2024安徽中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練 特別關(guān)注 選填壓軸題的三種特殊考查形式 (含答案)

2024安徽中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練特別關(guān)注選填壓軸題的三種特殊考查形式形式一多結(jié)論判斷題考向1代數(shù)類典例精講例1已知a、b、c滿足a＋b＋c＝0，下列結(jié)論①若abc≠0，則eq\f(a＋c,2b)＝－eq\f(1,2)；②若a≠0，則x＝1一定是方程ax＋b＋c＝0的解；③若abc≠0，則abc>0；④若c＝0，且ab≠0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝0.其中正確的是________．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)【思維教練】先觀察每個(gè)選項(xiàng)所給的已知條件，根據(jù)已知條件結(jié)合題干所給的等式，將選項(xiàng)中已知的條件進(jìn)行變形代入到給定的等式中，經(jīng)過變形即可得到相應(yīng)的結(jié)果．針對(duì)訓(xùn)練1.已知實(shí)數(shù)a，b，c，滿足ab＋bc＝ac，有下列結(jié)論：①若abc≠0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,b)；②若b＝eq\f(1,2)a，則b＝eq\f(1,2)c；③若a＋b＝0，則a＝c；④若abc中任兩個(gè)相等，則這兩個(gè)數(shù)都為0；其中正確的是________(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)．考向2幾何類典例精講例2如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，CE⊥BD于點(diǎn)F，連接AF，則下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是()例2題圖A.△DEF∽△BDCB.BF＝2DFC.DF＝eq\f(\r(2),2)EFD.S四邊形BAEF＝eq\f(5,2)S△DCF【思維教練】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可證得△DEF∽△BCF∽△CDF，設(shè)未知數(shù)，用含未知數(shù)的式子表示出各邊長，從而得到各邊關(guān)系式求解即可．安徽近年真題精選2.如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是________．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上)第2題圖①∠DCF＝eq\f(1,2)∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.針對(duì)訓(xùn)練3.如圖，點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)，△PBC是正三角形，AC與PB相交于點(diǎn)E.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()第3題圖A.∠ACP＝15°B.△APE是等腰三角形C.AE2＝PE·ABD.若△APC的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2，則S1∶S2＝1∶44.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，連接CP，將∠B沿CP折疊，使點(diǎn)B落在B′處．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.當(dāng)AB′⊥AC時(shí)，AB′的長為eq\r(2)B.當(dāng)點(diǎn)P位于AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形ACPB′為菱形C.當(dāng)∠B′PA＝30°時(shí)，eq\f(AP,PB)＝eq\f(1,2)D.當(dāng)CP⊥AB時(shí)，AP∶AB′∶BP＝1∶2∶3形式二雙空題考向1代數(shù)類典例精講例1已知拋物線y＝－ax2＋2ax＋4的開口向下．請(qǐng)完成以下探究：(1)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：無論a取何值，此拋物線都會(huì)經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)．則橫坐標(biāo)較大的定點(diǎn)的坐標(biāo)為________；(2)若此拋物線與一次函數(shù)y＝x＋3(x≥1)的圖象交于點(diǎn)M(m，n)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)n的取值范圍為________．安徽近年真題精選1.設(shè)拋物線y＝x2＋(a＋1)x＋a，其中a為實(shí)數(shù)．