專題18解答題壓軸題閱讀理解探究題型(原卷版+解析)

專題18解答題壓軸題閱讀理解探究題型（原卷版）專題詮釋：閱讀理解探究題型以能力立意為目標(biāo)綜合考核數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，這類題目往往考核學(xué)生的閱讀能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、表達(dá)能力、知識遷移能力。綜合性強，靈活性高，又具有較強的區(qū)分度。近年來，閱讀理解探究性題型頻頻出現(xiàn)在全國各地的中考試題中。本專輯精選2022中考真題，題目仍然偏多，想刪去一些，但又感覺每道題都具有特點，都很好。所以還請讀者自己根據(jù)自己的情況選擇使用。模塊一2022中考真題鏈接類型一圖形的性質(zhì)1．（2023?淮安）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A'B'ED，點A的對應(yīng)點為點A'，點B的對應(yīng)點為點B'．【觀察發(fā)現(xiàn)】A'D與B'E的位置關(guān)系是；【思考表達(dá)】（1）連接B'C，判斷∠DEC與∠B'CE是否相等，并說明理由；（2）如圖（2），延長DC交A'B'于點G，連接EG，請?zhí)骄俊螪EG的度數(shù)，并說明理由；【綜合運用】如圖（3），當(dāng)∠B＝60°時，連接B'C，延長DC交A'B'于點G，連接EG，請寫出B'C、EG、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

2．（2023?襄陽）矩形ABCD中，ABBC=k2（k＞1），點E是邊BC的中點，連接AE，過點E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線【特例證明】（1）如圖（1），當(dāng)k＝2時，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過程如下，請你幫他補充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3=12∠∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過程）【類比探究】（2）如圖（2），當(dāng)k≠2時，求AEEF的值（用含k【拓展運用】（3）如圖（3），當(dāng)k＝3時，P為邊CD上一點，連接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC

3．（2023?寧夏）綜合與實踐知識再現(xiàn)如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以BC、CA、AB為邊向外作的正方形的面積為S1、S2、S3．當(dāng)S1＝36，S3＝100時，S2＝．問題探究如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）如圖2，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等腰直角三角形的面積為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖3，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為S4、S5、S6，試猜想S4、S5、S6之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．實踐應(yīng)用（1）如圖4，將圖3中的△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度至△BGH，△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度至△AMN，GH、MN相交于點P．求證：S△PHN＝S四邊形PMFG；（2）如圖5，分別以圖3中Rt△ABC的邊BC、CA、AB為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，BC、CA、AB為直徑的半圓柱的體積分別為V1、V2、V3．若AB＝4，柱體的高h(yuǎn)＝8，直接寫出V1+V2的值．

4．（2023?朝陽）【思維探究】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．小明的思路是：延長CD到點E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫出完整的證明過程．【思維延伸】（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【思維拓展】（3）在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD=6，AC與BD相交于點O．若四邊形ABCD中有一個內(nèi)角是75°，請直接寫出線段OD

5．（2023?蘭州）綜合與實踐問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎（wèi）范、芯組成的鑄型（如圖1），它的端面是圓形．如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB＝AC，在圓上標(biāo)記A，B，C三點；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點上，“矩”的另一條邊與的交點標(biāo)記為D點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點，連接AD，BC相交于點O，即O為圓心．問題解決：（1）請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）拓展探究：（3）小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點A，B，C是⊙O上任意三點，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：．

6．（2023?蘭州）綜合與實踐【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；【思考嘗試】（1）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補全圖形，解答老師提出的問題．【實踐探究】（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題．【拓展遷移】（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP．知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值．當(dāng)AB＝4時，請你求出△ADP周長的最小值．

7．（2023?大連）綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．獨立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，延長CA至點E，使CE＝BD，BE與CD的延長線相交于點F，點G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BAC＝90°時，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可求．該小組提出下面的問題，請你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長．”8．（2023?深圳）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點．求證：△BFG≌△BCG；（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD＝8，AB＝6．將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH＝CH，求AE的長．（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點，∠D＝60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．9．（2023?貴陽）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在?ABCD中，AN為BC邊上的高，ADAN=m，點M在AD邊上，且BA＝BM，點E是線段AM上任意一點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得△（1）問題解決：如圖①，當(dāng)∠BAD＝60°，將△ABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則AMAN=（2）問題探究：如圖②，當(dāng)∠BAD＝45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時m的最小值；（3）拓展延伸：當(dāng)∠BAD＝30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．

10．（2023?遵義）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點A，B，C，D四點在同一個圓上反思?xì)w納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：；依據(jù)2：．（2）如圖3，在四邊形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，則∠4的度數(shù)為．拓展探究：（3）如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關(guān)于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE．①求證：A，D，B，E四點共圓；②若AB＝22，AD?AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由．

11．（2023?赤峰）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩個圖形．受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：【問題一】如圖①，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1交AB于點E，OC1交BC于點F，則AE與BF的數(shù)量關(guān)系為；【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線m、n經(jīng)過正方形ABCD的對稱中心O，直線m分別與AD、BC交于點E、F，直線n分別與AB、CD交于點G、H，且m⊥n，若正方形ABCD邊長為8，求四邊形OEAG的面積；【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上，頂點E在BC的延長線上，且BC＝6，CE＝2．在直線BE上是否存在點P，使△APF為直角三角形？若存在，求出BP的長度；若不存在，說明理由．

12．（2023?黔東南州）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC＝AE，∠ADC＝120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．【拓展遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若AE2+AG2＝10，試求出正方形ABCD的面積．

13．（2023?威海）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點D，E分別是邊AC，AB的中點，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點（不與點A，C重合）．對于點D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應(yīng)的點E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問題：若點D，E分別運動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)（3）如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點（不與點A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．14．（2023?河南）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：．（2）遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點M在EF上時，∠MBQ＝°，∠CBQ＝°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．15．（2023?武漢）問題提出如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，延長BC至點E，使DE＝DB，延長ED交AB于點F，探究AFAB問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)∠BAC＝60°時，直接寫出AFAB（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展如圖（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點，G是邊BC上一點，CGBC=1n（n＜2），延長BC至點E，使DE＝DG，延長ED交AB于點F．直接寫出

