概率論與數(shù)理統(tǒng)計歷年考研試題

第3章數(shù)字特征（1987年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)則E(X)=(),=(). [答案填：1；.]由X的概率密度函數(shù)可見X～N(1,),則E(X)=1，=.（1990年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，且Z=3X-2,則E(X)=(). [答案填：4]（1990年、數(shù)學(xué)一、計算）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D:0<x<1,|y|<x內(nèi)服從均勻分布，求：（1）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù);（2）隨機(jī)變量Z=2X+1的方差。解：（1）由于D的面積為1，則(X,Y)的聯(lián)合密度為

當(dāng)0<x<1時，，其他情況下.（2）（1991年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè)X～N(2，）且P{2<X<4}=0.3,則P{X<0}=（）。 [答案填：0.2]

即,則（1992年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則（）. [答案填：]（1995年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)且每次命中率為0.4,則=（）。[答案填：18.4]X～B(10,0.4）,則（1996年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè)兩個隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且均服從分布N(0,),則E|X-Y|=(). [答案填：]

令U=X-Y,則U～N(0,1),從而E|X-Y|=E|U|=

=（1996年、數(shù)學(xué)一、計算）設(shè)兩個隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且同分布，的分布律為P(=k)=,k=1,2,3,又X=max(,),Y=min(,).（1）寫出(X,Y)的分布律;（2）求E(X).解：（1）(X,Y)的分布律如下：（2）X的邊緣分布為:則E(X)=.（1997年、數(shù)學(xué)一、選擇）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且D(X)=4,D(Y)=2,則D(3X-2Y)=().A.8B.16C.28D.44 [答案選：D]D(3x-2Y)=9D(x)+4D(Y)=44（1997年、數(shù)學(xué)一、計算）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，其概率均為0.4，用X表示途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望。解：顯然X～B(3,0.4),其分布律為，i=0,1,2,3,分布函數(shù)為：，E(X)=（1998年、數(shù)學(xué)一、計算）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，均服從N(0,0.5)分布，求|X-Y|的方差。解：顯然X-Y～N(0,1),則,而E|X-Y|=(見第102題），故|X-Y|=1-（2000年、數(shù)學(xué)一、計算）某流水生產(chǎn)線上每個產(chǎn)品不合格的概率為p（0<p<1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個不合格產(chǎn)品時即停機(jī)檢修。設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個數(shù)為X,求E(X)和D(X)。解：記q=1-p,則X的概率分布為，i=1,2,…