(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(－1，m)，則m＝________；(2)將拋物線y＝x2＋(a＋1)x＋a向上平移2個(gè)單位，所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是________．針對(duì)訓(xùn)練2.拋物線y＝ax2－4x＋2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，n)．(1)a＝______；(2)若拋物線y＝ax2－4x＋2向下平移m(m>0)個(gè)單位后，在－1<x<4范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是________．3.已知：點(diǎn)A(m，n)在二次函數(shù)y＝(x－k)2＋k(k≠0)的圖象上，也在二次函數(shù)y＝(x＋k)2－k的圖象上．(1)若二次函數(shù)y＝(x－k)2＋k(k≠0)經(jīng)過點(diǎn)(0，－eq\f(1,4))時(shí)，k有唯一值，則k＝________；(2)m＋n的最小整數(shù)值是________．考向2幾何類典例精講例2如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將△CDE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB上一點(diǎn)F處．例2題圖(1)BE的長度為________；(2)點(diǎn)P、H、G分別在線段DE、BC、BA上，當(dāng)BP＝CP且四邊形BGPH為矩形時(shí)，PE的長為________．安徽近年真題精選4.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)Q處，折痕為AP；再將△PCQ，△ADQ分別沿PQ，AQ折疊，此時(shí)點(diǎn)C，D落在AP上的同一點(diǎn)R處．請(qǐng)完成下列探究：(1)∠PAQ的大小為________°；(2)當(dāng)四邊形APCD是平行四邊形時(shí)，eq\f(AB,QR)的值為______．第4題圖針對(duì)訓(xùn)練5.如圖，線段AB＝12，射線AC⊥AB于點(diǎn)A，射線BD⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，Q為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△APQ沿PQ翻折得到△A1PQ，PA1、QA1的延長線分別交射線AC、BD于點(diǎn)E、F，連接EF.請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}：第5題圖(1)AQ·BF的值為________；(2)當(dāng)△A1PQ∽△A1FE時(shí)，AQ＝________．形式三多解題考向1含參解析式中參數(shù)的分情況討論典例精講例1如果二次函數(shù)y＝2x2＋b(b為常數(shù))與正比例函數(shù)y＝3x的圖象在－1≤x≤2時(shí)有且只有一個(gè)公共交點(diǎn)，那么常數(shù)b的取值范圍為________．【思維教練】由一次函數(shù)與二次函數(shù)有一個(gè)公共交點(diǎn)，可聯(lián)立關(guān)系式，根據(jù)根的判別式分別討論b＞0、b＜0和b＝0時(shí)b的取值范圍．針對(duì)訓(xùn)練1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋3a＋2(a≠0)和拋物線y＝x2－ax的圖象相交于P，Q兩點(diǎn)．若P，Q都在x軸的上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．滿分技法二次函數(shù)的交點(diǎn)問題：1.解決一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題的一般步驟如下：(1)找/確定一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式；(2)聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式得到一元二次方程；(3)根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用一元二次方程的根的判別式b2－4ac，求未知系數(shù)的取值范圍．反之，亦可利用一元二次方程的根的判別式b2－4ac判斷一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；①一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象只有2個(gè)交點(diǎn)?b2－4ac＞0；②一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象只有1個(gè)交點(diǎn)?b2－4ac＝0；③一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)?b2－4ac＜0.2.若題干中給定自變量的取值范圍時(shí)，一般要對(duì)取值范圍的端點(diǎn)進(jìn)行討論；3.