16．（2023?岳陽）如圖，△ABC和△DBE的頂點B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點D，E分別在AB，BC上時，可以得出結(jié)論：ADCE=，直線AD與直線CE的位置關(guān)系是（2）探究證明：如圖2，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點D恰好落在線段AC上，連接EC，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展運用：如圖3，將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α（19°＜α＜60°），連接AD、EC，它們的延長線交于點F，當(dāng)DF＝BE時，求tan（60°﹣α）的值．

17．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D、M均為格點．【操作探究】在數(shù)學(xué)活動課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB、CD，相交于點P并給出部分說理過程，請你補充完整：解：在網(wǎng)格中取格點E，構(gòu)建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC=1在Rt△CDE中，，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因為∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展應(yīng)用】（1）如圖②是以格點O為圓心，AB為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在BM上找出一點P，使PM=（2）如圖③是以格點O為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點P．使AM2＝AP?AB，寫出作法，不用證明．

18．（2023?蘇州）（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于點D，DE∥AC，交BC于點E．①若DE＝1，BD=32，求②試探究ABAD（2）如圖2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2個外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延長線于點D，DE∥AC，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為S1，△CDE的面積為S2，△BDE的面積為S3．若S1?S3=916S22，求cos∠19．（2023?湘潭）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，過點B、C分別作l的垂線，垂足分別為點D、E．（1）特例體驗：如圖①，若直線l∥BC，AB＝AC=2，分別求出線段BD、CE和DE（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請?zhí)骄烤€段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線段BC相交于點H，請再探線段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長線段BD交線段AC于點F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．

20．（2023?陜西）問題提出（1）如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點P在AD的延長線上，且AP＝AC，則∠APC的度數(shù)為．問題探究（2）如圖2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．過點A作AP∥BC，且AP＝BC，過點P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點O、E，求四邊形OECA的面積．問題解決（3）如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC＝45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點C為圓心，以CA長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD；②作CD的垂直平分線l，與CD交于點E；③以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧，交直線l于點P，連接AP、BP，得△ABP．請問，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請證明你的結(jié)論．

21．（2023?樂山）華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案．如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求證：CE＝DF．證明：設(shè)CE與DF交于點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD．∴∠BCE+∠DCE＝90°，∵CE⊥DF，∴∠COD＝90°．∴∠CDF+∠DCE＝90°．∴∠CDF＝∠BCE，∴△CBE≌△DFC．∴CE＝DF．某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進(jìn)一步探究．【問題探究】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．試猜想EGFH【知識遷移】如圖2，在矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，點E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH．則EGFH=【拓展應(yīng)用】如圖3，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝BC，點E、F分別在線段AB、AD上，且CE⊥BF．求CEBF

22．（2023?泰安）問題探究（1）在△ABC中，BD，CE分別是∠ABC與∠BCA的平分線．①若∠A＝60°，AB＝AC，如圖1，試證明BC＝CD+BE；②將①中的條件“AB＝AC”去掉，其他條件不變，如圖2，問①中的結(jié)論是否成立？并說明理由．遷移運用（2）若四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如圖3，試探究線段AD，BC，AC之間的等量關(guān)系，并證明．類型二圖形的變化23．（2023?煙臺）【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出BDCE【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC=ADDE=（1）求BDCE（2）延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．

24．（2023?連云港）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝3．【問題探究】小昕同學(xué)將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)點E落在邊AB上時，延長DE交BC于點F，求BF的長．（2）若點C、E、D在同一條直線上，求點D到直線BC的距離．（3）連接DC，取DC的中點G，三角板DEB由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點C、B、D首次在同一條直線上（如圖3），求點G所經(jīng)過的路徑長．（4）如圖4，G為DC的中點，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點G到直線AB的距離的最大值是．

25．（2023?成都）如圖，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側(cè)作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H．【嘗試初探】（1）在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關(guān)系，請說明理由．【深入探究】（2）若n＝2，隨著E點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)H是線段CD中點時，求tan∠ABE的值．【拓展延伸】（3）連接BH，F(xiàn)H，當(dāng)△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數(shù)式表示）．

26．（2023?濟(jì)寧）知識再現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵sinA=ac，sinB∴c=asinA，c∴asinA拓展探究如圖2，在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄縜sinA，bsinB，解決問題如圖3，為測量點A到河對岸點B的距離，選取與點A在河岸同一側(cè)的點C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點A到點B的距離．類型三函數(shù)27．（2023?阜新）當(dāng)我們將一條傾斜的直線進(jìn)行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關(guān)于“一次函數(shù)圖象平移的性質(zhì)”的探究過程，請補充完整．（1）如圖1，將一次函數(shù)y＝x+2的圖象向下平移1個單位長度，相當(dāng)于將它向右平移了個單位長度；（2）將一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個單位長度，相當(dāng)于將它向（填“左”或“右”）平移了個單位長度；（3）綜上，對于一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個單位長度，相當(dāng)于將它向（填“左”或“右”）（k＞0時）或?qū)⑺颍ㄌ睢白蟆被颉坝摇保╧＜0時）平移了n（n＞0）個單位長度，且m，n，k滿足等式．28．（2023?襄陽）探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程．結(jié)合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)y=6|x|?（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對應(yīng)值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（x，y），請補充描出點（2，a）；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象；（2）探究函數(shù)性質(zhì)請寫出函數(shù)y=6|x|?|x（3）運用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫出方程6|x|?|x|＝5的解②寫出不等式6|x|?|x|≤1的解集

