廣西桂林市2022-2023學年高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（教師版）

桂林市2022～2023學年度下學期期末質(zhì)量檢測高一年級數(shù)學注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.2.請在答題卷上答題（在本試卷上答題無效）.第Ⅰ卷選擇題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以復數(shù)的虛部為，故選：B.2.下列各角中，與角的終邊相同的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫出與與角的終邊相同的角的集合，根據(jù)集合即可求出結(jié)果.【詳解】與角的終邊相同的角的集合為，令，得到，故選項A正確，易知，不存在，使，故選項BCD均不正確.故選：A.3.下列幾何體中為臺體的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接判斷出各選項中幾何體的形狀，由此確定出臺體.【詳解】A：圓錐，B：圓柱，C：棱臺，D：球，所以屬于臺體的只有棱臺，故選：C.【點睛】本題考查空間幾何體的辨識，難度較易.4.已知向量，，且，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】利用向量平行的坐標形式可求的值.【詳解】因為，所以，故.故選：C.5.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本函數(shù)的性質(zhì)，對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項A，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項A錯誤；選項B，由的性質(zhì)知，為偶函數(shù)，故選項B正確；選項C，由的性質(zhì)知，為奇函數(shù)，故選項C錯誤；選項D，因的定義域為，不關于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故選項D錯誤.故選：B.6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖象，則函數(shù)的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得.故選C．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于常考題型.7.已知是三條不同直線，是三個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面位置關系的判定與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】A中，若，，由平行與同一平面的兩平面平行，可得，所以A正確；B中，若，，則與可能是異面直線，所以B錯誤；C中，若，，則與可能平行，所以C錯誤；D中，若，，則與可能相交，所以D錯誤.故選：A.8.兩個粒子A，B從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時刻，以粒子源為原點，它們的位移分別為，，此時在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標運算求出，再求出，最后根據(jù)計算可得.【詳解】因為，，所以，，所以在上的投影向量為.故選：B二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.長度相等的向量是相等向量 B.單位向量的模為1C.零向量的模為0 D.共線向量是在同一條直線上的向量【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)相等向量、單位向量、零向量、共線向量的概念，對題目中的命題進行分析、判斷即可.【詳解】對于A，長度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A錯誤；對于B，單位向量的模為，故B正確；對于C，零向量的模為，故C正確；對于D，方向相同或相反的向量叫共線向量，它們不一定在同一條直線上，故D錯誤.故選：BC10.已知復數(shù)，，則（）A.是純虛數(shù) B.在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限C.復數(shù)的共軛復數(shù)為 D.【答案】AC【解析】【分析】對于A，根據(jù)純虛數(shù)的定義即可判斷；對于B，先計算，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可判斷；對于C，根據(jù)復數(shù)的共軛復數(shù)的定義即可判斷；對于D，根據(jù)乘法法則計算后即可判斷.【詳解】對于A，是純虛數(shù)，故A正確；對于B，，對應的點的坐標為，位于第四象限，故B錯誤；對于C，復數(shù)的共軛復數(shù)為，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：AC11.函數(shù)（A，，是常數(shù)，，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關于直線對稱B.的圖象關于中心對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.【答案】AB【解析】【分析】由最值求，由周期求，再由，可求，進而可求函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷.【詳解】由題意可得，，故，又因為，故，所以，所以.對于A，當時，，滿足該函數(shù)取得最值的條件，A正確；對于B，時，，則是該函數(shù)的對稱中心，B正確；對于C，當時，則，因為函數(shù)在不是單調(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)遞減函數(shù)，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：AB12.已知正方體，則（）A.直線與直線所成的角為 B.直線與直線所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面所成的角為【答案】BCD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，由異面直線所成角可判斷A，B；直線與平面所成角可判斷C，D.【詳解】如圖，連接、，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A錯誤；對于B，連接，，因為，，則四邊形為平行四邊形，可得，直線與所成的角即為與所成的角，設正方體棱長為1，則，所以為等邊三角形，所以直線與所成的角為，故B正確；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得為等腰直角三角形，所以，故C正確.連接，設，連接，因為平面，平面，則，因為，，平面，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.計算：sin150°＝_____．【答案】【解析】【分析】利用誘導公式直接化簡計算即可得出答案.【詳解】sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°.故答案為：【點睛】本題考查了誘導公式的應用,屬于基礎題.14.若向量和向量垂直，則__________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直數(shù)量積為列方程即可求解.