若函數(shù)的交點(diǎn)有特定的特點(diǎn)時(shí)，需要根據(jù)題意解出函數(shù)關(guān)系式，采用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出函數(shù)圖象的草圖，根據(jù)函數(shù)圖象及函數(shù)性質(zhì)來解題．考向2裁剪方式不確定典例精講例2沿三角形的兩條中位線分別剪去兩個(gè)三角形，剩下的部分是如圖所示的平行四邊形，經(jīng)測量這個(gè)四邊形的相鄰兩邊長為10、6，一條對(duì)角線的長為8，則原三角形紙片的周長是________．例2題圖【思維教練】根據(jù)題意畫圖，補(bǔ)全三角形，注意有兩種情況，再根據(jù)平行四邊形各邊平行且相等的性質(zhì)求得三角形的周長．針對(duì)訓(xùn)練2.如圖，有一張面積為3的銳角三角形紙片，其中一邊BC為2，把它剪兩刀拼成一個(gè)無縫隙、無重疊的矩形，且矩形的一邊與BC平行，則矩形的周長為________．第2題圖考向3圖形形狀不確定作圖微技能等腰三角形腰和底邊不確定3.如圖，已知?ABCD點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)．(1)連接AE，DE，找出當(dāng)△ADE是以AD為底邊的等腰三角形時(shí)的圖形(用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡)；(2)連接AE，DE，找出當(dāng)△ADE是以AD為腰的等腰三角形時(shí)的圖形(用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡)；(3)連接AE，找出當(dāng)△ABE為等腰三角形時(shí)的圖形(用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡)．滿分技法問題：已知點(diǎn)A、B和直線l，在l上求點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形．分情況：對(duì)于等腰三角形的腰和底不確定問題，需分①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP三種情況進(jìn)行討論．作圖找點(diǎn)：①情況一：以AB為腰．分別以A，B為圓心，以AB長為半徑畫圓，與已知直線的交點(diǎn)P1，P2，P4，P5即為所求；②情況二：以AB為底．作線段AB的垂直平分線與已知直線的交點(diǎn)P3即為所求．代數(shù)法求解：設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別表示出線段AB、BP、AP的長度，分AB＝AP，AB＝BP，AP＝BP三種情況，列方程求解．作圖微技能直角三角形直角頂點(diǎn)不確定4.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD上的點(diǎn)，且BE＝DF，連接EF，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊上一點(diǎn)．(1)找出當(dāng)△PEF是以EF為直角邊的直角三角形時(shí)的圖形；(用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡)(2)找出當(dāng)△PEF是以EF為斜邊的直角三角形時(shí)的圖形；(用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡)滿分技法問題：已知點(diǎn)A、B和直線l，在l上求點(diǎn)P，使△PAB為直角三角形．分情況：①以A為直角頂點(diǎn)，即∠BAP＝90°；②以B為直角頂點(diǎn)，即∠ABP＝90°；③以P為直角頂點(diǎn)，即∠APB＝90°.作圖找點(diǎn)：①情況一：過點(diǎn)A作AB的垂線，與已知直線l的交點(diǎn)P1即為所求；②情況二：過點(diǎn)B作AB的垂線，與已知直線l的交點(diǎn)P2即為所求；③情況三：取AB的中點(diǎn)Q為圓心，以QA的長為半徑畫圓，與已知直線l的交點(diǎn)P3、P4即為所求．代數(shù)法求解：①設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別表示出線段AB、BP、AP的長度，分BP2＝AB2＋AP2，AP2＝AB2＋BP2，AB2＝AP2＋BP2三種情況，列方程求解，若方程有解，則此情況存在；若方程無解，則此情況不存在；②找相似，利用相似三角形求解，如果圖中沒有相似三角形，可通過作輔助線構(gòu)造相似三角形；③特殊地，若有30°、45°或60°角，可考慮用銳角三角函數(shù)求解．典例精講例3在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，若P是射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM，DM，當(dāng)△AMD是等腰三角形，且MA＝MD時(shí)，AP的長為________．針對(duì)訓(xùn)練5.