29．（2023?濰坊）為落實“雙減”，老師布置了一項這樣的課后作業(yè)：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣1），且不經(jīng)過第一象限，寫出滿足這些條件的一個函數(shù)表達(dá)式．【觀察發(fā)現(xiàn)】請完成作業(yè)，并在直角坐標(biāo)系中畫出大致圖象．【思考交流】小亮說：“滿足條件的函數(shù)圖象的對稱軸一定在y軸的左側(cè)．”小瑩說：“滿足條件的函數(shù)圖象一定在x軸的下方．”你認(rèn)同他們的說法嗎？若不認(rèn)同，請舉例說明．【概括表達(dá)】小博士認(rèn)為這個作業(yè)的答案太多，老師不方便批閱，于是探究了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系，得出了提高老師作業(yè)批閱效率的方法．請你探究這個方法，寫出探究過程．

30．（2023?鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，14a）的距離MF，始終等于它到定直線l：y=?14a的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y=?14a叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．其中原點O為FH的中點，例如：拋物線y=12x2，其焦點坐標(biāo)為F（0，12），準(zhǔn)線方程為l：y=?12．其中MF＝MN【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，．【技能訓(xùn)練】（2）如圖2所示，已知拋物線y=18x2上一點P到準(zhǔn)線l的距離為6，求點【能力提升】（3）如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升華】（4）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：ACAB=BCAC=5?1如圖4所示，拋物線y=14x2的焦點F（0，1），準(zhǔn)線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側(cè)的拋物線上一點．當(dāng)MHMF

31．（2023?荊州）小華同學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)知識后，對函數(shù)y=4x…﹣4﹣3﹣2﹣1?3?1?101234…y4﹣2?4﹣1…請根據(jù)圖象解答：（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①寫出函數(shù)的兩條性質(zhì)：；；②若函數(shù)圖象上的兩點（x1，y1），（x2，y2）滿足x1+x2＝0，則y1+y2＝0一定成立嗎？．（填“一定”或“不一定”）（2）【延伸探究】如圖2，將過A（﹣1，4），B（4，﹣1）兩點的直線向下平移n個單位長度后，得到直線l與函數(shù)y=?4x（x≤﹣1）的圖象交于點P，連接PA，①求當(dāng)n＝3時，直線l的解析式和△PAB的面積；②直接用含n的代數(shù)式表示△PAB的面積．

模塊二2023中考押題預(yù)測32．（2023?廬陽區(qū)校級一模）【問題提出】如圖1，AB為⊙O的一條弦，點C在弦AB所對的優(yōu)弧上運動時，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道∠ACB的度數(shù)不變．愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，那么點C是不是在某個確定的圓上運動呢？【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究．如圖2，若AB＝4，線段AB上方一點C滿足∠ACB＝45°，為了畫出點C所在的圓，小芳以AB為底邊構(gòu)造了一個Rt△AOB，再以點O為圓心，OA為半徑畫圓，則點C在⊙O上．后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結(jié)論．即：若線段AB的長度已知，∠ACB的大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型．【模型應(yīng)用】（1）若AB＝6，平面內(nèi)一點C滿足∠ACB＝60°，若點C所在圓的圓心為O，則∠AOB＝，劣弧AB的長為．（2）如圖3，已知正方形ABCD以AB為腰向正方形內(nèi)部作等腰△ABE，其中AB＝AE，過點E作EF⊥AB于點F，若點P是△AEF的內(nèi)心．①求∠BPE的度數(shù)；②連接CP，若正方形ABCD的邊長為4，求CP的最小值．

33．（2023?徐州一模）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．（1）操作判斷：操作一：如圖1，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：如圖1，在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：（寫一個即可）．（2）遷移探究：小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點M在EF上時，∠MBQ＝°，∠CBQ＝°；②如圖3，改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展應(yīng)用：在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為10cm，當(dāng)FQ＝3cm時，直接寫出AP的長．

34．（2023?殷都區(qū)一模）九年級一班同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展數(shù)學(xué)探究活動．操作探究：（1）如圖1，△OAB為等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，將△OAB繞點O旋轉(zhuǎn)180°，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點，連接OF，則∠BAE＝°，OF與DE的數(shù)量關(guān)系是；遷移探究：（2）如圖2，（1）中的其他條件不變，當(dāng)△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，點D正好落在∠AOB的角平分線上，得到△ODE，求出此時∠BAE的度數(shù)及OF與DE的數(shù)量關(guān)系；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在等腰三角形OAB中，OA＝OB＝4，∠AOB＝90°．將△OAB繞點O旋轉(zhuǎn)，得到△ODE，連接AE，F(xiàn)是AE的中點，連接OF．當(dāng)∠EAB＝15°時，請直接寫出OF的長．

35．（2023?歷下區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是線段BC上一動點（不與B、C重合），連接AE，將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AF，連接EF．點M和點N分別是邊BC，EF的中點．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，若∠BAC＝60°，當(dāng)點E是BC邊的中點時，MNBE=，直線BE與MN相交所成的銳角的度數(shù)為【解決問題】（2）如圖2，若∠BAC＝60°，當(dāng)點E是BC邊上任意一點時（不與B、C重合），上述兩個結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．【拓展探究】（3）如圖3，若∠BAC＝90°，AB＝6，CG=13CB，在E

36．（2023?亭湖區(qū)校級一模）【感受新知】已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖象上的點，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，我們稱這個正方形為此函數(shù)圖象的“關(guān)聯(lián)正方形”，例如：在圖1中，正方形ABCD是一次函數(shù)y＝x+1圖象的其中一個“關(guān)聯(lián)正方形”．（1）求一次函數(shù)y＝x+1圖象的所有“關(guān)聯(lián)正方形”的邊長；（2）若反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)圖象有一個相同的“關(guān)聯(lián)正方形”，則稱此反比例函數(shù)為一次函數(shù)的“關(guān)聯(lián)反比例函數(shù)”，一次函數(shù)y＝x+1是否存在“關(guān)聯(lián)反比例函數(shù)”，若存在，求出反比例函數(shù)表達(dá)式，若不存在，請說明理由；【靈活運用】（3）如圖2，若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=kx（k＞0），它的圖象的“關(guān)聯(lián)正方形”為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求【深度探究】（4）如圖3，若某函數(shù)是二次函數(shù)y＝ax2+c（a≠0），它的圖象的“關(guān)聯(lián)正方形”為ABCD，C、D中的一個點坐標(biāo)為（3，4），請你直接寫出該二次函數(shù)的解析式．

