2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第九章概率與統(tǒng)計(jì)9.6事件的相互獨(dú)立性條件概率與全概率公式

第九章概率與統(tǒng)計(jì)9.6事務(wù)的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式考點(diǎn)一相互獨(dú)立事務(wù)例1（1）[2021年新課標(biāo)Ⅰ卷]有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球,甲表示事務(wù)“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事務(wù)“其次次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事務(wù)“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事務(wù)“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則（B）A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立 C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立解：P（甲）=16,P（乙）=16,P（丙）=536,P（丁）=16.因?yàn)镻（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）,所以甲與丙不獨(dú)立,A錯(cuò)誤.P（甲丁）=136=P（甲）P（?。?所以甲與丁相互獨(dú)立,B正確.P（乙丙）=（2）以人工智能、量子信息等顛覆性技術(shù)為引領(lǐng)的前沿趨勢，將重塑世界工程的發(fā)展模式，對人類生產(chǎn)力的創(chuàng)新提升意義重大.某公司抓住機(jī)遇，成立了甲、乙、丙三個(gè)科研小組針對某技術(shù)難題同時(shí)進(jìn)行科研攻關(guān)，攻克技術(shù)難題的小組會受到嘉獎.已知甲、乙、丙三個(gè)小組攻克該技術(shù)難題的概率分別為12,12,①甲、乙、丙三個(gè)小組均受到嘉獎的概率;解：設(shè)甲、乙、丙三個(gè)小組攻克該技術(shù)難題分別為事務(wù)A，B，C，即PA=12,PB=12,[答案]甲、乙、丙三個(gè)小組均受到嘉獎的概率為PABC②只有甲小組受到嘉獎的概率;[答案]只有甲小組受到嘉獎的概率為PA③受到嘉獎的小組數(shù)是2的概率.[答案]設(shè)受到嘉獎的小組數(shù)為X，則PX所以受到嘉獎的小組數(shù)是2的概率為512【點(diǎn)撥】推斷事務(wù)相互獨(dú)立，一般用定義推斷.求相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法：①利用相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式干脆求解；②正面計(jì)算較繁（如求用“至少”表達(dá)的事務(wù)的概率）或難以入手時(shí)，可從其對立事務(wù)入手計(jì)算.變式1（1）【多選題】一個(gè)裝有6個(gè)小球的口袋中，有編號為1，3的兩個(gè)紅球，編號為2，4的兩個(gè)藍(lán)球，編號為5，6的兩個(gè)黑球．現(xiàn)從中隨意取出兩個(gè)球，設(shè)事務(wù)A=“取出的兩球顏色相同”，B=“取出的兩球編號之差的肯定值為1”，C=“取出的兩球編號之和為6或7”，D=“取出的兩球編號乘積為5A.事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立 B.事務(wù)A與事務(wù)C相互獨(dú)立C.事務(wù)B與事務(wù)C相互獨(dú)立 D.事務(wù)B與事務(wù)D互斥解：樣本空間Ω={1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5事務(wù)A={1,3，2,事務(wù)B={1,2，2,3，3,事務(wù)C={1,5，1,6，2,事務(wù)D={1,事務(wù)AB，AC，BC分別為{5,6}，對于A，PAB=1對于B，PAC=1對于C，PBC=1對于D，事務(wù)B與事務(wù)D不能同時(shí)發(fā)生，故事務(wù)B與事務(wù)D互斥，D正確.故選ABD.（2）“11分制”乒乓球競賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局競賽結(jié)束.甲、乙進(jìn)行單打競賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方①若甲先發(fā)球，求兩人又打了2個(gè)球后該局競賽結(jié)束的概率；解：記兩人又打了X個(gè)球后結(jié)束競賽.設(shè)“雙方10:10平后的第k個(gè)球甲獲勝”為事務(wù)[答案]若甲先發(fā)球，則PX所以兩人又打了2個(gè)球后該局競賽結(jié)束的概率為0.5.②若乙先發(fā)球，求兩人又打了4個(gè)球后該局競賽結(jié)束，且甲獲勝的概率.[答案]由乙先發(fā)球，得P（X=4且甲獲勝）所以兩人又打了4個(gè)球后該局競賽結(jié)束，且甲獲勝的概率為0.1.考點(diǎn)二條件概率例2從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事務(wù)A為“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事務(wù)B為“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則PB|AA.18 B.14 C.2解：（方法一）PA=C32（方法二）事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)有1,3，1,5，3,5，2,4，共4個(gè).事務(wù)AB包含的樣本點(diǎn)只有【點(diǎn)撥】解決條件概率問題的步驟：第一步，推斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“在……條件下”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率；題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事務(wù)的出現(xiàn)影響所求事務(wù)的概率時(shí)，也需留意是否為條件概率.若為條件概率，則進(jìn)行其次步，計(jì)算概率，這里有兩種思路.思路一：縮減樣本空間法計(jì)算條件概率.如求PA|B，可分別求出事務(wù)B，AB包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，再利用公式PA|B=變式2（1）[2023年全國甲卷]某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4解：同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率為0.5+記“該同學(xué)愛好滑雪”為事務(wù)A,“該同學(xué)愛好滑冰”為事務(wù)B，則PA=0.5所以PB|A（2）【多選題】設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事務(wù)，且PA=13,PBA.PABC.PB|解：對于A，因?yàn)镻A+B=PA+對于B，因?yàn)镻AB+PAB=P對于C，因?yàn)镻B=PAB+PAB，所以P對于D，因?yàn)镻B=PAB+PAB，即45考點(diǎn)三全概率公式的應(yīng)用例3（1）設(shè)甲乘汽車、動車前往某目的地的概率分別為0.4，0.6，汽車和動車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.7，0.9，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（C）A.0.78 B.0.8 C.0.82 D.0.84解：設(shè)事務(wù)A表示“甲正點(diǎn)到達(dá)目的地”，事務(wù)B表示“甲乘動車到達(dá)目的地”，事務(wù)C表示“甲乘汽車到達(dá)目的地”.由題意,知PB=0.6,PC=0.4,PA（2）有5張獎券，其中3張可以中獎，現(xiàn)有5個(gè)人從中不放回地依次各隨機(jī)抽取一張，設(shè)每張獎券被抽到的可能性相同，記事務(wù)Ai=“第i個(gè)人抽中中獎券”，則下列結(jié)論正確的是（A.事務(wù)A1與A2互斥 B.PA2解：事務(wù)A1與A2可以同時(shí)發(fā)生,依據(jù)互斥事務(wù)的定義,知由全概率公式，得PA2=由概率的乘法公式，得PA1A依據(jù)題意，得PA2A3=25【點(diǎn)撥】利用全概率公式解題的思路如下.①依據(jù)確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)困難事務(wù)分解為若干個(gè)互斥事務(wù)Aii=1,2,?,n.②求PA變式3（1）在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知當(dāng)發(fā)送信號0時(shí)，被接收為0和1的概率分別為0.93和0.07；當(dāng)發(fā)送信號1時(shí)，被接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的，則接收的信號為1的概率為（D）A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.51解：設(shè)事務(wù)A=“發(fā)送的信號為0”，事務(wù)B=“接收的信號為1”.則PA=PA=0.5，（2）【多選題】甲袋中有3個(gè)紅球、3個(gè)白球和2個(gè)黑球；乙袋中有2個(gè)紅球、2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別以A，B，C表示事務(wù)“取出的是紅球”“取出的是白