則：（1987年、數(shù)學(xué)三、計算）設(shè)，求隨機(jī)變量的期望。解：由，可知（1989年、數(shù)學(xué)三、計算）設(shè)與的聯(lián)合密度為，求：，。解：，可知或（1991年、數(shù)學(xué)三、選擇）若，則（ ）正確。與獨(dú)立 與不獨(dú)立 [答案選：].由得又可知.由得可知.由，得，得，可知與不相關(guān)，但未必獨(dú)立。（1992年、數(shù)學(xué)三、計算）謀設(shè)備有三大部件構(gòu)成，設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)時，各部件需調(diào)整的概率為，若各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，求同時需調(diào)整的部件數(shù)的期望與方差。解：設(shè){謀設(shè)備第個需調(diào)整的部件}且相互獨(dú)立，，，，同時需調(diào)整的部件數(shù)的所有可能取值為由得（1993年、數(shù)學(xué)三、計算）設(shè)且與同分布，與獨(dú)立，，求：（1）值；（2）的期望。解：（1）由設(shè)且與同分布，與獨(dú)立，可知當(dāng)時，即與相矛盾，因而，即，即即，即，（不合題意，舍去）（2）。（1994年、數(shù)學(xué)三、計算）由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑（毫米）服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，設(shè)銷售利潤（元）與銷售零件的內(nèi)徑的關(guān)系為問平均內(nèi)徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大？解：由，即且，可知由得令，即即即，平均內(nèi)徑取時，銷售一個零件的平均利潤最大。（1996年、數(shù)學(xué)三、計算）設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，機(jī)器發(fā)生故障時，全天停止工作，一周五個工作日，若無故障，可獲利10萬元，若發(fā)生一次故障，仍可獲利5萬元，若發(fā)生兩次故障，獲利為零。若至少發(fā)生三次故障，要虧損2萬元，求一周內(nèi)的利潤期望。解：設(shè){一周共五個工作日，機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)}且則：所以一周內(nèi)的利潤期望為萬元。（1997年、數(shù)學(xué)三、計算）游客乘電梯從底層到電視塔的頂層觀光，電梯于每個整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘，從底層起行，一游客在早八點(diǎn)的第分鐘到達(dá)底層候梯處，且在上服從均勻分布，求該游客等候時間的數(shù)學(xué)期望。解：由到達(dá)時刻在上服從均勻分布，可知且等候時間（1997年、數(shù)學(xué)三、計算）兩臺同樣的自動記錄儀，每臺無故障工作的時間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，先開動其中的一臺，當(dāng)發(fā)生故障時，自動停機(jī)，另一臺自動開機(jī)。求：兩臺記錄儀無故障工作的總時間的概率密度、期望值與方差。解：設(shè){第臺自動記錄儀無故障的工作時間}，，與獨(dú)立同分布，且，即，當(dāng)時，當(dāng)時，即為兩臺記錄儀無故障工作的總時間的概率密度。。（1998年、數(shù)學(xué)三、計算）設(shè)一商店經(jīng)銷某種商品，每周的進(jìn)貨量與顧客對該商品的需求量是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均服從區(qū)間上的均勻分布，此商店每售出一個單位的商品，可獲利1000元，若需求量超過了進(jìn)貨量，可從其它商店調(diào)劑供應(yīng)，此時售出的每單位商品，僅獲利500元，求此商店經(jīng)銷這種商品每周獲利的期望。解：設(shè)一商店經(jīng)銷某種商品的每周所獲利潤為元，據(jù)題意可知：當(dāng)時，當(dāng)時，即且所以此商店經(jīng)銷這種商品每周獲利的期望是14167元。（1999年、數(shù)學(xué)三、填空）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，，則的數(shù)學(xué)期望（ ）。（答案：）（2000年、數(shù)學(xué)三、填空）設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布；隨機(jī)變量則（ ）。 [答案填：]（1998年、數(shù)學(xué)四、填空）設(shè)一次試驗(yàn)的成功率為，進(jìn)行100此獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)（ ）時，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，最大值為（ ）。（答案：）解：據(jù)題意可知，，即令，得且。（1987年、數(shù)學(xué)四、計算）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為。（1）寫出其分布函數(shù)； （2）求的期望與方差。解：（1）由，可知，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即的分布函數(shù)。（2）。（1988年、數(shù)學(xué)四、計算）設(shè)十只同種電器元件中有兩只廢品，裝配儀器時，從這批元件眾任取1只，若是廢品，則扔掉從新任取1只，若仍是廢品，則在扔掉還取1只。求：在取到正品之前，已取出的廢品數(shù)的概率分布、數(shù)學(xué)期望及方差。解：設(shè)事件{從10只電器元件中，任取一只，第次取到廢品}在取到正品前，已取出廢品數(shù)為隨機(jī)變量，其所有可能取的值為，，，其概率分布如下：由得：。（1989年、數(shù)學(xué)四、計算）設(shè)隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布為

求：（1）的概率分布；（2）的概率分布；（3）的數(shù)學(xué)期望。解：（1）由與的聯(lián)合分布可知的概率分布如下：（2）的概率分布如下：

（3）的概率分布如下：

可知：（1989年、數(shù)學(xué)四、填空）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且，若，則（ ）。[答案填：46]解：由，可知；由，可知；由，可知相互獨(dú)立（1993年、數(shù)學(xué)四、計算）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，均在區(qū)間上服從均勻分布，引進(jìn)事件，且。求：（1）值；（2）的數(shù)學(xué)期望。解：（1）由與在上均服從均勻分布，可知，當(dāng)時由隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，可知事件與也是相互獨(dú)立的。與相矛盾，因而。當(dāng)時，即，即或（2）。（1995年、數(shù)學(xué)四、填空）設(shè)，則（ ）。[答案填：]解：。（1997年、數(shù)學(xué)四、選擇）設(shè)是隨機(jī)變量且，則對任意常數(shù)，（ ）成立。[答案選：]由，得顯然（1997年、數(shù)學(xué)四、計算）設(shè)且，求：（1）與的聯(lián)合概率分布；（2）。解：（1）由，可知由，得，（2）又。（1998年、數(shù)學(xué)四、計算）設(shè)商店經(jīng)銷某種商品的每周需求量服從區(qū)間上的均勻分布，而進(jìn)貨量為區(qū)間中的某一個整數(shù)，商店每售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元，若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每售出一單位商品僅獲利300元，求此商店經(jīng)銷這種商品每周進(jìn)貨量為多少，可使獲利的期望不少于9280元。解：設(shè)一商店經(jīng)銷某種商品的每周進(jìn)貨量為且當(dāng)時，當(dāng)時，即且令，即，即，取。答：此商店經(jīng)銷這種商品每周進(jìn)貨量為21個單位，可使獲利的期望不少于9280元。（1999年、數(shù)學(xué)四、填空）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松（Poisson）分布，且已知，則（ ）。 [答案填：1]（20XX年、數(shù)學(xué)四、計算）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布在以點(diǎn)(0,1),(1,0),(1,1),為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域D上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差。解：由條件可知(X,Y)的聯(lián)合分布密度為：，則：同理，