37．（2023?湘潭縣校級模擬）已知拋物線C1：y＝﹣3（x﹣1）2+4與拋物線C2：y＝﹣（x﹣b）2+k的頂點相同．（1）求拋物線C2解析式的一般形式；（2）已知點B的坐標(biāo)為（﹣2，3）．①問題探究：在y軸上是否存在點M，使線段MB繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB'，且點B'恰好落在拋物線C2上，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．②問題應(yīng)用：在y軸上存在點P，使線段PB繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB′，且點B'恰好落在拋物線C2上，請直接寫出點P坐標(biāo)．

38．（2023?柘城縣校級四模）數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y=x（1）函數(shù)y=x|x?1|的自變量x的取值范圍是（2）下表是y與x的幾組對應(yīng)值，則表中m的值為；x…﹣3﹣2﹣101234454332245…y…?3?2m01344324354…（3）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點畫出函數(shù)y=x|x?1|的圖象，并寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì)：（4）畫出函數(shù)y＝|x|的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出|x|≥x|x?1|時，專題18解答題壓軸題閱讀理解探究題型（原卷版）模塊一2022中考真題鏈接專題詮釋：閱讀理解探究題型以能力立意為目標(biāo)綜合考核數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，這類題目往往考核學(xué)生的閱讀能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、表達(dá)能力、知識遷移能力。綜合性強，靈活性高，又具有較強的區(qū)分度。近年來，閱讀理解探究性題型頻頻出現(xiàn)在全國各地的中考試題中。本專輯精選2022中考真題，題目仍然偏多，想刪去一些，但又感覺每道題都具有特點，都很好。所以還請讀者自己根據(jù)自己的情況選擇使用。類型一圖形的性質(zhì)1．（2023?淮安）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A'B'ED，點A的對應(yīng)點為點A'，點B的對應(yīng)點為點B'．【觀察發(fā)現(xiàn)】A'D與B'E的位置關(guān)系是A′D∥B′E；【思考表達(dá)】（1）連接B'C，判斷∠DEC與∠B'CE是否相等，并說明理由；（2）如圖（2），延長DC交A'B'于點G，連接EG，請?zhí)骄俊螪EG的度數(shù)，并說明理由；【綜合運用】如圖（3），當(dāng)∠B＝60°時，連接B'C，延長DC交A'B'于點G，連接EG，請寫出B'C、EG、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．分析：【觀察發(fā)現(xiàn)】利用翻折變換的性質(zhì)判斷即可．【思考表達(dá)】（1）結(jié)論：∠DEC＝∠B'CE．證明DE∥CB′即可；（2）證明GC＝GB′，推出EG⊥CB′，即可解決問題．【綜合運用】結(jié)論：DG2＝EG2+4916B′C2．如圖（3）中，延長DG交EB′的延長線于點T，過點D作DR⊥GA′交GA′的延長線于點R．想辦法證明DE=【解答】解：【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1）中，由翻折的性質(zhì)可知，A′D∥B′E．故答案為：A′D∥B′E；【思考表達(dá)】（1）結(jié)論：∠DEC＝∠B'CE．理由：如圖（2）中，連接BB′．∵EB＝EC＝EB′，∴∠BB′C＝90°，∴BB′⊥B′C，由翻折變換的性質(zhì)可知BB′⊥DE，∴DE∥CB′，∴∠DEC＝∠B′CE；（2）結(jié)論：∠DEG＝90°．理由：如圖（2）中，連接DB，DB′，由翻折的性質(zhì)可知∠BDE＝∠B′DE，設(shè)∠BDE＝∠B′DE＝x，∠A＝∠A′＝y(tǒng)．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADB＝∠CDB＝∠B′DA′，∴∠A′DG＝∠BDB′＝2x，∴∠DGA′＝180°﹣2x﹣y，∵∠BEB′＝∠EBD+∠EB′D+∠BDB′，∴∠BEB′＝180°﹣y+2x，∵EC＝EB′，∴∠EB′C＝∠ECB′=12∠BEB′＝90°?12∴∠GB′C＝∠A′B′E﹣∠EB′C＝180﹣y﹣（90°?12y+x）＝90°?12∴∠CGA′＝2∠GB′C，∵∠CGA′＝∠GB′C+∠GCB′，∴∠GB′C＝∠GCB′，∴GC＝GB′，∵EB′＝EC，∴EG⊥CB′，∵DE∥CB′，∴DE⊥EG，∴∠DEG＝90°；【綜合運用】結(jié)論：DG2＝EG2+4916B′C理由：如圖（3）中，延長DG交EB′的延長線于點T，過點D作DR⊥GA′交GA′的延長線于點R．設(shè)GC＝GB′＝x，CD＝A′D＝A′B′＝2a，∵∠B＝60°，∴∠A＝∠DA′B′＝120°，∴∠DA′R＝60°，∴A′R＝A′D?cos60°＝a，DR=3a在Rt△DGR中，則有（2a+x）2＝（3a）2+（3a﹣x）2，∴x=45∴GB′=45a，A′G=∵TB′∥DA′，∴TB′DA′∴TB′2a∴TB′=43∵CB′∥DE，∴CB′DE∴DE=74∵∠DEG＝90°，∴DG2＝EG2+DE2，∴DG2＝EG2+4916B′C【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理，解直角三角形，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．2．（2023?襄陽）矩形ABCD中，ABBC=k2（k＞1），點E是邊BC的中點，連接AE，過點E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線【特例證明】（1）如圖（1），當(dāng)k＝2時，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過程如下，請你幫他補充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3=12∠∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過程）【類比探究】（2）如圖（2），當(dāng)k≠2時，求AEEF的值（用含k【拓展運用】（3）如圖（3），當(dāng)k＝3時，P為邊CD上一點，連接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC分析：（1）證明△AHE≌△ECF（ASA）即可；（2）在BA上截取BH＝BE，連接EH．