【詳解】因為向量與向量垂直，所以，解得.故答案為：.15.《九章算術》是中國古代數(shù)學名著，其對扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問題：現(xiàn)有一扇形田，下周長（弧長）為10米，徑長（兩段半徑的和）為10米，則該扇形田的面積為__________平方米.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得扇形所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，因徑長為米，下周長為米，即且，所以扇形所在圓的半徑為米，所以該扇形田的面積為平方米.故答案為：.16.已知的外接圓圓心為O，，若，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】設三個角所對的邊分別為，由，可得，，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義和定義，結(jié)合外接圓的性質(zhì)可得，，求得，從而可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】設三個角所對的邊分別為，取中點，連接,因為的外接圓圓心為O，所以，則，.因為，所以，，即，，解得，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：這道題的關鍵是能夠由，推出，，從而利用數(shù)量積的幾何意義和定義，結(jié)合外接圓的性質(zhì)可得，，進一步求得，進而利用基本不等式即可求解.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應給出文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知，為第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用平方關系求出，再利用正弦倍角公式即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用正弦的和角公式即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，為第二象限角，所以,故.【小問2詳解】由（1），，所以.18.已知向量，滿足，，.（1）求；（2）求與的夾角；（3）求.【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運算法則即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，利用數(shù)量積夾角公式，得到，從而可求出結(jié)果；（3）利用條件求出，即可求出結(jié)果.小問1詳解】因為，，又，所以.【小問2詳解】因為，又，所以，故與的夾角.【小問3詳解】，所以.19.如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:（1）平面AEC;（2）平面AEC⊥平面PBD．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】(1)設,連接,根據(jù)中位線可得,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;(2)根據(jù)可得,根據(jù)四邊形為菱形,可得,再根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結(jié)果.【小問1詳解】設,連接,如圖所示:因為O,E分別為,的中點,所以,又因為平面,平面,所以平面．【小問2詳解】連接,如圖所示:因為,為的中點,所以,又因為四邊形為菱形,所以,因平面,平面,且,所以平面,又因為平面,所以平面平面．20.在中，角A、B、C的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理：邊轉(zhuǎn)角，得到，進而可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件求出，再利用余弦定理求出，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理可得到，又因為，所以，故，得到，又因為，所以.【小問2詳解】因為，的面積，所以，得到，在中，由余弦定理得，所以，故的周長為.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時自變量的取值集合；（3）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1）（2）函數(shù)的最大值為2，取得最大值時自變量的取值集合為.（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式求出函數(shù)的解析式即可求解；（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值；（3）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)遞減區(qū)間.【小問1詳解】,所以函數(shù)的最小正周期為.【小問2詳解】當，即，時函數(shù)取得最大值為2，所以函數(shù)的最大值為2，取得最大值時自變量的取值集合為.【小問3詳解】當，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.22.本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設計了一條單向雙排直角拐彎車道，平面設計如圖所示，每條車道寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車，在其水平截面圖為矩形，它的寬為2.4米，車廂的左側(cè)直線與中間車道的分界線相交于、，記．（1）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好，且、也都在中間車道的直線上，直線也恰好過路口邊界，求此大卡車的車長．（2）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時對任意，此車都不越中間車道線，求此大卡車的車長的最大值．（3）若某研究性學習小組記錄了這兩個車道在這一路段的平均道路通行密度（輛/km），統(tǒng)計如下：時間7:007:157:307:458:00里側(cè)車道通行密度110120110100110外側(cè)車道通行密度110117.5125117.5110現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：①②，請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別對兩車道選擇最合適的一種函數(shù)來描述早七點以后的平均道路通行密度（單位：輛/km）與時間（單位：分）的關系（其中為7:00后所經(jīng)過的時間，例如7:30即分），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應函數(shù)的解析式．【答案】（1）（2）（3）；【解析】【分析】（1）通過解直角三角形，分別求出，即可求得本題答案；（2）用表示，利用換元法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出的最小值，即可得到大卡車車長的最大值；（3）先判斷里外車道對應的模型，分別求出相應的解析式即可.【小問1詳解】作，垂足為，作，垂足為，因為，所以，在中，，在中，，