又：，綜上可知：

（1993年、數(shù)學(xué)一、計算）設(shè)

（1）求E(X),D(X)；（2）求X與|X|的協(xié)方差且判定二者是否不相關(guān)；（3）判斷X與|X|是否相互獨(dú)立。解：（1）由于X的密度為偶函數(shù)則E(X)=0,若設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，利用指數(shù)分布隨機(jī)變量的均值及方差的有關(guān)結(jié)論不難知：

（2），即X與|X|不相關(guān)。（3）設(shè)0<a<+,則從而，但是

則，即知X與|X|不獨(dú)立。（1994年、數(shù)學(xué)一、計算）設(shè)，其中求：（1）E(Z),D(Z);（2）；（3）X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？解：（1），

（2）

所以

（3）由于X,Z均為正態(tài)變量，故獨(dú)立與不相關(guān)等價，則由知X、Z獨(dú)立。（2000年、數(shù)學(xué)一、選擇）設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量與不相關(guān)的充要條件為（）。

[答案選：B]（1991年、數(shù)學(xué)三、計算）設(shè)與在圓域上服從聯(lián)合均勻分布，（1）求與的相關(guān)系數(shù)；（2）問與是否獨(dú)立？解：（1）由與服從圓域上的聯(lián)合均勻分布，即可知關(guān)于各自的邊緣概率密度函數(shù)為：且（奇函數(shù)對稱區(qū)間上的積分為0）因而且，即與的相關(guān)系數(shù)為0。（2）由及可知，即與不獨(dú)立。（1995年、數(shù)學(xué)三、選擇）設(shè)與獨(dú)立且同分布,，則與必（ ）。.不獨(dú)立 .獨(dú)立 .相關(guān)系數(shù)不為零 .相關(guān)系數(shù)為零 [答案：選]由與相互獨(dú)立且同分布，可知且由且得：由，得且而（1999年、數(shù)學(xué)三、計算）假設(shè)二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布，記，（1）求和的聯(lián)合分布；（2）求和的相關(guān)系數(shù)。解：由題設(shè)可得，（1）有四個可能取值：，，，（2）由以上可見以及和的分布為：，，于是，有，（2000年、數(shù)學(xué)三、證明）設(shè)是二隨機(jī)事件，隨即變量：，試證明隨機(jī)變量和不相關(guān)的充要條件是與相互獨(dú)立。證明：記，由數(shù)學(xué)期望的定義，可見現(xiàn)在求。由于只有兩個可能取值和，可見從而因此即隨機(jī)變量和不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)事件與相互獨(dú)立。（20XX年、數(shù)學(xué)三、選擇）將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于（）。A.–1B.0C.0.5D.1

[答案選：A]

由X+Y=n知：Y=n-X,顯然二者負(fù)相關(guān)。(2000年、數(shù)學(xué)四、計算）設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：其中和都是二維正態(tài)密度函數(shù)，且它們對應(yīng)的二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)分別為和，它們的邊緣密度函數(shù)所對應(yīng)的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都是零，方差都是。（1）求隨機(jī)變量和的密度函數(shù)和，及和的相關(guān)系數(shù)（可以直接利用二維正態(tài)密度的性質(zhì)）。（2）問和是否獨(dú)立？為什么？解：（1）由于二維正態(tài)密度函數(shù)的兩個邊緣密度都是正態(tài)密度函數(shù)，因此和的兩個邊緣密度為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，故同理：由于，可見，隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)（2）由題設(shè)所以和不獨(dú)立。(1998年、數(shù)學(xué)四、計算）設(shè)一箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別為80、10、10件，現(xiàn)從中任取一件，且，。求：（1）二元隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布；（2）與的相關(guān)系數(shù)。解：設(shè)事件{從100件產(chǎn)品種任取一件是等品}，，據(jù)題意可知（1）事件與的聯(lián)合分布如下：因而（2）關(guān)于的邊緣概率分布如下：關(guān)于的邊緣概率分布如下：因此因此（1999年、數(shù)學(xué)四、選擇）設(shè)隨機(jī)變量和的方差存在且不等于0，則是和（ ）。、不相關(guān)的充分但非必要條件 、獨(dú)立的必要但非充分條件、不相關(guān)的充要條件 、獨(dú)立的充要條件。[答案：選擇]（20XX年、數(shù)學(xué)一、填空）設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有（）。 [答案填：]（1988年、數(shù)學(xué)三、計算）某保險公司經(jīng)多年的資料統(tǒng)計表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，在隨意抽查的100家索賠戶中被盜的索賠戶數(shù)為隨機(jī)變量。（1）寫出的概率分布；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盜的索賠戶數(shù)不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。附表：解：（1）據(jù)題意，可知100家索賠