證明△AHE∽△ECF，即可求解；（3）以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADP繞A點旋轉(zhuǎn)90°到△AP'H，設(shè)AB＝3a，則BC＝2a，由tan∠BAE=13，∠EAP＝45°，可得tan∠DAP=12，從而判斷△APE是等腰直角三角形，過點F作FQ⊥EG交于Q，又可得∠FEQ＝∠BAE，則13=FQFQ+a，可求FQ=12a，EQ=32a，EF=102a，能夠證明△PAE∽△FPE，從而得到∠APE＝∠PFE＝90°，則【解答】（1）證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3=12∠∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°，∵AE⊥EF，∴∠6+∠AEB＝90°，∵∠5+∠AEB＝90°，∴∠5＝∠6，∵AB＝BC，BH＝BE，∴AH＝EC，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∴∠AHE＝135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠DCF=12∠∴∠ECF＝135°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴AEEF∵ABBC=k2，∴EC＝HB=12∴AH＝AB?12BC＝（k2∴AEEF=（3）如圖（2），引例：在正方形ABCD中，EG⊥AC，設(shè)AB＝3，BE＝1，則EC＝2，∵∠ACE＝45°，∴EG＝GC=2∵AC＝32，∴AG＝22，∴tan∠EAG=12，tan∠BAE以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADP繞A點旋轉(zhuǎn)90°到△AP'H，∵k＝3，∴ABBC設(shè)AB＝3a，則BC＝2a，由旋轉(zhuǎn)可得∠P'AP＝90°，連接P'E，HE，延長P'H交CD于點G，連接EG，∵AH＝AD＝2a，∴BH＝a，∵E是BC的中點，∴BE＝a，∴tan∠BAE=1∵∠EAP＝45°，∴∠BAE+∠DAP＝45°，∴tan∠DAP=1∴DP＝a，∴PC＝2a，∴AP=5a，PE=5a，AE=∴△APE是等腰直角三角形，∴∠APE＝90°，∵AE⊥EF，∴∠PEF＝∠PEA＝45°，過點F作FQ⊥EG交于Q，∵CF平分∠PCG，∴∠FCQ＝45°，∵∠FEQ+∠AEB＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠FEQ＝∠BAE，∴13∴FQ=12∴EQ=32∴EF=102∴PEAE∴△PAE∽△FPE，∴∠APE＝∠PFE＝90°，∴PF＝EF=12∵PF=5∴1210a∴a=2∴BC＝22．解法2：設(shè)BE＝EC＝a，則AE=10a延長AP、EF交于Q，∵∠PAE＝45°，AE⊥EF，∴△AEQ是等腰直角三角形，∴AE＝EQ，作QM⊥BC交N，∵∠AEB+∠QEM＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠QEM，∵AE＝EQ，∴△ABE≌△EMQ（AAS），∴EM＝AB＝3a，MC＝EM﹣EC＝2a，作QN⊥CD交BC延長線于M，∴四邊形NCMQ是矩形，∴QN＝CM＝AD＝2a，∵∠APD＝∠NPQ，∠D＝∠PNQ，∴△ADP≌△QNP（AAS），∴AP＝PQ，∵EF=12AE=∴EF＝FQ，PF=12∴1210a∴a=2∴BC＝22．解法3：過點P作PQ⊥AE交于點Q，過點Q作MN∥AD分別交AB、CD于點M、N，設(shè)BE＝2x＝EC，則AB＝6x，由△AMQ與△QNP全等，設(shè)MQ＝n，∵tan∠BAE=1∴AM＝3n＝QN，∴n+3n＝4x，解得n＝x，∴MQ＝x，AQ=10x＝PQ∴QE＝AE﹣QA=10x由（2）可知，AE：EF＝2，∴EF=10x可證得四邊形QEFP是正方形，∴PF=10x∵PF=5解答x=2∴BC＝4x＝22．【點評】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形是判定及性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?寧夏）綜合與實踐知識再現(xiàn)如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以BC、CA、AB為邊向外作的正方形的面積為S1、S2、S3．當(dāng)S1＝36，S3＝100時，S2＝64．問題探究如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）如圖2，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等腰直角三角形的面積為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是S1+S2＝S3．（2）如圖3，分別以BC、CA、AB為邊向外作的等邊三角形的面積為S4、S5、S6，試猜想S4、S5、S6之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．實踐應(yīng)用（1）如圖4，將圖3中的△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度至△BGH，△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度至△AMN，GH、MN相交于點P．求證：S△PHN＝S四邊形PMFG；（2）如圖5，分別以圖3中Rt△ABC的邊BC、CA、AB為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，BC、CA、AB為直徑的半圓柱的體積分別為V1、V2、V3．若AB＝4，柱體的高h(yuǎn)＝8，直接寫出V1+V2的值．分析：知識再現(xiàn)：利用勾股定理和正方形的面積公式可求解；問題探究：（1）利用勾股定理和直角三角形的面積公式可求解；（2）過點D作DG⊥BC交于G，分別求出S4=34BC2，S5=34AC2，S6=34AB2，由勾股定理可得34AB2=34AC2+34BC實踐應(yīng)用：（1）設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，則HN＝a+b﹣c，F(xiàn)G＝c﹣a，MF＝c﹣b，可證明△HNP是等邊三角形，四邊形MFGP是平行四邊形，則S△PMN=34（a+b﹣c）2，S四邊形PMFG=32（c﹣a）（c﹣b），再由c2＝a2+b2，可證明S△PHN＝（2）設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，以AB為直徑的圓的面積為S3、以BC為直徑的圓的面積為S1、以AC為直徑的圓的面積為S2，可得S1+S2＝S3，又由V2+V1=12（S1+S2）h=12S3h＝V3，即可求V1+V【解答】知識再現(xiàn)：解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴S1+S2＝S3，∵S1＝36，S3＝100，∴S2＝64，故答案為：64；問題探究：（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴12AB2=12AC2+∴S1+S2＝S3，故答案為：S1+S2＝S3；（2）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，過點D作DG⊥BC交于G，在等邊三角形BCD中，CD＝BC，CG=12∴DG=32∴S4=12×BC×32同理可得S5=34AC2，S6=3∴34AB2=34AC2+∴S4+S5＝S6；實踐應(yīng)用：（1）證明：設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，∴HN＝a+b﹣c，F(xiàn)G＝c﹣a，MF＝c﹣b，∵△HGB是等邊三角形，△ABF是等邊三角形，∴HG∥AF，MN∥BF，∴∠HPN＝60°，∴△HNP是等邊三角形，四邊形MFGP是平行四邊形，∴S△PHN=34（a+b﹣c）2，S四邊形PMFG=32（c﹣a）（∵△ABC是直角三角形，∴c2＝a2+b2，∴34（a+b﹣c）2=34（a2+b2+c2+2ab﹣2bc﹣2ac）=32（c2+ab﹣bc﹣ac）=32（c∴S△PHN＝S四邊形PMFG；（2）解：設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，以AB為直徑的圓的面積為S3、以BC為直徑的圓的面積為S1、以AC為直徑的圓的面積為S2，∵△ABC是直角三角形，∴c2＝a2+b2，∴π4c2=π4a2+∴S1+S2＝S3，∵V2=12S2h，V1=12S1h，V3=∴V2+V1=12（S1+S2）h=12S3h∵AB＝4，h＝8，∴V3=12S3h=12∴V1+V2＝16π．