如圖，一張直角三角形紙片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝a，點(diǎn)D為BC邊上的任一點(diǎn)，且CD＝eq\f(1,2)a，沿過點(diǎn)D的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，若△BDE是直角三角形，則a的值為________．第5題圖拓展考向4對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定典例精講例4如圖，△ABC是邊長為6例4題圖的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，AD＝2，連接BE交CD于點(diǎn)F，且∠BFD＝60°，點(diǎn)M是射線CA上一點(diǎn)，當(dāng)以C、D、M為頂點(diǎn)的三角形與△BCF相似時(shí)，CM的長為________．滿分技法1.三角形全等或相似時(shí)，未指明對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)則需要分類討論；2.圖形旋轉(zhuǎn)方向不確定分兩類討論：①圖形繞旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；②圖形繞旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；3.圖形平移時(shí)，平移方向未確定時(shí)則需要分類討論不同的平移方向．針對(duì)訓(xùn)練6.如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，將△ABC沿經(jīng)過點(diǎn)P的直線折疊，使得點(diǎn)A落在邊BC上的A′處，若△PBA′恰好和△ABC相似，則此時(shí)AP的長為________．第6題圖拓展考向5點(diǎn)的位置不確定典例精講例5在△ABC中，AB＝AC＝5eq\r(2)，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，DE⊥BC，分別交射線BA、射線CA于點(diǎn)E、F，若DE＝2EF，則線段BD的長為________．【思維教練】滿足題中條件時(shí)有E點(diǎn)在F點(diǎn)上方，E點(diǎn)在F點(diǎn)下方兩種情況，分別畫圖，根據(jù)等腰直角三角形的各邊關(guān)系即可求解．針對(duì)訓(xùn)練7.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF∥BC，點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在△ABC的內(nèi)角平分線上，則AD長為________．第7題圖參考答案形式一多結(jié)論判斷題考向1代數(shù)類典例精講例1①②④【解析】①a＋c＝－b，∴eq\f(a＋c,2b)＝eq\f(－b,2b)＝－eq\f(1,2)，故①正確；②將x＝1代入ax＋b＋c＝0，得a＋b＋c＝0，故②正確；③abc≠0，可得a≠0，b≠0，c≠0，a＋b＋c＝0，則a、b、c中至少有1個(gè)正數(shù)，至少有1個(gè)負(fù)數(shù)．a(chǎn)bc不一定大于0，故③錯(cuò)誤；④c＝0，ab≠0，則a＋b＝0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝0，故④正確．針對(duì)訓(xùn)練1.①②④【解析】①∵ab＋bc＝ac，∴b(a＋c)＝ac，∴eq\f(a＋c,ac)＝eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,b)，故①正確；②∵b＝eq\f(1,2)a，∴a＝2b，將a＝2b代入ab＋bc＝ac得2b2＋bc＝2bc，∴2b＋c＝2c，∴b＝eq\f(1,2)c，故②正確；③若a＋b＝0，則a＝－b，代入ab＋bc＝ac得－b2＋bc＝－bc，∴b2＝2bc，∴b＝2c，∴a＝－2c，故③錯(cuò)誤；④若b＝c，則ab＋b2＝ab，∴b2＝0，則b＝0，∴b＝c＝0，同理可得當(dāng)其他兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)也都為0，故④正確．考向二幾何類典例精講例2C【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AM∥CE交BD于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，AD＝BC，∵CE⊥BD于點(diǎn)F，∴∠EDB＝∠DBC，∠DCB＝∠DFE＝90°，∴△DEF∽△BDC，故選項(xiàng)A正確；∵AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(DF,BF)，∵DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC，∴eq\f(DF,BF)＝eq\f(1,2)，∴BF＝2DF，故選項(xiàng)B正確；設(shè)EF＝a，CF＝2a，∵∠CFD＝∠DFE＝90°，且∠EDF＋∠FDC＝∠FDC＋∠FCD＝90°，∴∠EDF＝∠FCD，∴△DFC∽△EFD，∴eq\f(DF,EF)＝eq\f(CF,DF)，則DF2＝EF·CF＝2a2，得DF＝eq\r(2)a，∴DF＝eq\r(2)EF，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵△DEF∽△BCF，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)，∴S△DEF＝eq\f(1,2)S△DCF，S△DCF＝eq\f(1,6)S矩形ABCD，S四邊形BAEF＝S△DBA－S△DEF＝eq\f(1,2)S矩形ABCD－eq\f(1,12)S矩形ABCD＝eq\f(5,12)S矩形ABCD，即可得到S四邊形BAEF＝eq\f(5,2)S△DCF.