綜合訓(xùn)練（3）大題訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練（綜合訓(xùn)練（3））1．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，其中是數(shù)列的前項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前100項和．2．在中，角，，的對邊分別為，，，且，，是公差為1的等差數(shù)列．（1）若，求的面積；（2）是否存在整數(shù)使得為鈍角三角形？若存在，求此鈍角的余弦值；否則，說明理由．3．在三棱柱中，，，，，，為中點，平面平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．4．已知拋物線的焦點為，直線過且與拋物線交于，兩點，線段的中點為，當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)為2．（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點，點關(guān)于軸的對稱點為，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，求直線的方程．5．某網(wǎng)絡(luò)科技公司在年終總結(jié)大會上，為增添喜悅、和諧的氣氛，設(shè)計了闖關(guān)游戲這一環(huán)節(jié)，闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功．其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置“文史常識題”“生活常識題”“影視藝術(shù)常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：方案一：答題3道，至少有兩道答對；方案二：在這3道題目中，隨機選取2道，這2道都答對．方案一和方案二中只要完成一個，就能通過第一關(guān)．假設(shè)程序員甲和程序員乙答對這3道題中每一道題的概率都是，且這3道題是否答對相互之間沒有影響．程序員甲選擇了方案一，程序員乙選擇了方案二．（1）求甲和乙各自通過第一關(guān)的概率；（2）設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為，是否存在唯一的的值，使得？并說明理由．6．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練（綜合訓(xùn)練（3））1．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，其中是數(shù)列的前項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前100項和．【解答】（1）由，，相減可得：，又，，，由，時，，解得，數(shù)列從第二項開始為等差數(shù)列，公差為1，，；（2）當(dāng)時，時，；時，，數(shù)列的前100項和：．2．在中，角，，的對邊分別為，，，且，，是公差為1的等差數(shù)列．（1）若，求的面積；（2）是否存在整數(shù)使得為鈍角三角形？若存在，求此鈍角的余弦值；否則，說明理由．【解答】（1），，，是公差為1的等差數(shù)列，，故，，；（2）由為鈍角三角形，可得，所以，顯然，，，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)，，可構(gòu)成三角形，此時．3．在三棱柱中，，，，，，為中點，平面平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：，為中點，，平面平面，平面平面，平面，平面；（2）在平面內(nèi)過點作，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，，0，，，0，，，，5，，，由，得，，，，，，平面的一個法向量，0，，設(shè)與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為．4．已知拋物線的焦點為，直線過且與拋物線交于，兩點，線段的中點為，當(dāng)時，點的橫坐標(biāo)為2．（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點，點關(guān)于軸的對稱點為，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，求直線的方程．【解答】（1）設(shè)，，，，由題知時，，故拋物線方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程得，，，而，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故直線的方程為．5．某網(wǎng)絡(luò)科技公司在年終總結(jié)大會上，為增添喜悅、和諧的氣氛，設(shè)計了闖關(guān)游戲這一環(huán)節(jié)，闖關(guān)游戲必須闖過若干關(guān)口才能成功．其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置“文史常識題”“生活常識題”“影視藝術(shù)常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：方案一：答題3道，至少有兩道答對；方案二：在這3道題目中，隨機選取2道，這2道都答對．方案一和方案二中只要完成一個，就能通過第一關(guān)．假設(shè)程序員甲和程序員乙答對這3道題中每一道題的概率都是，且這3道題是否答對相互之間沒有影響．程序員甲選擇了方案一，程序員乙選擇了方案二．（1）求甲和乙各自通過第一關(guān)的概率；（2）設(shè)甲和乙中通過第一關(guān)的人數(shù)為，是否存在唯一的的值，使得？并說明理由．【解答】（1）設(shè)答對題目的個數(shù)為，由題意，得，甲通過第一關(guān)的概率為，乙通過第一關(guān)的概率為；（2）的可能取值為0，1，2，則，，，所以，設(shè)，則，從而當(dāng)時，為增函數(shù)，又，（1），所以存在唯一的的值，使得，即．6．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】（1）的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2），不等式，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即恒有成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，因此