【點評】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，圓柱的體積，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023?朝陽）【思維探究】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．小明的思路是：延長CD到點E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明△ADE≌△ABC，從而可證BC+CD＝AC，請你幫助小明寫出完整的證明過程．【思維延伸】（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【思維拓展】（3）在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD=6，AC與BD相交于點O．若四邊形ABCD中有一個內(nèi)角是75°，請直接寫出線段OD分析：（1）如圖1中，延長CD到點E，使DE＝BC，連接AE．證明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE＝∠BAC，AE＝AC，推出△ACE的等邊三角形，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：CB+CD=2AC．如圖2中，過點A作AM⊥CD于點M，AN⊥CB交CB的延長線于點N．證明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM＝BN，AM＝AN，證明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM＝CN（3）分兩種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)∠CDA＝75°時，過點O作OP⊥CB于點P，CQ⊥CD于點Q．如圖3﹣2中，當(dāng)∠CBD＝75°時，分別求解即可．【解答】（1）證明：如圖1中，延長CD到點E，使DE＝BC，連接AE．∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADE+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADE，在△ADE和△ABC中，DA=BA∠ADE=∠B∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE＝∠BAC，AE＝AC，∴∠CAE＝∠BAD＝60°，∴△ACE的等邊三角形，∴CE＝AC，∵CE＝DE+CD，∴AC＝BC+CD；（2）解：結(jié)論：CB+CD=2AC理由：如圖2中，過點A作AM⊥CD于點M，AN⊥CB交CB的延長線于點N．∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠CDA+∠CBA＝180°，∵∠ABN+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABN，∵∠AMD＝∠N＝90°，AD＝AB，∴△AMD≌△ANB（AAS），∴DM＝BN，AM＝AN，∵AM⊥CD，AN⊥CN，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∴AC=2CM∵AC＝AC．AM＝AN，∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∴CB+CD＝CN﹣BN+CM+DM＝2CM=2AC（3）解：如圖3﹣1中，當(dāng)∠CDA＝75°時，過點O作OP⊥CB于點P，CQ⊥CD于點Q．∵∠CDA＝75°，∠ADB＝45°，∴∠CDB＝30°，∵∠DCB＝90°，∴CD=3CB∵∠DCO＝∠BCO＝45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP＝OQ，∴S△OBC∴ODOB∵AB＝AD=6，∠DAB∴BD=2AD＝23∴OD=31+3×2如圖3﹣2中，當(dāng)∠CBA＝75°時，同法可證ODOB=13，OD=1綜上所述，滿足條件的OD的長為33?3或3?【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．5．（2023?蘭州）綜合與實踐問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎（wèi）范、芯組成的鑄型（如圖1），它的端面是圓形．如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB＝AC，在圓上標(biāo)記A，B，C三點；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點上，“矩”的另一條邊與的交點標(biāo)記為D點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點，連接AD，BC相交于點O，即O為圓心．問題解決：（1）請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）拓展探究：（3）小梅進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學(xué)的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點A，B，C是⊙O上任意三點，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：垂直平分弦的直線經(jīng)過圓心．分析：問題解決：（1）以B為頂點，以AB為一邊，用三角板作∠ABD是直角，∠ABD的另一邊與圓交于D，連接AD，BC，AD，BC的交點即是圓心O；類比遷移：（2）方法同（1）；拓展探究：（3）連接AC，AB，作AC，AB的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為圓心，根據(jù)是垂直平分弦的直線經(jīng)過圓心．【解答】解：問題解決：（1）如圖：O即為圓心；類比遷移：（2）如圖：O即為所求作的圓心；拓展探究：（3）如圖：O即為所求作的圓心，理由是垂直平分弦的直線經(jīng)過圓心，故答案為：垂直平分弦的直線經(jīng)過圓心．【點評】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及用三角板或尺規(guī)確定圓心，解題的關(guān)鍵是掌握若圓周角是直角，它所對的弦是直徑及垂徑定理與推論的應(yīng)用．6．（2023?蘭州）綜合與實踐【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是BC的中點，AE⊥EP，EP與正方形的外角∠DCG的平分線交于P點．試猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；【思考嘗試】（1）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取AB的中點F，連接EF可以解決這個問題．請在圖1中補全圖形，解答老師提出的問題．【實踐探究】（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接CP，可以求出∠DCP的大小，請你思考并解答這個問題．【拓展遷移】（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，連接DP．知道正方形的邊長時，可以求出△ADP周長的最小值．當(dāng)AB＝4時，請你求出△ADP周長的最小值．分析：（1）取AB的中點F，連接EF，利用同角的余角相等說明∠PEC＝∠BAE，再根據(jù)ASA證明△AFE≌△ECP，得AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，則△FAE≌△CEP（SAS），再說明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；（3）作DG⊥CP，交BC的延長線于G，交CP于O，連接AG，則△DCG是等腰直角三角形，可知點D與G關(guān)于CP對稱，則AP+DP的最小值為AG的長，利用勾股定理求出AG，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）AE＝EP，理由如下：取AB的中點F，連接EF，∵F、E分別為AB、BC的中點，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，連接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°，（3）連接CP，作DG⊥CP，交BC的延長線于G，交CP于O，連接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴點D與G關(guān)于CP對稱，∴AP+DP的最小值為AG的長，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG=82+4∴△ADP周長的最小值為AD+AG＝4+45．【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱﹣最短路線問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023?大連）綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．獨立思考：（1）請解答王老師提出的問題．實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，延長CA至點E，使CE＝BD，BE與CD的延長線相交于點F，點G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BAC＝90°時，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可求．該小組提出下面的問題，請你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長．”分析：（1）利用三角形的外角的性質(zhì)證明即可；（2）結(jié)論：BH＝EF．如圖2中，在CB上取一點T，使得GH＝CT．證明△BGH≌△DCT（SAS），推出BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，再證明△CEF≌△BDT（AAS），推出EF＝DT，可得結(jié)論；（3）如圖3，過點E作EM∥AD交CE的延長線于點M．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【解答】（1）證明：如圖1中，∵∠ADC＝∠ACB，∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，∴∠ACD＝∠B；（2）解：結(jié)論：BH＝EF．理由：如圖2中，在CB上取一點T，使得GH＝CT．在△BGH和△DCT中，GB=CD∠BGH=∠DCT∴△BGH≌△DCT（SAS），∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，∵∠CDT+∠FDT＝180°，∴∠GBH+∠FDT＝180°，∴∠BFD+∠BTD＝180°，∵∠CFE+∠BFD＝180°，∴∠CFE＝∠BTD，在△CEF和△BDT中，∠CFE=∠BTD∠ECF=∠DBT∴△CEF≌△BDT（AAS），∴EF＝DT，∴EF＝BH；（3）解：如圖3，過點E作EM∥AD交CE的延長線于點M．∵AD∥EM，∴ADEM∴1EM∴EM=3∵EMBD∵tan∠ACD＝tan∠ABC=1∴ADAC∵AC＝2，AB＝4，∴AD＝1，BD＝CE＝3，∴AE＝1，∴BE==A∴EF=13BE【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．8．（2023?深圳）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點．求證：△BFG≌△BCG；（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD＝8，AB＝6．將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH＝CH，求AE的長．（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點，∠D＝60°．將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．分析：（1）根據(jù)將△AEB沿BE翻折到△BEF處，四邊形ABCD是正方形，得AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，即得∠BFG＝90°＝∠C，可證Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）；（2）延長BH，AD交于Q，設(shè)FH＝HC＝x，在Rt△BCH中，有82+x2＝（6+x）2，得x=73，DH＝DC﹣HC=113，由△BFG∽△BCH，得68=BG6+73=FG73，BG=254，F(xiàn)G=74，而EQ∥GB，DQ∥CB，可得BCDQ=CHDH，即8（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)DE=13DC＝2時，延長FE交AD于Q，過Q作QH⊥CD于H，設(shè)DQ＝x，QE＝y(tǒng)，則AQ＝6﹣x，CP＝2x，由AE是△AQF的角平分線，有6?x6=y2①，在Rt△HQE中，（2?12x）2+（32x）2＝y(tǒng)2②（Ⅱ）當(dāng)CE=13DC＝2時，延長FE交AD延長線于Q'，過Q'作Q'H'⊥CD交CD延長線于H'，同理解得x'=125【解答】（1）證明：∵將△AEB沿BE翻折到△BEF處，四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，∴∠BFG＝90°＝∠C，∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）；（2）解：延長BH，AD交于Q，如圖：設(shè)FH＝HC＝x，在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2，∴82+x2＝（6+x）2，解得x=7∴DH＝DC﹣HC=11∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠FBG，∴△BFG∽△BCH，∴BFBC=BG∴BG=254，F(xiàn)G∵EQ∥GB，DQ∥CB，∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，∴BCDQ=CH∴DQ=88設(shè)AE＝EF＝m，則DE＝8﹣m，∴EQ＝DE+DQ＝8﹣m+887∵△EFQ∽△GFB，∴EQBG=EF解得m=9∴AE的長為92方法2：連接GH，如圖：∵CH＝FH，GH＝GH，∴Rt△FGH≌Rt△CGH（HL），∴CG＝FG，設(shè)CG＝FG＝x，則BG＝8﹣x，在Rt△BFG中，BF2+FG2＝BG2，∴62+x2＝（8﹣x）2，解得x=7∴BG＝BC﹣x=25∵∠GBE＝∠AEB＝∠FEB，∴EG＝BG=25∴EF＝EG﹣FG=9∴AE=9（3）解：方法一：（Ⅰ）當(dāng)DE=13DC＝2時，延長FE交AD于Q，過Q作QH⊥CD于設(shè)DQ＝x，QE＝y(tǒng)，則AQ＝6﹣x，∵CP∥DQ，∴△CPE∽△QDE，∴CPDQ∴CP＝2x，∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，∴AE是△AQF的角平分線，∴AQAF=QEEF∵∠D＝60°，∴DH=12DQ=12x，HE＝DE﹣DH＝2?12x，在Rt△HQE中，HE2+HQ2＝EQ2，∴（2?12x）2+（32x）2＝y(tǒng)聯(lián)立①②可解得x=3∴CP＝2x=3（Ⅱ）當(dāng)CE=13DC＝2時，延長FE交AD延長線于Q'，過Q'作Q'H'⊥CD交CD延長線于設(shè)DQ'＝x'，Q'E＝y(tǒng)'，則AQ'＝6+x'，同理∠Q'AE＝∠EAF，∴AQ′AF=Q′E由H'Q'2+H'E2＝Q'E2得：（32x'）2+（12x'+4）2＝y(tǒng)'可解得x'=12∴CP=12x'綜上所述，CP的長為32或6方法二：（Ⅰ）當(dāng)DE=13DC＝2時，連接CF，過P作PK⊥CD于∵四邊形ABCD是菱形，∠D＝60°，∴△ABC，△ADC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ACD＝60°，AD＝AC，∴∠PCK＝60°，∵將△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠AFE＝∠D＝60°＝∠ACB，AF＝AD＝AC，EF＝DE＝2，∴∠AFC＝∠ACF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PF＝PC，設(shè)PF＝PC＝2m，在Rt△PCK中，CK＝m，PK=3m∴EK＝EC﹣CK＝4﹣m，在Rt△PEK中，EK2+PK2＝PE2，∴（4﹣m）2+（3m）2＝（2+2m）2，解得m=3∴PC＝2m=3（Ⅱ）當(dāng)CE=13DC＝2時，連接CF，過P作PT⊥CD交DC延長線于同（Ⅰ）可證AC＝AD＝AF，∠ACB＝60°＝∠D＝∠AFE，∴∠ACF＝∠AFC，∴∠ACF﹣∠ACB＝∠AFC﹣∠AFE，即∠PCF＝∠PFC，∴PC＝PF，設(shè)PC＝PF＝2n，在Rt△PCT中，CT＝n，PT=3n∴ET＝CE+CT＝2+n，EP＝EF﹣PF＝DE﹣PF＝4﹣2n，在Rt△PET中，PT2+ET2＝PE2，∴（3n）2+（2+n）2＝（4﹣2n）2，解得n=3∴PC＝2n=6綜上所述，CP的長為32或6【點評】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．9．（2023?貴陽）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在?ABCD中，AN為BC邊上的高，ADAN=m，點M在AD邊上，且BA＝BM，點E是線段AM上任意一點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得△（1）問題解決：如圖①，當(dāng)∠BAD＝60°，將△ABE沿BE翻折后，使點F與點M重合，則AMAN=2（2）問題探究：如圖②，當(dāng)∠BAD＝45°，將△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度數(shù)，并求出此時m的最小值；（3）拓展延伸：當(dāng)∠BAD＝30°，將△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出m的值．分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得AMAN（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得∠AEB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABE的度數(shù)，根據(jù)點M在AD邊上，當(dāng)AD＝AM時，m取得最小值，從而求解；（3）連接FM，設(shè)AN＝a，然后結(jié)合勾股定理分析求解．【解答】解：（1）∵BA＝BM，∠BAD＝60°∴△ABM是等邊三角形，∴AB＝AM＝BM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ABN＝∠BAM＝60°，∵AN為BC邊上的高，∴AMAN故答案為：23（2）∵∠BAD＝45°，BA＝BM，∴△AMB是等腰直角三角形，∴∠MBC＝∠AMB＝45°，∵EF∥BM，∴∠FEM＝∠AMB＝45°，∴∠AEB＝∠FEB=1∵AD∥NC，∴∠BAE＝∠ABN＝45°，∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝22.5°，∵ADAN=m，△AMB是等腰直角三角形，AN為底邊上的高，則AN=∵點M在AD邊上，∴當(dāng)AD＝AM時，m取得最小值，最小值為AMAN（3）如圖，連接FM，延長EF交NC于點G，∵∠BAD＝30°，則∠ABN＝30°，設(shè)AN＝a，則AB＝2a，NB=3a∵EF⊥AD，∴∠AEB＝∠FEB=1∵∠EAB＝∠BAD＝30°，∴∠ABE＝15°，∴∠ABF＝30°，∵AB＝BM，∠BAD＝30°，∴∠ABM＝120°，∵∠MBC＝∠AMB＝30°，∴∠FBM＝90°，在Rt△FBM中，F(xiàn)B＝AB＝BM，∴FM=2FB＝22a∴EG⊥GB，∵∠EBG＝∠ABE+∠ABN＝45°，∴GB＝EG＝a，∵NB=3a∴AE＝EF＝MD＝（3?1）a在Rt△EFM中，EM=FM2?EF∴AD＝AE+EM+MD＝2AE+EM＝（33?1）a同理，當(dāng)點F落在BC下方時，AD＝（33+1）∴m=ADAN=【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023?遵義）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四點在同一個圓上．探究展示：如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠AEC+∠D＝180°（依據(jù)1）∵∠B＝∠D∴∠AEC+∠B＝180°∴點A，B，C，E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）∴點B，D在點A，C，E所確定的⊙O上（依據(jù)2）∴點A，B，C，D四點在同一個圓上反思?xì)w納：（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：圓內(nèi)接四邊形對角互補；依據(jù)2：過不在同一直線上