最小范圍應(yīng)是以上兩方程所代表的兩個(gè)圓的交集，其面積為Sｍｉｎ＝2[(πR２/4)－(R２/2)]＝[(π－2)/2](mv０)２/Be２．圖7.19中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向外．O是MN上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射電量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向．已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇，P到O的距離為L(zhǎng)．不計(jì)重力及粒子間的相互作用．求：圖7.19(1)所考察的粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑；圖7.19(2)這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔．解：(1)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律得：qvB=mv2/R,R=mv/qB①(2)以O(shè)P為弦畫兩個(gè)半徑相等的圓弧，分別表示兩個(gè)粒子的軌道.圓心和直徑分別為O1、O2和OO1Q1、OO2Q2，在O處兩個(gè)圓的切線分別表示兩個(gè)粒子的射入方向，用θ表示它們之間的夾角，由幾何關(guān)系得：∠PO1Q1=∠PO2Q2=θ②從O點(diǎn)射入到相遇，粒子1的路程為半個(gè)圓周加弧長(zhǎng)Q1P,且Q1P=Rθ③粒子2的路程為半個(gè)圓周減弧長(zhǎng)Q2P,且Q2P=Rθ④粒子1的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1=T/2+Rθ/v⑤粒子2的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1=T/2-Rθ/v⑥兩例子射入的時(shí)間間隔為△t=t1-t2=2Rθ/v⑦因Rcoc(θ/2)=L/2解得θ=2Rarccos(L/2R)⑧由①⑦⑧三式解得：abc加速管圖7.20串列加速器是用來產(chǎn)生高能離子的裝置.圖41-B11中虛線框內(nèi)為其主體的原理示意圖，其中加速管的中部b處有很高的正電勢(shì)U,a、c兩端均有電極接