故選項(xiàng)D正確．例2題解圖安徽近年真題精選2.①②④【解析】序號(hào)逐個(gè)分析正誤①∵F是AD的中點(diǎn)，∴DF＝eq\f(1,2)AD，∵AD＝2AB，∴AB＝DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，又由AD∥BC得∠DFC＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝eq\f(1,2)∠BCD√②如解圖，延長BA、CF交于點(diǎn)G.∵∠GFA＝∠DFC，∠GAF＝∠D，AF＝DF，∴△AFG≌△DFC，∴GF＝CF，∴在Rt△GEC中，EF＝CF√③由②可知點(diǎn)F是△GEC斜邊GC上的中點(diǎn)，∴S△CEG＝2S△CEF＝eq\f(1,2)GE·CE，S△BEC＝eq\f(1,2)BE·CE，又∵GE＝AG＋AE＝CD＋AE>BE，∴S△CEG>S△BEC，即S△BEC<2S△CEF×④由②可知∠G＝∠GEF，∴∠EFC＝2∠GEF，∵∠G＝∠DCF，∠DCF＝∠DFC，∴∠GEF＝∠DFC，∴∠DFE＝∠DFC＋∠EFC＝3∠AEF√第2題解圖針對(duì)訓(xùn)練3.D【解析】∵△PBC是等邊三角形，∴∠PCB＝60°，PC＝BC，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACP＝60°－45°＝15°，∴A正確；∵∠ABC＝90°，∠PBC＝60°，∴∠ABP＝90°－60°＝30°，∵BC＝PB，BC＝AB，∴PB＝AB，∴∠BPA＝∠PAB＝eq\f(1,2)(180°－30°)＝75°，∵∠ABP＝30°，∠BAC＝45°，∴∠AEP＝45°＋30°＝75°＝∠BPA，∴AP＝AE，∴△APE為等腰三角形，∴B正確；∵∠APB＝∠APB，∠AEP＝∠PAB＝75°，∴△PAE∽△ABP，∴eq\f(AP,BA)＝eq\f(PE,AP)，∴AP2＝PE·BA，∴AE2＝PE·AB，∴C正確；如解圖，連接PD，過點(diǎn)D作DG⊥PC于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，設(shè)正方形的邊長為2a，則S2＝4a2，等邊△PBC的邊長為2a，高為eq\r(3)a，∴PF＝2a－eq\r(3)a＝(2－eq\r(3))a，∴S△APD＝eq\f(1,2)AD·PF＝(2－eq\r(3))a2，∴∠PCD＝90°－60°＝30°，∴GD＝eq\f(1,2)CD＝a，∴S△PCD＝eq\f(1,2)PC·DG＝a2，S△ACD＝2a2，∴S1＝S△ACD－S△APD－S△PCD＝2a2－(2－eq\r(3))a2－a2＝(eq\r(3)－1)a2＜a2，∴S1∶S2≠1∶4，∴D錯(cuò)誤．第3題解圖4.C【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴∠CAB＝60°，BC＝eq\r(3)，AB＝2，如解圖，連接AB′.A.當(dāng)AB′⊥AC時(shí)，如解圖①，B′C＝BC＝eq\r(3)，AC＝1，∴AB′＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，正確；B.當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，如解圖②，在Rt△ACB中，CP＝AP＝BP＝B′P，∴∠CB′P＝∠B′CP＝30°，∵∠CAP＝60°，∴△ACP是等邊三角形，∴∠APC＝60°，∴∠APB′＝60°，又∵B′P＝BP＝AP，∴△APB′為等邊三角形，∴AC＝CP＝PB′＝B′A，∴四邊形ACPB′是菱形，正確；C.當(dāng)∠B′PA＝30°時(shí)，如解圖③，C、A、B′三點(diǎn)共線，由折疊的性質(zhì)知B′C＝BC＝eq\r(3)，∴AB′＝AP＝eq\r(3)－1，∵AB＝2，∴PB＝2－(eq\r(3)－1)＝3－eq\r(3)，∴eq\f(AP,PB)＝eq\f(\r(3)－1,3－\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，錯(cuò)誤；D.當(dāng)CP⊥AB時(shí)，如解圖④，B′和A、P、B三點(diǎn)在一條直線上，此時(shí)AP＝eq\f(1,2)，∵B′C＝BC＝eq\r(3)，∴B′P＝eq\f(3,2)，∴AB′＝1，BP＝B′P＝eq\f(3,2)，∴AP∶AB′∶BP＝1∶2∶3，正確．圖①圖②圖③圖④第4題解圖形式二雙空題考向1代數(shù)類典例精講例1(1)(2，4)；(2)4＜n＜5【解析】(1)由y＝－ax2＋2ax＋4知無論a取何值，此拋物線都會(huì)經(jīng)過定點(diǎn)(0，4)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(2a,－2a)＝1，∵(0，4)關(guān)于對(duì)稱軸x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為(2，4)，∴無論a取何值，此拋物線也會(huì)經(jīng)過定點(diǎn)(2，4)；(2)如解圖，點(diǎn)B在點(diǎn)A正上方，函數(shù)y＝x＋3(x≥1)圖象是射線，x＝1時(shí)，y＝x＋3＝4；x＝2時(shí)，y＝x＋3＝5，∴B(2，5)．∵拋物線經(jīng)過定點(diǎn)(2，4)．結(jié)合函數(shù)草圖可知，若拋物線與函數(shù)y＝x＋3(x≥1)的圖象有交點(diǎn)M，則yA<yM<yB，∴點(diǎn)M縱坐標(biāo)n的取值范圍為4＜n＜5.例1題解圖安徽近年真題精選1.(1)0；(2)2【解析】(1)把點(diǎn)(－1，m)代入該拋物線的解析式中，得1－(a＋1)＋a＝m，解得m＝0；(2)該拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\f(4a－（a＋1）2,4)＝eq\f(－（a－1）2,4)，平移后的縱坐標(biāo)為－eq\f(1,4)(a－1)2＋2，∵－eq\f(1,4)＜0，∴當(dāng)a＝1時(shí)，平移后的縱坐標(biāo)有最大值為2.針對(duì)訓(xùn)練2.(1)1；(2)2≤m<7【解析】(1)由題意可知，該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－eq\f(－4,2a)＝2，解得a＝1；(2)設(shè)平移m個(gè)單位后，函數(shù)解析式為y＝x2－4x＋2＋m(此時(shí)不分上下，用正負(fù)替代)．當(dāng)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，(－4)2－4×1×(2＋m)＝0，解得m＝2，即需向上平移2個(gè)單位，不符合條件；由于拋物線關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，∴拋物線在0<x<4內(nèi)對(duì)稱，若存在交點(diǎn)，始終有兩個(gè)交點(diǎn)，若只有一個(gè)交點(diǎn)，則拋物線與x軸的交點(diǎn)只能在－1<x≤0，故當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2＋m≤0，解得m≤－2，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝7＋m>0，解得m>－7，∴－7<m≤－2，∵拋物線向下平移，∴m的取值范圍是2≤m<7.3.(1)－eq\f(1,2)；(2)1【解析】(1)將點(diǎn)(0，－eq\f(1,4))代入函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝(x－k)2＋k中得，k2＋k＝－eq\f(1,4)，移項(xiàng)得，k2＋k＋eq\f(1,4)＝0，化簡得，(k＋eq\f(1,2))2＝0，解得k＝－eq\f(1,2)；(2)∵點(diǎn)A(m，n)在二次函數(shù)y＝(x－k)2＋k(k≠0)的圖象上，也在二次函數(shù)y＝(x＋k)2－k的圖象上，∴聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝（m－k）2＋k,n＝（m＋k）2－k))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2),n＝k2＋\f(1,4)))，∴m＋n＝eq\f(1,2)＋k2＋eq\f(1,4)＝k2＋eq\f(3,4)，∴m＋n的最小整數(shù)值是1.考向2幾何類典例精講例2(1)eq\f(3,2)；(2)eq\f(\r(5),2)【解析】(1)由折疊可得：DF＝DC＝5，CE＝EF，∴在Rt△ADF中，AF＝eq\r(DF2－AD2)＝3，∴BF＝5－3＝2，設(shè)BE＝x，則FE＝CE＝4－x，在Rt△BEF中，22＋x2＝(4－x)2，解得x＝eq\f(3,2)，即BE＝eq\f(3,2)；(2)當(dāng)BP＝CP且四邊形BGPH為矩形時(shí)，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即PH垂直平分BC，∴BH＝CH＝eq\f(1,2)BC＝2，又∵BE＝eq\f(3,2)，∴EH＝eq\f(1,2)，EC＝eq\f(5,2)，∵PH∥DC，∴eq\f(PH,CD)＝eq\f(EH,EC)，即eq\f(PH,5)＝eq\f(\f(1,2),\f(5,2))，解得PH＝1，在Rt△PEH中，PE＝eq\r(PH2＋EH2)＝eq\r(12＋（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(5),2)，∴PE的長為eq\f(\r(5),2).安徽近年真題精選4.(1)30；(2)eq\r(3)【解析】(1)如解圖，由折疊的性質(zhì)得∠AQP＝∠B，∠C＋∠D＝∠PRQ＋∠ARQ＝180°，∠DQA＝∠RQA，∠CQP＝∠RQP，且∠DQA＋∠RQA＋∠CQP＋∠RQP＝180°，∴AD∥BC，∠B＝∠AQP＝90°，即∠BAD＝90°＝∠1＋∠2＋∠3，由折疊性質(zhì)知∠1＝∠2＝∠3，∴∠PAQ＝∠2＝30°；(2)當(dāng)四邊形APCD為平行四邊形時(shí)，∠C＝∠DAP＝∠1＋∠2＝60°，∴△PQR為等邊三角形，QR＝QP，∠RPQ＝60°，tan∠APQ＝eq\f(AQ,QP)＝eq\r(3)，由折疊的性質(zhì)得AB＝AQ，∴eq\f(AB,QR)＝eq\r(3).第4題解圖針對(duì)訓(xùn)練5.(1)36；(2)2eq\r(3)【解析】(1)由折疊性質(zhì)可得△A1PQ≌△APQ，∴PA1＝PA＝BP，∠PA1Q＝∠PAQ＝90°，∴∠PA1F＝90°，在Rt△PBF和Rt△PA1F中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PB＝PA1，,PF＝PF，))∴Rt△PBF≌Rt△PA1F(HL)，∴∠BPF＝∠A1PF，又∵∠APQ＝∠A1PQ，∴∠APQ＋∠BPF＝eq\f(1,2)∠APB＝90°，∵∠APQ＋∠AQP＝90°，∴∠BPF＝∠AQP，在△PBF和△QAP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠A＝90°，,∠BPF＝∠AQP，))∴△PBF∽△QAP，∴eq\f(AP,BF)＝eq\f(AQ,BP)，∴AQ·BF＝AP·BP＝eq\f(1,2)AB·eq\f(1,2)AB＝36；(2)∵△A1PQ∽△A1FE，∴eq\f(QA1,EA1)＝eq\f(PA1,FA1)，∠FEA1＝∠PQA1＝∠FPA1,∴EF＝PF，PA1＝EA1，∴∠QFP＝∠QFE，∴△QFP≌△QFE，∴∠PQA1＝∠FQE＝∠PQA＝60°，∴∠BPF＝60°，∴BF＝BP·tan60°＝6eq\r(3)，∵eq\f(AP,BF)＝eq\f(AQ,BP)，PA＝PB，∴eq\f(AQ,PA)＝eq\f(PA,BF)，∴AQ＝eq\f(PA·PA,BF)＝2eq\r(3).形式三多解題考向1含參解析式中參數(shù)的分情況討論典例精講例1－5≤b＜－2或b＝eq\f(9,8)【解析】①當(dāng)b＞0時(shí)，拋物線與y＝3x只有一個(gè)交點(diǎn)，則聯(lián)立二次函數(shù)與y＝3x并整理得：2x2－3x＋b＝0，Δ＝9－8b＝0，解得：b＝eq\f(9,8)；②當(dāng)b＝0時(shí)，則拋物線與正比例函數(shù)交點(diǎn)為(0，0)和(eq\f(3,2)，eq\f(9,2))，即兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)b＜0時(shí)，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝3x＝－3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3x＝6，臨界點(diǎn)為(－1，－3)，將(－1，－3)代入y＝2x2＋b得－3＝2＋b，解得b＝－5，此時(shí)拋物線不過(2，6)點(diǎn)，將(2，6)代入y＝2x2＋b得b＝－2，此時(shí)二次函數(shù)在x＝－1處的縱坐標(biāo)為0，在(－1，－3)的上方，故此時(shí)二次函數(shù)與正比例函數(shù)在－1≤x≤2范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，則b≠－2，故－5≤b<－2，綜上所述－5≤b＜－2或b＝eq\f(9,8).針對(duì)訓(xùn)練1.a＞0或－eq\f(2,3)＜a＜0【解析】函數(shù)y＝x2－ax的圖象是拋物線，拋物線開口向上，與x軸的交點(diǎn)為(0，0)和(a，0)，①當(dāng)a＞0時(shí)，若P，Q都在x軸的上方，如解圖①，此時(shí)當(dāng)x＝a時(shí)，y＝－x＋3a＋2＝－a＋3a＋2＝2a＋2＞0，解得a＞－1，故a＞0；②當(dāng)a＜0時(shí)，若P，Q都在x軸的上方，如解圖②，此時(shí)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－x＋3a＋2＝3a＋2＞0，解得a＞－eq\f(2,3)，故－eq\f(2,3)＜a＜0，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞0或－eq\f(2,3)＜a＜0.第1題解圖考向2裁剪方式不確定典例精講例248或(32＋8eq\r(13))【解析】如解圖①，周長為2×(10＋8＋6)＝48；如解圖②，∵BD＝6，BC＝8，CD＝10，∴BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形，∴AC＝12，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝4eq\r(13)，∴周長為2×(10＋4eq\r(13)＋6)＝(32＋8eq\r(13))；綜上所述，原三角形的周長是48或(32＋8eq\r(13))．圖①圖②例2題解圖針對(duì)訓(xùn)練2.8或7【解析】如解圖①，作AD⊥BC于點(diǎn)D且AC，AB交EF于點(diǎn)G，H，作線段CD，BD的垂直平分線，過點(diǎn)A作EH∥BC與CD，BD的垂直平分線交于點(diǎn)E，H，可得矩形EFGH.∵eq\f(1,2)·BC·AD＝3，BC＝2，∴AD＝3，∴EF＝GH＝AD＝3，EH＝FG＝1，∴矩形的周長＝2×(3＋1)＝8.如解圖②，作AD⊥BC于點(diǎn)D，且AC、AB交EF于點(diǎn)G、F，作線段AD的垂直平分線，分別過點(diǎn)C、B作CE∥AD，BF∥AD，與AD的垂直平分線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，可得矩形EFBC，易知OD＝EC＝BF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(3,2)，EF＝BC＝2，∴矩形EFBC的周長＝2×(eq\f(3,2)＋2)＝7，故周長為8或7.圖①圖②第2題解圖考向3圖形形狀不確定作圖微技能3.(1)如解圖①，等腰三角形ADE即為所求；第3題解圖①(2)如解圖②，等腰三角形ADE即為所求；第3題解圖②(3)如解圖③，等腰三角形ABE即為所求．第3題解圖③4.(1)如解圖①，Rt△PEF即為所求；第4題解圖①(2)如解圖②，Rt△PEF即為所求；第4題解圖②典例精講例3eq\f(5,2)或10【解析】當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，如解圖①，連接BM，過點(diǎn)M作MH⊥AD于點(diǎn)H，延長HM交BC于點(diǎn)F.∵M(jìn)A＝MD，MH⊥AD，∴AH＝HD＝eq\f(1,2)AD＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，∴四邊形ABFH是矩形，∴BF＝AH＝4，F(xiàn)H＝AB＝5，∠BFM＝90°，∵點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)為M，∴BM＝BA＝5，∴FM＝eq\r(BM2－BF2)＝eq\r(52－42)＝3，∴HM＝HF－FM＝5－3＝2，∵∠ABP＋∠APB＝90°，∠MAH＋∠APB＝90°，∴∠ABP＝∠MAH，∵∠BAP＝∠AHM＝90°，∴△ABP∽△HAM，∴eq\f(AP,HM)＝eq\f(AB,HA)，∴eq\f(AP,2)＝eq\f(5,4)，∴AP＝eq\f(5,2)；當(dāng)點(diǎn)P在線段AD的延長線上時(shí)，如解圖②，連接BM，過點(diǎn)M作MH⊥AD于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)F.同理可得BM＝5，BF＝4，∴FM＝3，MH＝3＋5＝8，∵△ABP∽△HAM，∴eq\f(AP,HM)＝eq\f(AB,HA)，∴eq\f(AP,8)＝eq\f(5,4)，∴AP＝10，綜上所述，AP的長為eq\f(5,2)或10.例3題解圖針對(duì)訓(xùn)練5.6或5eq\r(2)【解析】如解圖①，∠DEB＝90°，由折疊的性質(zhì)得∠AED＝90°＝∠C，ED＝CD＝eq\f(1,2)a，AE＝AC＝a，∴BE＝10－a，∴sinB＝eq\f(\f(1,2)a,BD)＝eq\f(a,10)，解得BD＝5，在Rt△BDE中，(eq\f(1,2)a)2＋(10－a)2＝52，解得a1＝6，a2＝10(舍去)；如解圖②，∠BDE＝90°，則∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，ED＝CD＝eq\f(1,2)a，∴四邊形CDEF是正方形，∴DE∥AC，∵CF＝CD＝eq\f(1,2)AC，∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BC＝2CD＝a，∴△ABC是等腰直角三角形，∴a＝eq\f(\r(2),2)AB＝5eq\r(2)，綜上所述，a的長為6或5eq\r(2).第5題解圖拓展考向4對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定典例精講例44或7【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝6，∠BCA＝60°＝∠BFD，∴∠BCD＋∠DCA＝∠BCD＋∠CBE，∴∠CBE＝∠DCA，如解圖，當(dāng)點(diǎn)M在AC上時(shí)，作∠CDM＝∠BCD，∴△BCF∽△CDM，∵∠CDM＝∠BCD，∴∠DMA＝∠DCA＋∠CDM＝∠BCD＋∠DCA＝∠BCA＝60°，∴∠DMA＝∠DAM＝60°，∴△DMA是等邊三角形，∴DA＝DM＝AM＝2，∴CM＝4；當(dāng)點(diǎn)M′在CA的延長線上時(shí)，如解圖，作∠ADM′＝∠CBE，∵∠BAC＝∠ADM′＋∠M′＝60°，∠BFD＝∠BCD＋∠CBE＝60°，∴∠M′＝∠BCD，∴△BCF∽△CM′D，∵∠ADM′＝∠ACD，∠CDM＝∠M′，∴△CDM∽△DM′A，∴eq\f(CM,AD)＝eq\f(DM,AM′)，∴eq\f(4,2)＝eq\f(2,AM′)，∴AM′＝1，∴CM′＝7.綜上所述，CM的長為4或7.例4題解圖針對(duì)訓(xùn)練6.eq\f(4,3)或2eq\r(3)－2【解析】如解圖①，當(dāng)∠PA′B＝∠C＝90°時(shí)，設(shè)PA＝PA′＝x.在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝eq\r(3)AC＝2eq\r(3)，∵∠B＝∠B，∠BA′